7.3 Konfidensintervall for andel

Hva vet vi? $n = 1000$ spurte og $x = 234$ ja-svar. Hva skal vi finne? Intervallet for $p$.

a) Først estimatet:

$$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{234}{1000} = 0{,}234$$

Så kontrollen av forutsetningen:

$$n\hat{p} = 234 \ge 5 \qquad n(1-\hat{p}) = 766 \ge 5 \quad \checkmark$$

Standardfeilen — formelen tom først, så med tall:

$$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}234 \cdot 0{,}766}{1000}} = \sqrt{\frac{0{,}179244}{1000}} = \sqrt{0{,}000179} \approx 0{,}0134$$

Feilmarginen ved 95 %:

$$1{,}96 \cdot 0{,}0134 \approx 0{,}0262$$

Intervallet:

$$[0{,}234 - 0{,}0262,\ 0{,}234 + 0{,}0262] = [0{,}208,\ 0{,}260]$$

Altså fra 20,8 % til 26,0 %.

b) «En fjerdedel» er 25 %, og 0,25 ligger inne i intervallet. Påstanden er altså forenlig med målingen — vi kan ikke avvise den.

c) Samme standardfeil, ny $z$:

$$2{,}576 \cdot 0{,}0134 \approx 0{,}0345$$

$$[0{,}234 - 0{,}0345,\ 0{,}234 + 0{,}0345] = [0{,}200,\ 0{,}268]$$

Altså fra 20,0 % til 26,8 %.

Svar: a) $[0{,}208,\ 0{,}260]$, altså 20,8 % til 26,0 %. b) Ja — 25 % ligger inne i intervallet. c) $[0{,}200,\ 0{,}268]$, altså 20,0 % til 26,8 %.

NB — prosentpoeng igjen. Marginen på 0,0262 skrives som 2,6 prosentpoeng, ikke 2,6 prosent. Den legges til og trekkes fra 23,4 %-tallet.

a) Uten forhåndskunnskap regner vi verste fall, $\hat{p} = 0{,}5$. Kravet er

$$1{,}96\sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{n}} \le 0{,}02$$

Deler på 1,96 på begge sider:

$$\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \le \frac{0{,}02}{1{,}96} = 0{,}010204$$

Kvadrerer begge sider:

$$\frac{0{,}25}{n} \le 0{,}00010412$$

Ganger med $n$ og deler på det lille tallet:

$$n \ge \frac{0{,}25}{0{,}00010412} = 2401$$

De må spørre 2401 personer.

(Snarveien er formelen $\displaystyle n \ge \left(\frac{z}{E}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p}) = \left(\frac{1{,}96}{0{,}02}\right)^2 \cdot 0{,}25 = 98^2 \cdot 0{,}25 = 2401$ — samme regning, færre linjer.)

b) Med $\hat{p} = 0{,}234$ er $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}179244$:

$$n \ge 98^2 \cdot 0{,}179244 = 9604 \cdot 0{,}179244 \approx 1721{,}5$$

Vi runder opp: 1722 personer. (Kontroll: $n = 1722$ gir margin 1,9997 pp, $n = 1721$ gir 2,0003 pp — så 1722 er akkurat det minste som holder.)

c) Fordi svaret i b) hviler på en antakelse om det vi skal måle. Blir andelen 45 % i stedet for 23 %, holder ikke 1722 personer marginen. Regner de verste fall, er de trygge uansett hva folk svarer. Prisen er et større, dyrere utvalg.

Svar: a) 2401 personer. b) 1722 personer. c) Fordi verste fall holder marginen uansett hva svaret blir, mens b) forutsetter at vi allerede kjenner svaret.

NB: Rund alltid opp. Et krav om «høyst 2 prosentpoeng» blir brutt hvis du runder 1721,5 ned.

