6.5 Normaltilnærming til binomisk fordeling | Statistikk

Når og hvordan binomiske sannsynligheter kan regnes med normalfordelingen.

45 min

7 oppgaver

NormaltilnærmingBinomisk

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Normaltilnærming til binomisk fordeling

I kapittel 5.4 og 5.5 regnet vi binomiske sannsynligheter. Det gikk greit så lenge $n$ var liten: tabellen dekket $n = 10$ , og formelen var til å leve med.

Men se på dette spørsmålet:

Et parti har 40 % oppslutning. I en måling med 1000 spurte — hva er sannsynligheten for at høyst 380 svarer at de stemmer partiet?

Med den binomiske formelen må vi regne ut og legge sammen 381 ledd, hvert med en binomialkoeffisient av typen $\binom{1000}{273}$ . Det lar seg gjøre i et regneark, men ikke for hånd — og lenge fantes det ingen regneark.

Løsningen kom fra en observasjon: når $n$ blir stor, ser den binomiske fordelingen ut som en klokke. Og en klokke kan vi regne på.

Hvorfor binomisk ligner normal

Dette er ikke tilfeldig — det følger direkte av sentralgrensesetningen fra kapittel 6.4.

Tenk på en binomisk situasjon: $n$ uavhengige forsøk, hvert med sannsynlighet $p$ for suksess. La

$X_i = \begin{cases} 1 & \text{hvis forsøk nr. } i \text{ er en suksess} \\ 0 & \text{ellers} \end{cases}$

Da er antall suksesser rett og slett summen:

$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

Og summen av mange uavhengige variabler er tilnærmet normalfordelt. Det er nøyaktig det sentralgrensesetningen sier.

Den binomiske fordelingen er altså ikke et nytt tilfelle — den er det samme tilfellet som heisen med 50 passasjerer i kapittel 6.4, bare med den enkleste tenkelige enkeltvariabelen: én som bare kan være 0 eller 1.

Forventningsverdi og standardavvik har vi allerede fra kapittel 5.5:

$\mu = np \qquad \text{og} \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

📜Normaltilnærming til binomisk fordeling

X

være binomisk fordelt med

n

forsøk og suksessannsynlighet

p

Dersom

$np \ge 5 \qquad \text{og} \qquad n(1-p) \ge 5$

kan $X$ regnes som tilnærmet normalfordelt med

$\mu = np \qquad \text{og} \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Hva kriteriet betyr: begge halene må ha plass. Er $np$ lite, klumper fordelingen seg opp mot 0 og blir skjev — og en skjev fordeling kan ikke være en klokke. Det samme skjer i den andre enden når $n(1-p)$ er lite.

Kriteriet er en tommelfingerregel på linje med $n \ge 30$ i kapittel 6.4. Noen bøker krever 10 i stedet for 5. Jo nærmere $p$ er 0,5, jo raskere blir tilnærmingen god: ved $p = 0{,}5$ er fordelingen symmetrisk fra første stund.

Heltallskorreksjonen

Nå møter vi et problem som ikke fantes i kapittel 6.4: vi erstatter noe som teller med noe som måler.

$X$ er et helt tall — 45 pakker, ikke 45,3. Normalfordelingen kjenner ingen slik begrensning.

Se på figuren over. Søylen for $x = 20$ dekker strekningen fra 19,5 til 20,5 — den er én enhet bred, med senter i 20. Skal vi finne arealet som svarer til $P(X \le 20)$ , må vi altså ta arealet under kurven fram til 20,5, ikke til 20. Gjør vi det siste, mister vi halve den siste søylen.

Denne halve enheten kalles heltallskorreksjonen, og den skal alltid med:

Binomisk spørsmål	Regnes som
$P(X \le k)$	$P(Y \le k + 0{,}5)$
$P(X < k)$	$P(Y \le k - 0{,}5)$
$P(X \ge k)$	$P(Y \ge k - 0{,}5)$
$P(X > k)$	$P(Y \ge k + 0{,}5)$
$P(X = k)$	$P(k - 0{,}5 \le Y \le k + 0{,}5)$
$P(a \le X \le b)$	$P(a - 0{,}5 \le Y \le b + 0{,}5)$

Huskeregelen: flytt grensen slik at hele søylen kommer med i det du spør om. Spør du om «høyst 45», skal søyle nummer 45 være med — altså ut til 45,5. Spør du om «minst 50», skal søyle nummer 50 med — altså fra 49,5.
NB: Den siste raden i tabellen er verdt å merke seg spesielt. For en kontinuerlig variabel er

P(Y = 40) = 0

(kapittel 5.6), så uten korreksjonen ville normaltilnærmingen svart 0 på hvert eneste «hvor sannsynlig er akkurat

k

?»-spørsmål. Med korreksjonen blir svaret arealet av et smalt bånd — og det stemmer godt.

