6.1 Normalfordelingen

Hva vet vi? $\mu = 180$ og $\sigma = 6$. Hva må vi finne? Fire sannsynligheter, alle sammen arealer under den samme klokkekurven.

Før vi regner, oversetter vi grensene til antall standardavvik fra midten. Det er nøkkelgrepet i hele kapittelet:

$$\mu - \sigma = 180 - 6 = 174 \qquad \mu + \sigma = 180 + 6 = 186$$

$$\mu - 2\sigma = 180 - 12 = 168 \qquad \mu + 2\sigma = 180 + 12 = 192$$

$$\mu - 3\sigma = 180 - 18 = 162 \qquad \mu + 3\sigma = 180 + 18 = 198$$

a) Tallet 180 er $\mu$ selv, og kurven er symmetrisk om $\mu$:

$$P(X \le 180) = P(X \le \mu) = 0{,}5$$

Halvparten av mennene er lavere enn 180 cm. (Føres ikke mer enn dette — symmetrien er hele begrunnelsen.)

b) Vi kjenner igjen 174 og 186 fra lista over: det er $\mu - \sigma$ og $\mu + \sigma$. Da er det første linje i 68–95–99,7-regelen:

$$P(174 \le X \le 186) = P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}68$$

c) Tallet 192 er $\mu + 2\sigma$. Regelen sier at 95 % ligger mellom $\mu - 2\sigma$ og $\mu + 2\sigma$. Da ligger

$$1 - 0{,}95 = 0{,}05$$

utenfor — men det er fordelt på to haler, én på hver side. Symmetrien sier at halene er like store, så vi deler på 2:

$$P(X > 192) = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025$$

d) Tallet 198 er $\mu + 3\sigma$. Samme resonnement, med 99,7 %:

$$P(X > 198) = \frac{1 - 0{,}997}{2} = \frac{0{,}003}{2} = 0{,}0015$$

Forventet antall av 500 menn er sannsynligheten ganger antallet:

$$500 \cdot 0{,}0015 = 0{,}75$$

Svar: a) $0{,}5$. b) $\approx 0{,}68$. c) $\approx 0{,}025$. d) $0{,}75$ — altså mindre enn én person.

Tolkning: I d) fant vi ikke «null menn». Vi fant at hvis du samler 500 menn mange ganger, vil du i gjennomsnitt finne trekvart person over 198 cm i hver forsamling. I praksis: som regel ingen, av og til én.

NB: Legg merke til at vi aldri brukte tetthetsformelen. Vi oversatte grensene til antall $\sigma$ fra $\mu$, og leste av regelen. Det er slik hele kapittel 6.1 fungerer.

Hva vet vi? $\mu = 1200$ og $\sigma = 100$.

a) 68 %-intervallet er $\mu \pm \sigma$:

$$\mu - \sigma = 1200 - 100 = 1100$$

$$\mu + \sigma = 1200 + 100 = 1300$$

Intervallet er $[1100,\ 1300]$.

b) 95 %-intervallet er $\mu \pm 2\sigma$:

$$\mu - 2\sigma = 1200 - 2 \cdot 100 = 1000$$

$$\mu + 2\sigma = 1200 + 2 \cdot 100 = 1400$$

Intervallet er $[1000,\ 1400]$.

c) Fra b) vet vi at 1400 er $\mu + 2\sigma$. Utenfor 95 %-intervallet ligger 5 %, fordelt på to haler:

$$P(X > 1400) = \frac{1 - 0{,}95}{2} = 0{,}025$$

d) Her er de to grensene ikke like langt fra midten: 1100 er $\mu - \sigma$, mens 1400 er $\mu + 2\sigma$. Da kan vi ikke bruke én linje i regelen — vi må sette sammen to halvdeler:

$$P(1100 < X < 1400) = \underbrace{P(1100 < X < 1200)}_{\text{halve 68 \%-intervallet}} + \underbrace{P(1200 < X < 1400)}_{\text{halve 95 \%-intervallet}}$$

$$P(1100 < X < 1400) = \frac{0{,}68}{2} + \frac{0{,}95}{2} = 0{,}34 + 0{,}475 = 0{,}815$$

Svar: a) $[1100,\ 1300]$ timer. b) $[1000,\ 1400]$ timer. c) $\approx 0{,}025$. d) $\approx 0{,}815$.

