7.5 Test av et gjennomsnitt

Hva vet vi? $\mu_0 = 1200$ t, $\sigma = 90$ t, $n = 40$, $\bar{x} = 1168$ t.

a) Mistanken er at levetiden er kortere, så testen er venstresidig:

$$H_0: \mu = 1200 \qquad H_1: \mu < 1200$$

b) Først standardfeilen:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{90}{\sqrt{40}} \approx \frac{90}{6{,}325} \approx 14{,}23$$

Så testobservatoren — formelen tom først, så med tall:

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{1168 - 1200}{14{,}23} = \frac{-32}{14{,}23} \approx -2{,}25$$

Det målte gjennomsnittet ligger altså 2,25 standardfeil under den påståtte verdien. Minustegnet betyr «under», og det skal være der — det er selve retningen i testen.

c) Siden $H_1$ peker nedover, er p-verdien arealet i venstre hale:

$$p = P(Z \le -2{,}25) = 0{,}0122$$

Vi sammenligner:

$$0{,}0122 \le 0{,}05$$

$H_0$ forkastes.

Venstresidig test. Testobservatoren $z = -2{,}25$ ligger til venstre for den kritiske grensen $-1{,}645$, altså inne i forkastningsområdet, og $p = 0{,}0122 < 0{,}05$. De to måtene å avgjøre på gir samme svar, slik de alltid gjør.

Konklusjon i kontekst: Testen gir grunnlag for å si at pærene i gjennomsnitt varer kortere enn de 1200 timene produsenten oppgir. Var påstanden riktig, ville et utvalg på 40 pærer gitt et gjennomsnitt på 1168 timer eller lavere i bare omtrent 1 av 100 tester.

d) På 1 %-nivå: $0{,}0122 > 0{,}01$, så $H_0$ beholdes. Testen er signifikant på 5 %-nivå, men ikke på 1 %-nivå.

Svar: a) $H_0: \mu = 1200$ mot $H_1: \mu < 1200$. b) $z \approx -2{,}25$. c) $p \approx 0{,}0122$, $H_0$ forkastes på 5 %-nivå. d) På 1 %-nivå beholdes $H_0$.

NB — fortegnet på $z$ er informasjon. Et negativt $z$ betyr at målingen ligger under $\mu_0$. Hadde vi fått $z = +2{,}25$ i denne oppgaven, ville p-verdien vært $P(Z \le 2{,}25) = 0{,}988$ — altså det motsatte av signifikant. Pærene ville da vart lenger enn lovet, og det er ikke det vi tester.

Hva vet vi? $\mu_0 = 500$ ml, $n = 30$, $\bar{x} = 497{,}6$ ml, $s = 4{,}2$ ml. Her er $\sigma$ ukjent, men $n = 30$, så vi bruker $s$.

a) Avvik i begge retninger er et problem:

$$H_0: \mu = 500 \qquad H_1: \mu \ne 500$$

b) Standardfeilen:

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4{,}2}{\sqrt{30}} \approx \frac{4{,}2}{5{,}477} \approx 0{,}767 \text{ ml}$$

Testobservatoren:

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{497{,}6 - 500}{0{,}767} = \frac{-2{,}4}{0{,}767} \approx -3{,}13$$

Avviket er altså over tre standardfeil.

c) Tosidig p-verdi:

$$p = 2 \cdot P(Z \ge 3{,}13) = 2 \cdot 0{,}00087 = 0{,}0017$$

$$0{,}0017 \le 0{,}01$$

$H_0$ forkastes, også på 1 %-nivå.

Konklusjon i kontekst: Maskinen fyller ikke 500 ml i gjennomsnitt. Avviket er så stort at det ikke med rimelighet kan forklares av tilfeldig variasjon mellom flasker — maskinen bør justeres.

d) Konfidensintervallet:

$$497{,}6 \pm 1{,}96 \cdot 0{,}767 = 497{,}6 \pm 1{,}50$$

$$[496{,}1,\ 499{,}1]$$

Verdien 500 ligger utenfor intervallet — samme konklusjon som testen ga.

Svar: a) $H_0: \mu = 500$ mot $H_1: \mu \ne 500$, tosidig fordi begge avvik er uønsket. b) $z \approx -3{,}13$. c) $p \approx 0{,}0017$, $H_0$ forkastes også på 1 %-nivå. d) $[496{,}1,\ 499{,}1]$ — 500 ligger utenfor, i tråd med testen.

