7.1 Punktestimat

Hva vet vi? Vi har $n = 12$ målinger. Hva skal vi finne? Estimater for $\mu$ og $\sigma$.

a) Vi skriver formelen tom først, og setter så inn:

$$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i = \frac{200\,100}{12} = 16\,675$$

Punktestimatet for $\mu$ er altså

$$\mu \approx \bar{x} = 16\,675 \text{ kWh}$$

b) Her er de tolv husholdningene et utvalg, ikke hele kommunen. Da deler vi på $n - 1 = 11$ (kapittel 5.7):

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2} = \sqrt{\frac{84\,422\,500}{11}} \approx 2770 \text{ kWh}$$

regneark:   =GJENNOMSNITT(A1:A12)   gir 16675
            =STDAV.S(A1:A12)        gir 2770,3

Punktestimatet for $\sigma$ er altså $s \approx 2770$ kWh.

c) De to tallene svarer på to forskjellige spørsmål:

- $\bar{x} = 16\,675$ kWh er gjetningen på midtpunktet — hva en typisk husholdning bruker.
- $s \approx 2770$ kWh er gjetningen på spredningen — hvor mye husholdningene skiller seg fra hverandre. Noen bruker godt over 20 000 kWh, andre godt under 13 000.

Svar: a) $\mu \approx 16\,675$ kWh. b) $\sigma \approx 2770$ kWh. c) $\bar{x}$ estimerer midtpunktet, $s$ estimerer spredningen mellom husholdninger.

NB: Legg merke til at ingen av de tolv husholdningene brukte nøyaktig 16 675 kWh. Estimatet er ikke en måling — det er et regnet tall som skal gjelde for alle husholdningene i kommunen.

Hva vet vi? $n = 600$ spurte og $x = 138$ ja-svar. Hva skal vi finne? $\hat{p}$ og standardfeilen.

a) Vi setter inn i formelen:

$$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{138}{600} = 0{,}23$$

Altså 23 %.

b) Først en kontroll av at formelen kan brukes: både $n\hat{p} = 138$ og $n(1-\hat{p}) = 462$ er godt over 5.

$$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}23 \cdot 0{,}77}{600}} = \sqrt{\frac{0{,}1771}{600}} = \sqrt{0{,}000295} \approx 0{,}0172$$

Altså omtrent 1,7 prosentpoeng.

c) «Én av fire» er 25 %. Estimatet vårt er 23 %, og det svinger typisk med 1,7 prosentpoeng fra utvalg til utvalg. 25 % ligger bare

$$\frac{25 - 23}{1{,}7} \approx 1{,}2$$

standardfeil unna — altså godt innenfor det som er vanlig slingring. Vi kan derfor ikke utelukke at den sanne andelen er 25 %, men vårt beste anslag er 23 %.

Svar: a) $\hat{p} = 0{,}23$, altså 23 %. b) $SE(\hat{p}) \approx 0{,}017$, altså 1,7 prosentpoeng. c) Ja, det er en forsvarlig omtrentlig formulering — 25 % ligger godt innenfor usikkerheten.

NB — prosent og prosentpoeng. Standardfeilen på 1,7 er prosentpoeng, ikke prosent. Den skal legges til og trekkes fra 23 %-tallet, ikke ganges med det.

a) Vi bruker $s$ i stedet for den ukjente $\sigma$:

$$SE(\bar{x}) = \frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{2770}{\sqrt{12}} \approx \frac{2770}{3{,}464} \approx 800 \text{ kWh}$$

b) Totalen er antall husholdninger ganger gjennomsnittet per husholdning:

$$T \approx N \cdot \bar{x} = 4200 \cdot 16\,675 = 70\,035\,000 \text{ kWh} \approx 70{,}0 \text{ GWh}$$

c) Totalen er $\bar{x}$ ganget med en fast konstant $N = 4200$. Vi bruker $SD(aX) = |a| \cdot SD(X)$ fra kapittel 5.3:

$$SE(T) = N \cdot SE(\bar{x}) \approx 4200 \cdot 800 = 3\,360\,000 \text{ kWh} \approx 3{,}4 \text{ GWh}$$

(Regner vi uten avrunding underveis, blir det 3,36 GWh.)

Svar: a) $\approx 800$ kWh. b) $\approx 70{,}0$ GWh. c) $\approx 3{,}4$ GWh.

Tolkning: Kommunen kan planlegge med omtrent 70 GWh, men bør vite at anslaget lett kan bomme med noen GWh. Vil de ha et sikrere tall, hjelper det ikke å regne mer nøyaktig på de tolv — de må måle flere husholdninger.

a) Vi legger de 20 tallene i A1:A20 og skriver:

=GJENNOMSNITT(A1:A20)      gir 52 545
=STDAV.S(A1:A20)           gir 5583,3
=ANTALL(A1:A20)            gir 20
=STDAV.S(A1:A20)/ROT(20)   gir 1248,5

Altså

$$\bar{x} = 52\,545 \text{ kr} \qquad s \approx 5583 \text{ kr} \qquad SE(\bar{x}) \approx 1249 \text{ kr}$$

b) Vi teller hvor mange som er over 55 000:

=ANTALL.HVIS(A1:A20;">55000")   gir 7

$$\hat{p} = \frac{7}{20} = 0{,}35$$

Kontrollen: $n\hat{p} = 7$ og $n(1-\hat{p}) = 13$, begge over 5 — akkurat innenfor. Standardfeilen:

$$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{0{,}35 \cdot 0{,}65}{20}} = \sqrt{0{,}011375} \approx 0{,}107$$

Altså nesten 11 prosentpoeng.

c) Vi sammenligner hver standardfeil med sitt eget estimat:

$$\frac{1249}{52\,545} \approx 0{,}024 = 2{,}4 \,\% \qquad \text{mot} \qquad \frac{0{,}107}{0{,}35} \approx 0{,}306 = 30{,}6 \,\%$$

Gjennomsnittet er altså mye sikrere anslått enn andelen.

Svar: a) $\bar{x} = 52\,545$ kr, $s \approx 5583$ kr, $SE \approx 1249$ kr. b) $\hat{p} = 0{,}35$ med $SE \approx 0{,}107$. c) Gjennomsnittet — standardfeilen er 2,4 % av estimatet mot 30,6 % for andelen.

Hvorfor er andelen så mye dårligere? Fordi vi kastet bort informasjon. Da vi delte leilighetene i «over» og «under» 55 000, ble en pris på 62 500 og en på 55 100 like — begge ble bare «over». Tjue tall som forteller mye, ble tjue tall som forteller lite. Vil du estimere en andel presist, trenger du langt større utvalg enn til et gjennomsnitt.