NB: Det er svært vanlig å svare $\displaystyle \frac{0{,}68 + 0{,}95}{2}$ i d) uten å tenke — det gir tilfeldigvis det samme her, men bare fordi begge leddene skulle halveres. Poenget er at hver side halveres for seg, og at du deretter legger sammen. Tegn gjerne kurven og skraver de to bitene før du summerer.

a) Her er oppgaven snudd: sannsynligheten er gitt, og parametrene er ukjente. Nøkkelen er å kjenne igjen hvilke grenser 4,2 og 5,8 er.

95 % hører til $\mu \pm 2\sigma$. Altså er

$$\mu - 2\sigma = 4{,}2 \qquad \text{og} \qquad \mu + 2\sigma = 5{,}8$$

Hva vet vi nå? At $\mu$ ligger midt mellom de to grensene, siden kurven er symmetrisk:

$$\mu = \frac{4{,}2 + 5{,}8}{2} = \frac{10{,}0}{2} = 5{,}0$$

Og at avstanden fra 4,2 til 5,8 er hele $4\sigma$ — to standardavvik ned og to opp:

$$4\sigma = 5{,}8 - 4{,}2 = 1{,}6$$

Vi deler på 4 på begge sider:

$$\frac{4\sigma}{4} = \frac{1{,}6}{4}$$

$$\sigma = 0{,}4$$

(Kontroll: $\mu - 2\sigma = 5{,}0 - 0{,}8 = 4{,}2$ og $\mu + 2\sigma = 5{,}0 + 0{,}8 = 5{,}8$. Stemmer.)

b) Med $\mu = 5{,}0$ og $\sigma = 0{,}4$ ser vi at

$$4{,}6 = 5{,}0 - 0{,}4 = \mu - \sigma$$

Under $\mu - \sigma$ ligger halve resten av 68 %-intervallet:

$$P(X < 4{,}6) = \frac{1 - 0{,}68}{2} = \frac{0{,}32}{2} = 0{,}16$$

Svar: a) $\mu = 5{,}0$ kg og $\sigma = 0{,}4$ kg. b) $\approx 0{,}16$.

Tolkning: Omtrent en sjettedel av sekkene veier under 4,6 kg. Skulle sekkene merkes «5 kg», er det verdt å merke seg at halvparten uansett veier mindre enn 5,0 kg — merkingen bør i så fall ligge lavere enn $\mu$.

Huskeregelen: bredden på et symmetrisk intervall er alltid et helt antall $\sigma$ — $2\sigma$ for 68 %, $4\sigma$ for 95 % og $6\sigma$ for 99,7 %. Del bredden på det tallet, så har du $\sigma$.

Grepet: regn ut hvor mange standardavvik det er fra $\mu = 500$ ut til grensene 480 og 520. Det er 20 gram hver vei.

a) Maskin A, der $\sigma = 10$:

$$\frac{20}{10} = 2 \quad \Longrightarrow \quad 480 = \mu - 2\sigma \ \text{ og } \ 520 = \mu + 2\sigma$$

$$P(480 \le X \le 520) \approx 0{,}95$$

Maskin B, der $\sigma = 20$:

$$\frac{20}{20} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 480 = \mu - \sigma \ \text{ og } \ 520 = \mu + \sigma$$

$$P(480 \le X \le 520) \approx 0{,}68$$

Samme forventningsverdi, ulik $\sigma$. Den smale kurven må være høyere, for arealet under begge er 1. Toleransegrensene 480 og 520 gram ligger $2\sigma$ fra midten for maskin A, men bare $1\sigma$ for maskin B — og det er hele forskjellen i kassasjon.

b) Andelen som kasseres er det som ligger utenfor:

$$\text{Maskin A:} \quad 1 - 0{,}95 = 0{,}05 \quad \Longrightarrow \quad 10\,000 \cdot 0{,}05 = 500 \text{ pakker}$$

$$\text{Maskin B:} \quad 1 - 0{,}68 = 0{,}32 \quad \Longrightarrow \quad 10\,000 \cdot 0{,}32 = 3200 \text{ pakker}$$

c) Forskjellen er

$$3200 - 500 = 2700 \text{ pakker i døgnet}$$

Svar: a) A: $\approx 95$ %, B: $\approx 68$ %. b) A: 500 pakker, B: 3200 pakker. c) 2700 færre kasserte pakker per døgn med maskin A.

Tolkning: Begge maskinene «treffer riktig» — gjennomsnittsvekten er 500 gram for begge. Likevel kaster den ene bort seks ganger så mye som den andre. Det er ikke $\mu$ som avgjør kvaliteten, det er $\sigma$.

Dette er kjernen i industriell kvalitetskontroll: å presse $\sigma$ nedover, slik at toleransegrensene havner stadig flere standardavvik fra midten.