6.2 Standardisering og normalfordelingstabellen

Hva vet vi? $\mu = 1{,}50$ og $\sigma = 0{,}01$.

Hva må vi finne? $P(X \le 1{,}48)$ — sannsynligheten for at vannmengden er mindre enn eller lik 1,48 liter.

Skritt 1 — standardiser. Vi regner ut hvor mange standardavvik 1,48 ligger fra midten:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

$$z = \frac{1{,}48 - 1{,}50}{0{,}01} = \frac{-0{,}02}{0{,}01} = -2$$

Flaska med 1,48 liter ligger altså to standardavvik under middelverdien.

Skritt 2 — skriv om sannsynligheten. Hele kjeden, med samme operasjon på begge sider:

$$P(X \le 1{,}48) = P(X - \mu \le 1{,}48 - \mu) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{1{,}48 - \mu}{\sigma}\right) = P(Z \le -2)$$

Skritt 3 — slå opp. Tabellen har ikke negative $z$, så vi bruker symmetrien:

$$P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2)$$

Vi finner $z = 2{,}0$ i tabellen og leser av $P(Z \le 2{,}0) = 0{,}9772$:

$$P(Z \le -2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$$

Standardnormalfordelingen, altså fordelingen til $Z$ med $\mu = 0$ og $\sigma = 1$. Det gule feltet er $P(Z \le -2) = 0{,}0228$ — svaret i eksempel 1. Tabellen gir alltid arealet fra venstre og fram til $z$, slik som her.

Svar: $P(X \le 1{,}48) \approx 0{,}0228$

Tolkning: Omtrent 2,3 % av flaskene inneholder 1,48 liter eller mindre. Av 1000 flasker er det rundt 23 stykker.

Rimelighetssjekk: 1,48 ligger $2\sigma$ under $\mu$, og 68–95–99,7-regelen ga oss 0,025 for nettopp den grensen i kapittel 6.1. Tabellen gir 0,0228 — den samme størrelsen, bare nøyaktigere. Regelen var en avrunding av dette tallet.

Hva må vi finne? $P(X > 86)$ — sannsynligheten for at bremselengden er større enn 86 meter.

Skritt 1 — standardiser:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{86 - 83}{3} = \frac{3}{3} = 1$$

Skritt 2 — skriv om. Tabellen gir bare «mindre enn eller lik», så vi må bruke komplementet:

$$P(X > 86) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1)$$

Skritt 3 — slå opp. I tabellen står $P(Z \le 1{,}0) = 0{,}8413$:

$$P(X > 86) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$$

Høyrehalen. Tabellen gir alltid arealet fra venstre, altså $P(Z \le 1) = 0{,}8413$ — det hvite området. Det som spørres om, er resten: $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$. Tegner du skissen først, blir det umulig å ta feil vei på ulikheten.

Svar: $P(X > 86) \approx 0{,}1587$

Tolkning: I omtrent 16 % av bremsingene — altså i rundt én av seks — blir bremselengden lengre enn 86 meter. Det er verdt å merke seg for den som regner på sikkerhetsavstand: «gjennomsnittlig bremselengde 83 meter» betyr ikke at 83 meter er nok.

NB: Her er et sted det er lett å miste et skritt. Har du regnet $z = 1$ og slått opp 0,8413, er du ikke ferdig — 0,8413 er svaret på det motsatte spørsmålet. Skriv alltid ned hvilken vei ulikheten går før du åpner tabellen.

Hva må vi finne? $P(3000 \le X \le 4100)$.

Skritt 1 — standardiser begge grensene. Hver grense får sin egen $z$-verdi:

$$z_1 = \frac{3000 - 3600}{500} = \frac{-600}{500} = -1{,}20$$

$$z_2 = \frac{4100 - 3600}{500} = \frac{500}{500} = 1{,}00$$

Skritt 2 — skriv om. Arealet mellom to grenser er differansen mellom to arealer fra venstre:

$$P(3000 \le X \le 4100) = P(-1{,}20 \le Z \le 1{,}00) = P(Z \le 1{,}00) - P(Z \le -1{,}20)$$

Skritt 3 — slå opp. Den første står rett i tabellen:

$$P(Z \le 1{,}0) = 0{,}8413$$

Den andre er negativ, så vi speiler:

$$P(Z \le -1{,}20) = 1 - P(Z \le 1{,}20) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$$

Skritt 4 — trekk fra:

$$P(3000 \le X \le 4100) = 0{,}8413 - 0{,}1151 = 0{,}7262$$

Et intervall krever to oppslag. Arealet fram til $z = 1{,}00$ er 0,8413, og arealet fram til $z = -1{,}20$ er 0,1151. Trekker vi det minste fra det største, står midtområdet igjen: $0{,}8413 - 0{,}1151 = 0{,}7262$. Subtraksjonen er ren geometri.

Svar: $P(3000 \le X \le 4100) \approx 0{,}726$

Tolkning: Omtrent 73 % av fullbårne barn veier mellom 3,0 og 4,1 kilo. Utenfor ligger de resterende 27 % — omtrent 12 % under 3,0 kg og omtrent 16 % over 4,1 kg.

NB: Rekkefølgen er alltid øvre minus nedre. Snur du dem, får du et negativt tall, og en negativ sannsynlighet finnes ikke. Det er den beste kontrollen du har på dette regnestykket.

Hva vet vi? $\mu = 83$, $\sigma = 3$, og at arealet fra venstre skal være 0,90.

Hva må vi finne? Grensen $k$.

Skritt 1 — finn $z$ i tabellen. Vi leter etter tallet 0,9000 blant tabellverdiene, og finner at

$$P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997 \qquad \text{og} \qquad P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015$$

Vi velger den nærmeste: $z = 1{,}28$.

Skritt 2 — regn tilbake til $x$. Vi bruker $x = \mu + z \cdot \sigma$:

$$k = \mu + z \cdot \sigma$$

$$k = 83 + 1{,}28 \cdot 3$$

$$k = 83 + 3{,}84 = 86{,}84$$

Kontroll: vi standardiserer svaret og ser om vi kommer tilbake:

$$z = \frac{86{,}84 - 83}{3} = \frac{3{,}84}{3} = 1{,}28 \quad \checkmark$$

Svar: $k \approx 86{,}8$ meter

Tolkning: 90 % av bremsingene er kortere enn 86,8 meter — og 10 % er lengre. Skal en veistrekning dimensjoneres slik at ni av ti bremsinger går bra, er 86,8 meter tallet å bruke. Skal ni av ti ikke være godt nok, må vi opp i et høyere krav, for eksempel 99 %, som med $z = 2{,}33$ gir $83 + 2{,}33 \cdot 3 \approx 90{,}0$ meter.

NB: Legg merke til at $z$ her er positiv, fordi vi leter etter en grense over middelverdien. Er sannsynligheten mindre enn 0,5, ligger grensen under $\mu$, og $z$ blir negativ. Sjekk alltid fortegnet mot en skisse før du regner videre.