6.3 Normalfordeling med digitale verktøy

Regneark og GeoGebra for sannsynligheter og kvantiler i normalfordelingen.

45 min

7 oppgaver

Digitale verktøyKvantiler

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Normalfordeling med digitale verktøy

Tabellen i kapittel 6.2 virker, men den har tre svakheter:

1. Den gjelder bare for $Z$ , så vi må standardisere først.
2. Den er avrundet — vi fikk 86,84 der det riktige svaret er 86,845.
3. Den har bare noen få verdier, så vi må velge nærmeste og leve med avviket.

Med et digitalt verktøy forsvinner alle tre. Vi skriver inn $\mu$ og $\sigma$ direkte, og får svaret med så mange desimaler vi vil.

Men tabellen er ikke bortkastet. Standardiseringen er fortsatt måten du forstår hva verktøyet gjør, og $z$ -verdien er et nyttig tall i seg selv. Dessuten: på en Del 1-oppgave uten hjelpemidler er tabellen og 68–95–99,7-regelen alt du har.

Regneark

Regneark har ferdige funksjoner for normalfordelingen. Disse fire dekker alt vi trenger:

Formel	Gir
`=NORM.FORDELING.N(x; μ; σ; SANN)`	$P(X \le x)$ — arealet fra venstre
`=NORM.INVERS.N(p; μ; σ)`	grensen $x$ med $P(X \le x) = p$
`=NORM.S.FORDELING.N(z; SANN)`	$P(Z \le z)$ — det tabellen gir
`=NORM.S.INVERS(p)`	$z$ -verdien med $P(Z \le z) = p$

De to øverste er de vi bruker mest: de går rett på

X

, uten at vi standardiserer i det hele tatt. De to nederste er tabellen fra kapittel 6.2, bare uten avrunding.
Om den siste parameteren SANN: den ber om det kumulative — arealet fram til

x

. Skriver du USANN i stedet, får du høyden på kurven, altså

f(x)

. Den trenger du nesten aldri. Husk: det er arealet som er sannsynligheten, ikke høyden.
NB: Funksjonsnavnene varierer litt mellom programmer og versjoner. Finner du ikke NORM.FORDELING.N, prøv NORMFORDELING — eller skriv =NORM i en celle og se hva programmet foreslår.

GeoGebra

GeoGebra har de samme to funksjonene, og skrives inn i inntastingsfeltet:

FordelingNormal(83, 3, 86)
InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

Rekkefølgen er $\mu$ , $\sigma$ , og deretter verdien:

- FordelingNormal(μ, σ, x) gir $P(X \le x)$
- InversNormalfordeling(μ, σ, p) gir grensen $x$ med $P(X \le x) = p$

Legg merke til at GeoGebra vil ha punktum som desimaltegn i kommandoene (0.9, ikke 0,9), mens svaret kommer med komma.

Alternativt kan du regne arealet som et integral, slik vi gjorde i kapittel 5.6 — det er nøyaktig samme sak:

f(x) = 1 / (3 sqrt(2 pi)) exp(-(x - 83)^2 / (2 * 3^2))
Integral(f, 80, 86)

Den veien er lengre, men den viser hva Normalfordeling egentlig gjør: den regner arealet under tetthetskurven.

NB: Uansett verktøy — skriv alltid opp hva du ba om, ikke bare svaret. En besvarelse som bare inneholder tallet 0,1587, uten kommandoen eller formelen som ga det, er ikke en løsning. Sensor skal kunne se hvilken sannsynlighet du har regnet.

✏️Eksempel 1: De tre spørsmålstypene med verktøy

Bremselengden $X$ i meter for en bilmodell er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m.

Bruk digitale verktøy og finn
a) $P(X \le 86)$
b) $P(X > 86)$
c) $P(80 \le X \le 86)$

Løsning:

Hva vet vi? $\mu = 83$ og $\sigma = 3$ . Vi skriver dem inn direkte — ingen standardisering.

a) «Mindre enn eller lik» er akkurat det funksjonen gir:

Regneark:   =NORM.FORDELING.N(86; 83; 3; SANN)
GeoGebra:   FordelingNormal(83, 3, 86)

$P(X \le 86) = 0{,}8413$

b) «Større enn» finnes det ingen egen funksjon for. Vi bruker komplementet, som alltid:

$P(X > 86) = 1 - P(X \le 86)$

Regneark:   =1 - NORM.FORDELING.N(86; 83; 3; SANN)
GeoGebra:   1 - FordelingNormal(83, 3, 86)

$P(X > 86) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$

c) Et intervall er differansen mellom to arealer fra venstre — øvre minus nedre:

$P(80 \le X \le 86) = P(X \le 86) - P(X \le 80)$

Regneark:   =NORM.FORDELING.N(86; 83; 3; SANN) - NORM.FORDELING.N(80; 83; 3; SANN)
GeoGebra:   FordelingNormal(83, 3, 86) - FordelingNormal(83, 3, 80)

$P(80 \le X \le 86) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827$

De tre spørsmålstypene i ett bilde, for bremselengden med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m. Aksen er i meter, ikke i $z$ : verktøyet går rett på $X$ og standardiserer for deg. Det grønne området er differansen mellom det gule og det som ligger til venstre for 80.