NB: Intervallet gir i tillegg noe testen ikke gir: en størrelse på avviket. Maskinen fyller trolig mellom 1 og 4 ml for lite. Det er den opplysningen produksjonssjefen trenger for å avgjøre om det haster.

a) Standardfeilen:

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12{,}0}{\sqrt{36}} = \frac{12{,}0}{6} = 2{,}0$$

$$104{,}8 \pm 1{,}96 \cdot 2{,}0 = 104{,}8 \pm 3{,}92$$

$$[100{,}88,\ 108{,}72]$$

b) Med $\mu_0 = 100$:

$$z = \frac{104{,}8 - 100}{2{,}0} = 2{,}40$$

$$p = 2 \cdot P(Z \ge 2{,}40) = 2 \cdot 0{,}0082 = 0{,}0164 \le 0{,}05$$

$H_0$ forkastes. Og legg merke til: 100 ligger utenfor intervallet i a).

c) Med $\mu_0 = 101$:

$$z = \frac{104{,}8 - 101}{2{,}0} = 1{,}90$$

$$p = 2 \cdot P(Z \ge 1{,}90) = 2 \cdot 0{,}0287 = 0{,}0574 > 0{,}05$$

$H_0$ beholdes. Og 101 ligger innenfor intervallet.

d) Sammenhengen er eksakt:

En tosidig test på 5 %-nivå forkaster $H_0: \mu = \mu_0$ nøyaktig når $\mu_0$ ligger utenfor 95 % konfidensintervallet.

Det er ikke to metoder, men to måter å skrive den samme regningen på. Konfidensintervallet er hele mengden av $\mu_0$-verdier som ikke ville blitt forkastet.

Konfidensintervallet er mengden av nullhypoteser som ikke forkastes. $\mu_0 = 100$ ligger utenfor, og testen forkaster. $\mu_0 = 101$ og $\mu_0 = 105$ ligger innenfor, og testen beholder. Det er ikke to metoder, men to måter å skrive den samme regningen på.

Svar: a) $[100{,}88,\ 108{,}72]$. b) $z = 2{,}40$, $p \approx 0{,}0164$ — forkast. c) $z = 1{,}90$, $p \approx 0{,}0574$ — behold. d) Tosidig test på nivå $\alpha$ og konfidensintervall på nivå $1 - \alpha$ gir alltid samme svar.

NB: Sammenhengen gjelder tosidig test. En ensidig test på 5 %-nivå svarer til et ensidig intervall, og der passer ikke 1,96 lenger, men 1,645.

a) Vi legger inn de fire tallene og regner videre på dem:

A1: 1200      (mu0)
A2: 90        (sigma)
A3: 40        (n)
A4: 1168      (xbar)

A5: =A2/ROT(A3)              gir 14,2302     (standardfeilen)
A6: =(A4-A1)/A5              gir -2,2487     (z)
A7: =NORM.S.FORDELING.N(A6;SANN)   gir 0,01227 (p-verdi, venstresidig)

For en høyresidig test bruker vi =1-NORM.S.FORDELING.N(A6;SANN), og for en tosidig =2*(1-NORM.S.FORDELING.N(ABS(A6);SANN)).

b) I GeoGebra kan vi gå direkte på fordelingen til $\bar{X}$, uten å standardisere:

FordelingNormal(1200, 90/sqrt(40), 1168)      gir 0.0123

Kommandoen gir $P(\bar{X} \le 1168)$ når forventningsverdien er 1200 og standardavviket er $\displaystyle \frac{90}{\sqrt{40}}$ — altså p-verdien direkte.

c) Vi trenger $\lvert z \rvert \ge 2{,}326$ med samme avvik $\bar{x} - \mu_0 = -32$:

$$\frac{32}{\frac{90}{\sqrt{n}}} \ge 2{,}326$$

$$\frac{32\sqrt{n}}{90} \ge 2{,}326$$

$$\sqrt{n} \ge \frac{2{,}326 \cdot 90}{32} = 6{,}542$$

$$n \ge 42{,}8$$

Altså 43 pærer.

Svar: a) =NORM.S.FORDELING.N(z;SANN) gir venstresidig p-verdi. b) FordelingNormal(1200, 90/sqrt(40), 1168). c) 43 pærer.

NB — samme data, sterkere konklusjon. Legg merke til hva c) egentlig sier: avviket på 32 timer er nøyaktig like stort som før. Det som endrer seg med flere målinger, er hvor sikre vi er på at avviket er ekte. Signifikans er ikke et mål på effektens størrelse, men på hvor godt vi har målt den.