✏️Eksempel 1: Med og uten korreksjon

En bedrift vet at 40 % av kundene som får et tilbud, takker ja. Tilbudet sendes til 100 kunder. La $X$ være antall kunder som takker ja.

a) Vis at normaltilnærmingen kan brukes, og finn $\mu$ og $\sigma$ .
b) Finn $P(X \le 45)$ med normaltilnærmingen.
c) Sammenlign med den eksakte binomiske verdien 0,8689.

Løsning:

a) Hva vet vi? Fordelingen er binomisk med $n = 100$ og $p = 0{,}40$ .

Vi sjekker kriteriet:

$np = 100 \cdot 0{,}40 = 40 \ge 5 \quad \checkmark$

$n(1-p) = 100 \cdot 0{,}60 = 60 \ge 5 \quad \checkmark$

Begge er godt over 5, så tilnærmingen kan brukes.

$\mu = np = 100 \cdot 0{,}40 = 40$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}60} = \sqrt{24} \approx 4{,}90$

b) Vi skriver om med heltallskorreksjonen. «Høyst 45» betyr at søyle nummer 45 skal være med:

$P(X \le 45) \approx P(Y \le 45{,}5)$

Så standardiserer vi, som i kapittel 6.2:

$z = \frac{45{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{5{,}5}{4{,}899} = 1{,}12$

$P(Y \le 45{,}5) = P(Z \le 1{,}12) = 0{,}8686$

Regneark:   =NORM.FORDELING.N(45,5; 40; ROT(24); SANN)

gir 0,8692.

c) Den eksakte verdien er 0,8689. Avviket er

$|0{,}8692 - 0{,}8689| = 0{,}0003$

Hva om vi hadde glemt korreksjonen? Da hadde vi regnet

$z = \frac{45 - 40}{4{,}899} = 1{,}02 \quad \Longrightarrow \quad P(Y \le 45) = 0{,}8463$

og bommet med $0{,}0226$ — nesten hundre ganger så mye.

Svar: a) $np = 40$ og $n(1-p) = 60$ , begge over 5; $\mu = 40$ og $\sigma \approx 4{,}90$ . b) $\approx 0{,}869$ . c) Avviket er 0,0003 med korreksjon, mot 0,0226 uten.

NB: Legg merke til at halvenheten ikke er en detalj. Her flyttet den svaret med over to prosentpoeng. Jo mindre $\sigma$ er, jo mer betyr den — for da er én enhet en stor del av spredningen.

📝Oppgave 1

Gjør den samme. I en produksjon er 30 % av enhetene av høyeste kvalitetsklasse. Det produseres 200 enheter. La

X

være antall enheter i høyeste klasse. Bruk normaltilnærmingen med heltallskorreksjon.

Vis at tilnærmingen kan brukes, og finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn $P(X \le 70)$ .

Finn $P(X \ge 50)$ .

Finn $P(X = 60)$ .

Finn $P(54 \le X \le 66)$ .

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Minst, og nøyaktig

Samme situasjon som i eksempel 1: $n = 100$ og $p = 0{,}40$ , altså $\mu = 40$ og $\sigma \approx 4{,}90$ .

a) Finn $P(X \ge 50)$ .
b) Finn $P(X = 40)$ .