Svar: a) $0{,}8413$ . b) $0{,}1587$ . c) $0{,}6827$ .

Kontroll mot kapittel 6.2: i eksempel 2 der fikk vi 0,1587 for b) med tabellen — identisk. Og c) er nettopp $\mu \pm \sigma$ , siden $80 = 83 - 3$ og $86 = 83 + 3$ . Svaret 0,6827 er derfor 68–95–99,7-regelens første linje, nå med full nøyaktighet.

NB: Legg merke til at de tre oversettelsene er de samme som med tabell. Verktøyet fjerner standardiseringen, men ikke tenkningen: du må fortsatt vite hvilken vei ulikheten går, og at «mellom» er en differanse.

📝Oppgave 1

Del 2 — gjør den samme. En tappemaskin fyller flasker. Fyllmengden

X

i milliliter er normalfordelt med

\mu = 500

ml og

\sigma = 6

ml. Skriv opp formelen eller kommandoen du bruker, og svar med fire desimaler.

Finn $P(X \le 508)$ .

Finn $P(X > 512)$ .

Finn $P(494 \le X \le 506)$ .

Finn $P(X < 490)$ .

Av 5000 flasker — hvor mange venter vi inneholder mindre enn 490 ml?

Løs oppgaven

Kvantil

p

✏️Eksempel 2: Kvantilen med verktøy

Bremselengden er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m, som i eksempel 1.

a) Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}90$ .
b) Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}99$ .
c) Bestem $k$ slik at $P(X > k) = 0{,}01$ .

Løsning:

a) Sannsynligheten er gitt, grensen er ukjent — altså en kvantil:

Regneark:   =NORM.INVERS.N(0,90; 83; 3)
GeoGebra:   InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

$k = 86{,}8447 \approx 86{,}8$

b) Samme kommando med 0,99:

Regneark:   =NORM.INVERS.N(0,99; 83; 3)

$k = 89{,}9790 \approx 90{,}0$

c) Her står ulikheten motsatt vei. Funksjonen vil alltid ha arealet fra venstre, så vi må skrive om først:

$P(X > k) = 0{,}01 \quad \Longrightarrow \quad P(X \le k) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$

Det er nøyaktig samme spørsmål som i b):

$k = 89{,}9790 \approx 90{,}0$

Svar: a) $k \approx 86{,}8$ m. b) $k \approx 90{,}0$ m. c) $k \approx 90{,}0$ m.

Sammenligning med tabellen: i kapittel 6.2 fikk vi 86,84 for a), fordi vi måtte velge $z = 1{,}28$ der det riktige er 1,2816. Forskjellen er 5 millimeter på en bremselengde — uten praktisk betydning, men verdt å vite om: tabellsvar og verktøysvar skal ikke forventes å være like i siste desimal.

NB: Legg merke til at b) og c) har samme svar. Det er ikke en tilfeldighet, men hele poenget med omskrivingen: «1 % over» og «99 % under» er to måter å beskrive den samme grensen på. Skriv alltid om til «under» før du taster.

📝Oppgave 2

Del 2 — gjør den samme. Høyden

X

i centimeter til 16 år gamle jenter er normalfordelt med

\mu = 167

cm og

\sigma = 6

cm. Svar med én desimal.

Finn 25-prosentilen og 75-prosentilen, altså $Q_1$ og $Q_3$ .

Finn medianen, og forklar svaret uten å regne.

Finn 90-prosentilen.

Finn grensen $k$ med $P(X > k) = 0{,}01$ .

Hvor bred er kvartilbredden $Q_3 - Q_1$ , og hvor mange standardavvik er det?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Garantitid

Levetiden $X$ i timer for en LED-pære er normalfordelt med $\mu = 1200$ timer og $\sigma = 100$ timer.

a) Finn andelen pærer som svikter før 1000 timer.
b) Produsenten vil gi en garanti som høyst 5 % av pærene utløser. Hvor mange timers garanti kan han gi?
c) Bedriften selger 50 000 pærer. Hvor mange reklamasjoner må den regne med hvis garantien settes til 1000 timer?

