5.6 Kontinuerlige variabler og tetthetsfunksjoner

a) Hva vet vi? Ventetiden ligger et sted mellom 0 og 10 minutter, og ingen tidspunkt er mer sannsynlig enn andre. Fordelingen er altså uniform på intervallet $[0, 10]$.

Høyden finner vi av kravet om at arealet skal være 1:

$$f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{10 - 0} = \frac{1}{10} = 0{,}10 \quad \text{for } 0 \le x \le 10$$

Utenfor intervallet er $f(x) = 0$ — du kan ikke vente mer enn 10 minutter.

(Kontroll: arealet er $10 \cdot 0{,}10 = 1$. Stemmer.)

b) «Mindre enn 3 minutter» er arealet av rektangelet fra 0 til 3:

$$P(X < 3) = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10} = 0{,}30$$

Eller direkte med lengdeforholdet: 3 av 10 minutter gir $\displaystyle \frac{3}{10}$.

c) Intervallet fra 4 til 7 har lengde $7 - 4 = 3$:

$$P(4 \le X \le 7) = \frac{7 - 4}{10 - 0} = \frac{3}{10} = 0{,}30$$

Samme svar som i b). Det er nettopp det uniform betyr: bare lengden av intervallet teller, ikke hvor det ligger.

d) Vi setter inn i formlene:

$$E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5$$

$$\text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{10^2}{12} = \frac{100}{12} \approx 8{,}33$$

$$SD(X) = \sqrt{\frac{100}{12}} \approx 2{,}89$$

Den uniforme fordelingen på $[0, 10]$. Høyden må være $\displaystyle \frac{1}{10-0} = 0{,}10$, for bare da får hele rektangelet arealet 1. Det grønne delrektangelet er $3 \cdot 0{,}10 = 0{,}3$ — sannsynligheten er et areal, og her er arealet bare lengde ganger høyde.

Svar: a) $f(x) = 0{,}10$ for $0 \le x \le 10$. b) $0{,}30$. c) $0{,}30$. d) $E(X) = 5$ minutter og $SD(X) \approx 2{,}89$ minutter.

Tolkning: Du venter 5 minutter i gjennomsnitt — halve ruteintervallet, som forventet. Men enkeltdager svinger med nesten 3 minutter rundt dette.

a) Hva vet vi? Kurven $y = kx$ er en rett linje gjennom origo. Mellom $x = 0$ og $x = 4$ danner den, sammen med $x$-aksen, en rettvinklet trekant med grunnlinje 4 og høyde $f(4) = 4k$.

Hva må vi finne? Verdien av $k$ som gjør at arealet blir 1.

Vi bruker arealformelen for trekant:

$$A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{4 \cdot 4k}{2} = \frac{16k}{2} = 8k$$

Så setter vi arealet lik 1:

$$8k = 1$$

og deler på 8 på begge sider:

$$\frac{8k}{8} = \frac{1}{8}$$

$$k = \frac{1}{8}$$

Tetthetsfunksjonen er altså $\displaystyle f(x) = \frac{x}{8}$ på $[0, 4]$.

(Vi kunne like godt regnet arealet som integralet $\displaystyle \int_0^4 kx\,dx = \left[\frac{kx^2}{2}\right]_0^4 = 8k$ — samme svar. Trekanten er raskere når kurven er en rett linje.)

b) Arealet fra 0 til 2 er igjen en trekant, nå med grunnlinje 2 og høyde $\displaystyle f(2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$:

$$P(X \le 2) = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

c) Her lønner det seg med komplementet, for arealet fra 3 til 4 er en trapes, mens arealet fra 0 til 3 er en trekant:

$$P(X \le 3) = \frac{3 \cdot f(3)}{2} = \frac{3 \cdot \frac{3}{8}}{2} = \frac{\frac{9}{8}}{2} = \frac{9}{16}$$

$$P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375$$

Sannsynlighet er areal under tetthetskurven. Det gule feltet er $P(X \le 2) = 0{,}25$, altså en fjerdedel av det samlede arealet, som er 1.

Svar: a) $\displaystyle k = \frac{1}{8}$. b) $\displaystyle P(X \le 2) = \frac{1}{4} = 0{,}25$. c) $\displaystyle P(X > 3) = \frac{7}{16} = 0{,}4375$.