Løsning:

a) «Minst 50» betyr at søyle nummer 50 skal være med. Søylen starter i 49,5:

$P(X \ge 50) \approx P(Y \ge 49{,}5)$

$z = \frac{49{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{9{,}5}{4{,}899} = 1{,}94$

$P(Y \ge 49{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}94) = 1 - 0{,}9738 = 0{,}0262$

(Eksakt binomisk: 0,0271. Uten korreksjon ville vi fått 0,0206 — altså 24 % for lavt.)

b) Her spør vi om nøyaktig 40. For normalfordelingen er sannsynligheten for én enkelt verdi 0, så uten korreksjonen ville svaret blitt 0. Med korreksjonen blir det arealet av søylen fra 39,5 til 40,5:

$P(X = 40) \approx P(39{,}5 \le Y \le 40{,}5)$

$z_1 = \frac{39{,}5 - 40}{4{,}899} = -0{,}10 \qquad z_2 = \frac{40{,}5 - 40}{4{,}899} = 0{,}10$

$P = 0{,}5398 - 0{,}4602 = 0{,}0796$

Regneark:   =NORM.FORDELING.N(40,5; 40; ROT(24); SANN)
            - NORM.FORDELING.N(39,5; 40; ROT(24); SANN)

gir 0,0813.

Svar: a) $\approx 0{,}026$ . b) $\approx 0{,}081$ .

Kontroll mot det eksakte: den binomiske formelen gir

$P(X = 40) = \binom{100}{40} \cdot 0{,}40^{40} \cdot 0{,}60^{60} = 0{,}0812$

Tilnærmingen bommer altså i fjerde desimal. Til et regnestykke som ellers ville krevd en binomialkoeffisient med 100 i, er det ikke verst.

NB: Forskjellen mellom tabelloppslag og verktøy gir her et lite avvik (0,0796 mot 0,0813), fordi $z$ -verdiene $\pm 0{,}10$ er kraftig avrundet. Når båndet er smalt, er tabellen med to desimaler for grov — bruk verktøy på denne typen.

📝Oppgave 2

Gjør den samme. I en kommune er 85 % av innbyggerne vaksinert. Det trekkes ut 800 tilfeldige innbyggere. La

X

være antall vaksinerte blant dem. Bruk verktøy og normaltilnærming med heltallskorreksjon.

Vis at tilnærmingen kan brukes, og finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn $P(X \ge 700)$ .

Finn $P(X \le 660)$ .

Finn $P(670 \le X \le 690)$ .

Finn grensen som bare 5 % av utvalgene kommer under.

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Meningsmåling

Anta at halvparten av velgerne, altså $p = 0{,}50$ , er for et forslag. Et byrå spør 1000 tilfeldige velgere. La $X$ være antall som sier ja.

a) Finn $\mu$ og $\sigma$ .
b) Finn sannsynligheten for at minst 540 av de spurte sier ja.
c) Finn sannsynligheten for at minst 520 sier ja.
d) Hva forteller svarene om hvor mye vi kan stole på en enkelt måling?

Løsning:

a) $\mu = np = 1000 \cdot 0{,}50 = 500$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1000 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{250} \approx 15{,}81$

(Kriteriet: $np = 500$ og $n(1-p) = 500$ , begge langt over 5.)

b) «Minst 540» starter på 539,5:

$z = \frac{539{,}5 - 500}{15{,}811} = \frac{39{,}5}{15{,}811} = 2{,}50$

$P(X \ge 540) \approx 1 - P(Z \le 2{,}50) = 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062$

c) «Minst 520» starter på 519,5:

$z = \frac{519{,}5 - 500}{15{,}811} = 1{,}23$

$P(X \ge 520) \approx 1 - 0{,}8907 = 0{,}1093$

(Med verktøy: 0,1087. Eksakt binomisk: 0,1087.)

d) Se på hva tallene sier. Den sanne oppslutningen er nøyaktig 50 %. Likevel:

- I omtrent 11 % av målingene vil minst 52 % svare ja.
- I omtrent 0,6 % vil minst 54 % svare ja.

Svar: a) $\mu = 500$ og $\sigma \approx 15{,}8$ . b) $\approx 0{,}006$ . c) $\approx 0{,}109$ . d) Se under.

Tolkning: En måling som viser 52 % er ikke noe bevis for flertall. Den kan like gjerne være et tilfeldig utslag av at 1000 mennesker ble spurt i stedet for alle. Standardavviket på 15,8 personer tilsvarer 1,6 prosentpoeng, og to standardavvik — det som skal til før vi begynner å bli overrasket — er over 3 prosentpoeng.