Løsning:

a) «Svikter før 1000 timer» er $P(X < 1000)$ :

Regneark:   =NORM.FORDELING.N(1000; 1200; 100; SANN)

$P(X < 1000) = 0{,}0228$

Altså 2,3 % av pærene.

b) Hva vet vi? At arealet til venstre for garantitiden skal være 0,05. Hva må vi finne? Selve grensen — altså en kvantil:

Regneark:   =NORM.INVERS.N(0,05; 1200; 100)
GeoGebra:   InversNormalfordeling(1200, 100, 0.05)

$t = 1035{,}51$

Produsenten bør oppgi garantien i hele hundre timer, og må da runde nedover:

$t = 1000 \text{ timer}$

(Runder han oppover til 1100 timer, blir andelen som utløser garantien $P(X < 1100) = 0{,}1587$ , altså nesten 16 % — tre ganger så mye som han var villig til å godta.)

c) Fra a) er andelen 0,0228:

$50\,000 \cdot 0{,}0228 = 1140$

Svar: a) $2{,}3$ %. b) 1035 timer, i praksis 1000 timer. c) Omtrent 1140 pærer.

Tolkning: Legg merke til hvor følsom garantien er. Fra 1000 til 1100 timer — en økning på under 10 % i lovet levetid — sjudobler antall reklamasjoner, fra 1140 til nesten 8000. Det er halens bratthet som gjør det: nær $\mu$ ligger sannsynlighetene tett, langt ute ligger de tynt.

📝Oppgave 3

Del 2 — gjør den samme. Levetiden

X

i kilometer for et sykkeldekk er normalfordelt med

\mu = 4200

km og

\sigma = 350

km.

Finn andelen dekk som er utslitt før 3500 km.

Finn andelen dekk som varer lenger enn 5000 km.

Produsenten godtar at 2 % av dekkene utløser garantien. Hvilken garantigrense gir det?

Finn $P(3800 \le X \le 4600)$ .

Garantien settes til 3400 km. Hvor mange reklamasjoner må produsenten regne med per 12 000 dekk?

Løs oppgaven

De midterste $p$ prosentene

En oppgavetype går igjen i kvalitetskontroll: hvilket intervall rommer de midterste 90 % av verdiene?

Her er det to grenser å finne, og nøkkelen er å fordele resten likt på begge sider. Skal 90 % ligge inne, må 10 % ligge utenfor — 5 % i hver hale:

$\text{nedre grense: } P(X \le a) = 0{,}05 \qquad \text{øvre grense: } P(X \le b) = 0{,}95$

Merk at den øvre grensen har $0{,}95$ under seg, ikke $0{,}05$ . En vanlig feil er å taste 0,05 begge ganger.

Regelen: skal de midterste $p$ ligge inne, er halene $\displaystyle \frac{1 - p}{2}$ hver, og du taster $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ og $\displaystyle \frac{1+p}{2}$ .

Midterste	Nedre	Øvre
50 %	0,25	0,75
80 %	0,10	0,90
90 %	0,05	0,95
95 %	0,025	0,975
99 %	0,005	0,995

✏️Eksempel 4: De midterste 90 prosentene

En dreiebenk lager aksler med diameter $X$ i millimeter, normalfordelt med $\mu = 20{,}00$ mm og $\sigma = 0{,}05$ mm.

a) Finn intervallet som inneholder diameteren til de midterste 90 % av akslene.
b) Finn kvartilbredden $Q_3 - Q_1$ .
c) Toleransekravet er $20{,}00 \pm 0{,}10$ mm. Hvor stor andel av akslene godkjennes?

Løsning:

a) Hva vet vi? At 90 % skal ligge inne, altså 10 % utenfor — 5 % i hver hale.

Nedre grense har 0,05 under seg:

Regneark:   =NORM.INVERS.N(0,05; 20; 0,05)

$a = 19{,}9178$

Øvre grense har 0,95 under seg:

Regneark:   =NORM.INVERS.N(0,95; 20; 0,05)

$b = 20{,}0822$

Intervallet er $[19{,}918;\ 20{,}082]$ mm.

(Kontroll: grensene ligger like langt fra $\mu = 20{,}00$ — $0{,}0822$ mm hver vei. Det må de, siden kurven er symmetrisk og halene er like store. Er de ikke det, har du tastet feil.)

b) Kvartilene er $0{,}25$ - og $0{,}75$ -kvantilene:

$Q_1 = 19{,}9663 \qquad Q_3 = 20{,}0337$

$Q_3 - Q_1 = 20{,}0337 - 19{,}9663 = 0{,}0674 \text{ mm}$

c) Toleransen $20{,}00 \pm 0{,}10$ betyr intervallet fra 19,90 til 20,10:

Regneark:   =NORM.FORDELING.N(20,1; 20; 0,05; SANN) - NORM.FORDELING.N(19,9; 20; 0,05; SANN)

$P(19{,}90 \le X \le 20{,}10) = 0{,}9545$

Svar: a) $[19{,}918;\ 20{,}082]$ mm. b) $0{,}0674$ mm. c) $95{,}45$ %.