NB: Legg merke til at $P(X \le 2) = 0{,}25$, ikke 0,5 — selv om 2 er midt i intervallet $[0, 4]$. Tettheten er lav til venstre og høy til høyre, så mesteparten av sannsynligheten ligger i høyre halvdel. Midtpunktet i intervallet er ikke midtpunktet i sannsynligheten.

Her er kurven en fallende eksponentialkurve — høy tetthet like etter 0, og stadig lavere jo lenger ut vi kommer. Det passer med erfaringen: de fleste kommer fort fram, noen få venter lenge.

Arealene kan vi ikke regne med rektangler eller trekanter, så vi bruker verktøy.

a) «Høyst 2 minutter» er arealet fra 0 til 2:

$$P(X \le 2) = \int_0^2 0{,}5 e^{-0{,}5x}\,dx$$

GeoGebra:   f(x) = 0.5 * exp(-0.5 x)
            Integral(f, 0, 2)

$$P(X \le 2) \approx 0{,}632$$

b) «Mer enn 5 minutter». Arealet strekker seg i prinsippet uendelig langt mot høyre, så vi bruker komplementet:

$$P(X > 5) = 1 - P(X \le 5) = 1 - \int_0^5 0{,}5 e^{-0{,}5x}\,dx \approx 1 - 0{,}918 = 0{,}082$$

c) Vi tar arealet fram til 3 og trekker fra arealet fram til 1:

$$P(1 \le X \le 3) = P(X \le 3) - P(X \le 1) \approx 0{,}7769 - 0{,}3935 = 0{,}383$$

GeoGebra:   Integral(f, 1, 3)

gir samme tall direkte. NB: Regn med de eksakte verdiene og rund av til slutt. Trekker vi de avrundede 0,777 og 0,393 fra hverandre, får vi 0,384 — siste desimal blir feil.

En tetthet som ikke er konstant: høy like etter 0, stadig lavere jo lenger ut. Det gule arealet er Integral(f, 0, 2) = $1 - e^{-1} \approx 0{,}632$. Legg merke til den lange halen mot høyre — den trekker $\mu$ oppover, og det er grunnen til at medianen ofte sier mer om en ventetid enn forventningsverdien gjør.

Svar: a) $\approx 0{,}632$. b) $\approx 0{,}082$. c) $\approx 0{,}383$.

Tolkning: Nesten to av tre kommer fram innen 2 minutter, men rundt 8 % må vente over 5 minutter. Denne skjevheten er typisk for ventetider — og den er grunnen til at gjennomsnittlig ventetid alene gir et for pent bilde av hvordan det oppleves å ringe.

Her er oppgaven snudd: arealet er kjent, og grensen er ukjent. Framgangsmåten er likevel den samme — vi setter opp arealet med $m$ som bokstav, og løser likningen.

Hva vet vi? Arealet fra 0 til $m$ er en trekant med grunnlinje $m$ og høyde $\displaystyle f(m) = \frac{m}{8}$.

$$P(X \le m) = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{m \cdot \frac{m}{8}}{2} = \frac{\frac{m^2}{8}}{2} = \frac{m^2}{16}$$

Vi setter dette lik 0,5:

$$\frac{m^2}{16} = 0{,}5$$

Ganger med 16 på begge sider:

$$\frac{m^2}{16} \cdot 16 = 0{,}5 \cdot 16$$

$$m^2 = 8$$

Og tar kvadratroten på begge sider:

$$m = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$$

(Den negative løsningen $m = -2\sqrt{2}$ forkaster vi — $m$ må ligge i intervallet $[0, 4]$.)

Kontroll: $\displaystyle \frac{(2\sqrt{2})^2}{16} = \frac{8}{16} = 0{,}5$. Stemmer.

Svar: $m = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$

NB: Dette tallet kalles medianen til fordelingen. Legg merke til at den ligger til høyre for intervallets midtpunkt 2 — akkurat som vi forutså i eksempel 2, siden tettheten vokser mot høyre. For en uniform fordeling ville medianen derimot ligget nøyaktig på midten.