Det er derfor målinger oppgis med feilmargin. Hvordan den regnes ut, tar vi i kapittel 7.3.

📝Oppgave 3

Del 2. Et parti har en oppslutning på 25 %. Et byrå spør 600 tilfeldige velgere, og

X

er antall som sier de vil stemme partiet.

Finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn sannsynligheten for at minst 170 svarer at de vil stemme partiet.

Finn sannsynligheten for at høyst 135 svarer det.

Finn $P(140 \le X \le 160)$ .

Målingen viser 170 av 600. Hvilken oppslutning i prosent er det, og er resultatet overraskende?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Den andre veien — finn antallet

Vi fortsetter med meningsmålingen fra eksempel 3: $n = 1000$ , $p = 0{,}50$ , altså $\mu = 500$ og $\sigma \approx 15{,}81$ .

Finn det minste antallet $k$ slik at $P(X \ge k) \le 0{,}05$ .

Med andre ord: hvor mange ja-svar skal til før resultatet er blant de 5 % mest ekstreme, gitt at den sanne oppslutningen er 50 %?

Løsning:

Hva vet vi? At arealet til høyre skal være høyst 0,05. Hva må vi finne? Grensen — altså en kvantil, som i kapittel 6.3.

Skritt 1 — skriv om til «fra venstre». $P(X \ge k) \le 0{,}05$ betyr at arealet til venstre er minst 0,95:

Regneark:   =NORM.INVERS.N(0,95; 500; ROT(250))

$y = 526{,}0$

Skritt 2 — ta hensyn til heltallskorreksjonen. Grensen 526,0 er en grense for den kontinuerlige variabelen $Y$ . For den binomiske gjelder $P(X \ge k) \approx P(Y \ge k - 0{,}5)$ , så vi må ha

$k - 0{,}5 \ge 526{,}0 \quad \Longrightarrow \quad k \ge 526{,}5$

Skritt 3 — rund av til et helt antall. $X$ teller mennesker, så $k$ må være et helt tall. Det minste hele tallet over 526,5 er

$k = 527$

Kontroll (eksakt binomisk):

$P(X \ge 527) = 0{,}0468 \le 0{,}05 \quad \checkmark$

$P(X \ge 526) = 0{,}0534 > 0{,}05$

Altså er 527 riktig, og 526 ville vært for lavt.

Svar: $k = 527$ , altså minst 52,7 % ja-svar i utvalget.

Tolkning: Får byrået 527 ja-svar eller flere, er det et resultat som inntreffer i under 5 % av målingene dersom befolkningen i virkeligheten er delt på midten. Da begynner vi å tvile på at den er det.

Dette er hypotesetesting. Vi har nettopp regnet ut et forkastningsområde uten å kalle det det. I kapittel 7.6 får framgangsmåten navn — men regnestykket er nøyaktig dette.

NB: Rund alltid av i den retningen som gjør kravet oppfylt. Her måtte vi oppover, fordi 526 ville gitt en for stor sannsynlighet. Runder du feil vei, bryter svaret det kravet oppgaven stiller.

Når tilnærmingen svikter — målt

Kriteriet er ikke en formalitet. Her er hva som skjer når det brytes.

La $n = 40$ og $p = 0{,}05$ — for eksempel antall defekte i en sending på 40, når 5 % er defekte. Da er

$np = 40 \cdot 0{,}05 = 2 \qquad \text{(under 5 — kriteriet er brutt)}$

$\mu = 2 \qquad \sigma = \sqrt{40 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 1{,}38$

Vi regner $P(X \le 1)$ på begge måter:

Metode	Svar
Eksakt binomisk	0,3991
Normal med heltallskorreksjon	0,3584

Tilnærmingen bommer med 4 prosentpoeng — over 10 % relativt. Og det blir verre: normalmodellen gir

P(Y < 0) = 0{,}073

Den påstår altså at det er 7 % sannsynlighet for et negativt antall defekte. Det er umulig, og det er selve symptomet: kurven er for bred for et område som starter i 0. Fordelingen er skjev, ikke klokkeformet.