Tolkning: I c) er toleransegrensene $\mu \pm 2\sigma$ , og vi kjenner igjen 0,9545 fra 68–95–99,7-regelen. Om lag 4,5 % av akslene — 45 av hver tusen — må kastes eller etterarbeides.

📝Oppgave 4

Del 2 — gjør den samme. Fødselsvekten

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 3600

g og

\sigma = 500

g. Svar i hele gram.

Finn intervallet som inneholder vekten til de midterste 50 % av barna.

Finn intervallet som inneholder de midterste 80 %.

Finn intervallet som inneholder de midterste 95 %.

Hvor bredt er hvert av de tre intervallene, og hva sier sammenligningen?

Barn under 2500 g regnes som lav fødselsvekt. Hvor stor andel er det i denne modellen?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Velg riktig formel. La

X

være normalfordelt med

\mu = 70

\sigma = 12

. Skriv regnearkformelen som gir svaret. Du skal ikke regne ut tallene.

Sannsynligheten for at $X$ er høyst 85.

Sannsynligheten for at $X$ er over 85.

Verdien med 95 % av fordelingen under seg.

Verdien med 5 % av fordelingen over seg.

Sannsynligheten for at $X$ ligger mellom 60 og 80.

Oppsummering

- =NORM.FORDELING.N(x; μ; σ; SANN) og FordelingNormal(μ, σ, x) gir $P(X \le x)$ — arealet fra venstre, direkte på $X$ , uten standardisering.
- =NORM.INVERS.N(p; μ; σ) og InversNormalfordeling(μ, σ, p) går motsatt vei: fra areal til grense. Tallet kalles en kvantil.
- De tre oversettelsene er de samme som med tabell: «større enn» er $1 -$ verdien, «mellom» er øvre minus nedre, og alt skrives om til «fra venstre» før du taster.
- Kvantiler: 0,5-kvantilen er medianen (lik $\mu$ for en normalfordeling), 0,25 og 0,75 er kvartilene, og $p \cdot 100$ gir prosentilen.
- De midterste $p$ : halene er $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ hver. Tast $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ og $\displaystyle \frac{1+p}{2}$ — ikke $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ og $p$ .
- Kontroller alltid at de to grensene ligger like langt fra $\mu$ .
- Skriv alltid opp formelen eller kommandoen, ikke bare tallet. Et svar uten framgangsmåte er ikke en løsning.
- Tabellsvar og verktøysvar kan avvike i siste desimal. Det er tabellen som er avrundet, ikke verktøyet som tar feil.

I kapittel 6.4 kommer det store spørsmålet: hvorfor dukker normalfordelingen opp i så mange forskjellige sammenhenger?

📝Oppgave 6

Samleoppgave, Del 2. En fabrikk støper sjokoladeplater. Vekten

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 102

g og

\sigma = 1{,}8

g. Platene merkes «100 g». Sjokolade koster fabrikken 0,085 kr per gram.

Finn andelen plater som veier mindre enn merkevekten.

Finn $P(100 \le X \le 104)$ .

Finn vekten som bare 1 promille av platene ligger under.

Myndighetene krever at høyst 0,5 % av platene har undervekt. Hvilken $\mu$ må maskinen stilles inn på, og hva koster omleggingen per million plater?

Alternativet er en ny støpemaskin som holder $\mu = 102$ g. Hvor liten må $\sigma$ da være for å oppfylle kravet, og hvilken løsning ville du anbefalt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting — verktøyet gir alltid et svar. Vurder påstandene under.

En elev modellerer årsinntekten i Norge som normalfordelt med $\mu = 620\,000$ kr og $\sigma = 400\,000$ kr, og regner ut =NORM.FORDELING.N(0; 620000; 400000; SANN). Hva får han, og hva forteller det?

«Siden verktøyet gir svar med ti desimaler, er svaret nøyaktig.» Drøft.

Når er tabellen fra kapittel 6.2 bedre enn verktøyet?

En elev skal finne $P(X > 85)$ og taster =NORM.FORDELING.N(85; 70; 12; SANN). Hva blir feilen, og hvordan ville du oppdaget den?

Hvorfor er det likevel et krav at framgangsmåten står i besvarelsen, når verktøyet gir svaret?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Normalfordeling med digitale verktøy

Regneark

GeoGebra

De midterste ppp prosentene

Oppsummering

De midterste $p$ prosentene