Byrå A: $\displaystyle \hat{p}_A = \frac{82}{1000} = 0{,}082$

$$SE_A = \sqrt{\frac{0{,}082 \cdot 0{,}918}{1000}} \approx 0{,}00868$$

$$\text{margin}_A = 1{,}96 \cdot 0{,}00868 \approx 0{,}0170$$

$$\text{KI}_A = [0{,}065,\ 0{,}099]$$

Byrå B: $\displaystyle \hat{p}_B = \frac{104}{1000} = 0{,}104$

$$SE_B = \sqrt{\frac{0{,}104 \cdot 0{,}896}{1000}} \approx 0{,}00965$$

$$\text{margin}_B = 1{,}96 \cdot 0{,}00965 \approx 0{,}0189$$

$$\text{KI}_B = [0{,}085,\ 0{,}123]$$

b) De to intervallene overlapper i området fra 8,5 % til 9,9 %. Begge målingene er altså forenlige med at den sanne oppslutningen er for eksempel 9 % — og at de to byråene bare traff på hver sin side av den, slik utvalg gjør.

Det er derfor ikke dekning for å si at partiet har «steget». Vi har ikke engang målt to tidspunkter; vi har målt samme uke to ganger.

c) Tilfeldig utvalgsvariasjon. Forskjellen er 2,2 prosentpoeng, og feilmarginene er på henholdsvis 1,7 og 1,9 prosentpoeng — altså akkurat den størrelsesordenen man må vente seg.

De to målingene er ikke uenige. Det gule feltet er verdiene begge intervallene rommer — begge er forenlige med at den sanne oppslutningen er for eksempel 9 %. Når to måltall skiller seg mindre enn feilmarginene, er «endringen» som regel bare utvalgsvariasjon.

Svar: a) A: $[0{,}065,\ 0{,}099]$, B: $[0{,}085,\ 0{,}123]$. b) Nei — intervallene overlapper. c) Tilfeldig variasjon mellom to utvalg.

NB — en nyttig huskeregel for nyhetene: når to måltall skiller seg mindre enn feilmarginene, er «endringen» som regel støy. Aviser omtaler likevel slike bevegelser som nyheter.

a) Svarene ligger i A2:A641.

=ANTALL.HVIS(A2:A641;"Ja")            gir 96        (antallet x)
=ANTALLA(A2:A641)                     gir 640       (n)
=96/640                               gir 0,15      (p-hatt)
=ROT(0,15*(1-0,15)/640)               gir 0,014114  (SE)
=0,15 - 1,96*0,014114                 gir 0,12234   (nedre grense)
=0,15 + 1,96*0,014114                 gir 0,17766   (øvre grense)

b) Kontrollen først: $n\hat{p} = 96$ og $n(1-\hat{p}) = 544$, begge godt over 5.

$$\hat{p} = \frac{96}{640} = 0{,}15$$

$$SE = \sqrt{\frac{0{,}15 \cdot 0{,}85}{640}} = \sqrt{0{,}000199} \approx 0{,}0141$$

$$\text{margin} = 1{,}96 \cdot 0{,}0141 \approx 0{,}0277$$

$$\text{KI} = [0{,}122,\ 0{,}178]$$

Altså fra 12,2 % til 17,8 %.

c) Halvert margin betyr firedoblet utvalg:

$$4 \cdot 640 = 2560 \text{ personer}$$

(Kontroll med formelen: $\displaystyle n \ge \left(\frac{1{,}96}{0{,}01383}\right)^2 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85 \approx 2560$.)

Svar: a) ANTALL.HVIS, ROT og de to grenseformlene over. b) $[0{,}122,\ 0{,}178]$, altså 12,2 % til 17,8 %. c) 2560 personer.

Tolkning: Kommunen kan si at mellom 12 og 18 prosent av innbyggerne brukte de digitale tjenestene sist måned. Skal de kunne skille 15 % fra 16 % i en senere måling, må utvalget opp i mange tusen — og da er spørsmålet om forskjellen er verdt prisen.