Regelen: er $np$ eller $n(1-p)$ under 5, skal du regne eksakt binomisk. Det er dessuten den enkleste veien i dag — =BINOM.FORDELING.N(...) i et regneark gjør det på ett tastetrykk.

📝Oppgave 4

Oversettelse. La

X

være binomisk fordelt med

n = 100

p = 0{,}40

, og la

Y

være den normalfordelte variabelen med

\mu = 40

\sigma \approx 4{,}90

. Skriv om hvert uttrykk med heltallskorreksjon. Du skal ikke regne ut tallene.

P(X \le 45)

P(X \ge 50)

P(X = 40)

P(35 \le X \le 45)

P(X < 50)

📝Oppgave 5

Kan tilnærmingen brukes? Regn ut

np

n(1-p)

, og avgjør om normaltilnærmingen kan brukes.

n = 30

p = 0{,}50

n = 60

p = 0{,}05

n = 400

p = 0{,}01

n = 80

p = 0{,}95

I b): regn $P(X \le 2)$ både eksakt og med tilnærmingen, og mål avviket. Eksakt binomisk gir 0,4174.

Løs oppgaven

Oppsummering

- En binomisk variabel er en sum av $n$ uavhengige 0/1-variabler. Derfor gjelder sentralgrensesetningen, og derfor ligner den binomiske fordelingen en klokke når $n$ er stor.
- Tilnærmingen: $X$ regnes som normalfordelt med $\mu = np$ og $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ .
- Kriteriet: $np \ge 5$ og $n(1-p) \ge 5$ . Det er den minste av de to som avgjør — stor $n$ hjelper ikke alene.
- Heltallskorreksjonen skal alltid med: flytt grensen en halv enhet slik at hele søylen kommer med. «Høyst $k$ » blir $k + 0{,}5$ , «minst $k$ » blir $k - 0{,}5$ , og «nøyaktig $k$ » blir båndet fra $k - 0{,}5$ til $k + 0{,}5$ .
- Uten korreksjonen bommer svaret systematisk — i eksempel 1 med 0,023 i stedet for 0,0003.
- Brytes kriteriet, blir fordelingen skjev og tilnærmingen dårlig. Da regner vi eksakt binomisk.
- Regningen etterpå er nøyaktig som i kapittel 6.2 og 6.3: standardiser, eller bruk NORM.FORDELING.N direkte.

Hvorfor lærer vi dette når regnearket kan regne eksakt binomisk? Fordi tilnærmingen er broen til resten av faget. Konfidensintervall for en andel (kapittel 7.3) og hypotesetest for en andel (kapittel 7.6) bygger begge på at antallet suksesser er tilnærmet normalfordelt. Uten den koblingen ville en meningsmåling ikke kunne oppgi noen feilmargin i det hele tatt.

Med dette er seksjon 6 ferdig. Vi har en modell for enkeltverdier (normalfordelingen), for gjennomsnitt (sentralgrensesetningen) og for andeler (normaltilnærmingen) — og i kapittel 7 snur vi hele apparatet: der er det fordelingen som er ukjent, og dataene som skal fortelle oss om den.

📝Oppgave 6

Samleoppgave, Del 2. I en by reiser 12 % av innbyggerne kollektivt til jobb. Et transportselskap spør 2500 tilfeldige yrkesaktive. La

X

være antall som reiser kollektivt.

Vis at normaltilnærmingen kan brukes, og finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn sannsynligheten for at minst 330 svarer at de reiser kollektivt.

Finn $P(280 \le X \le 320)$ .

Finn antallet som bare 1 % av undersøkelsene kommer over.

Undersøkelsen viser 330 av 2500. Selskapet melder at «andelen kollektivreisende har økt fra 12 % til 13,2 %». Vurder påstanden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandene under.

«Heltallskorreksjonen er en detalj som ikke betyr noe i praksis.» Drøft.

«Siden regneark kan regne eksakt binomisk, er normaltilnærmingen overflødig.» Drøft.

Hvorfor krever kriteriet begge produktene, og ikke bare at $n$ er stor?

Et byrå spør 1000 velgere og finner 52 % oppslutning for et forslag. En avis skriver «flertall for forslaget». Drøft.

Hvorfor er $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ størst når $p = 0{,}5$ , og hva betyr det for meningsmålinger?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.