5.5 Binomisk fordeling med tabeller og digitale verktøy

Hva vet vi? Fordelingen er binomisk, med

$$n = 10$$

$$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Vi skal altså bruke kolonnen $p = 0{,}25$ hele veien.

a) «Høyst 3 riktige» er oppslaget slik det står. Vi går til raden $k = 3$:

$$P(X \le 3) = 0{,}7759$$

b) «Minst 4 riktige». Det motsatte er «høyst 3», altså det vi nettopp fant:

$$P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - 0{,}7759 = 0{,}2241$$

(Legg merke til at det er $k - 1 = 3$ vi slår opp, ikke 4.)

c) «Nøyaktig 3 riktige» er differansen mellom to nabooppslag:

$$P(X = 3) = P(X \le 3) - P(X \le 2) = 0{,}7759 - 0{,}5256 = 0{,}2503$$

Kontroll med formelen fra kapittel 5.4:

$$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}13348 \approx 0{,}2503$$

Samme svar — tabellen og formelen er to veier til det samme.

d) «Mellom 2 og 4, begge tatt med». Vi tar alt til og med 4, og trekker fra alt til og med 1:

$$P(2 \le X \le 4) = P(X \le 4) - P(X \le 1) = 0{,}9219 - 0{,}2440 \approx 0{,}678$$

Svar: a) $0{,}7759$ b) $0{,}2241$ c) $0{,}2503$ d) $\approx 0{,}678$

(Regner vi uten avrunding, blir d) 0,67785. Når vi trekker to tabellverdier fra hverandre, mister vi alltid litt presisjon — svar derfor med tre desimaler her.)

Tolkning av b): Gjetter du på ti flervalgsspørsmål, er sannsynligheten for å få minst 4 riktige omtrent 22 %. Gjetting er altså ikke helt håpløst — men det er heller ikke noen strategi.

Hva vet vi? Fordelingen er binomisk, med

$$n = 12$$

$$p = 0{,}74$$

Hva må vi finne? $P(X \ge 8)$ — i klartekst: sannsynligheten for at antall elever som består, er minst 8.

Steg 1 — oversett. Det motsatte av «minst 8» er «høyst 7»:

$$P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)$$

Steg 2 — slå opp. Tabellen i kapittelet dekker ikke $p = 0{,}74$, så vi bruker verktøy:

regneark:   =1 - BINOM.FORDELING.N(7; 12; 0,74; SANN)
GeoGebra:   1 - FordelingBinomial(12, 0.74, 7, true)

Oppslaget gir $P(X \le 7) = 0{,}1790$, og dermed

$$P(X \ge 8) = 1 - 0{,}1790 = 0{,}8210$$

Svar: $P(X \ge 8) \approx 0{,}821$, altså omtrent 82 %.

NB: Hadde vi slått opp $P(X \le 8)$ i stedet for $P(X \le 7)$, hadde vi fått $1 - 0{,}3824 = 0{,}6176$ — et helt annet og galt svar. Vi ville da ha regnet ut $P(X \ge 9)$, altså utelatt de tilfellene der nøyaktig 8 består. Det er denne ene indeksen som avgjør oppgaven.

Hva vet vi? Fordelingen er binomisk, med

$$n = 145$$

$$p = 0{,}70$$

a) Vi skriver formelen tom først, og setter så inn:

$$\mu = E(X) = n \cdot p = 145 \cdot 0{,}70 = 101{,}5$$

$$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 145 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30 = 30{,}45$$

$$\sigma = SD(X) = \sqrt{30{,}45} \approx 5{,}52$$

Vi venter altså omtrent 101–102 turister, med et typisk avvik på rundt 5,5.

b) «Minst 100». Det motsatte er «høyst 99»:

$$P(X \ge 100) = 1 - P(X \le 99)$$

regneark:   =1 - BINOM.FORDELING.N(99; 145; 0,7; SANN)
GeoGebra:   1 - FordelingBinomial(145, 0.7, 99, true)

$$P(X \ge 100) = 1 - 0{,}3547 = 0{,}6453$$

c) Ja. Grensen 100 ligger like under forventningsverdien 101,5 — bare omtrent $\displaystyle \frac{101{,}5 - 100}{5{,}52} \approx 0{,}27$ standardavvik unna. At det er litt mer enn 50 % sannsynlig å havne over en grense som ligger litt under midten, er nøyaktig som ventet. Svaret 0,645 består altså rimelighetssjekken.

Hvorfor $P(X \ge 100)$ må ligge litt over 0,5: grensen 100 ligger under forventningsverdien $\mu = 101{,}5$, men bare med knapt et kvart standardavvik ($\sigma \approx 5{,}5$). Det gule feltet er derfor litt større enn halve klokka — akkurat den rimelighetsvurderingen deloppgaven ber om. Kurven er normaltilnærmingen til den binomiske fordelingen, og streken er satt i 100 fordi det er grensen i deloppgaven. Skal arealet stemme med svaret, må heltallskorreksjonen fra kapittel 6.5 brukes: med grensen $99{,}5$ blir arealet $0{,}641$, mens grensen $100$ gir $0{,}607$.

Svar: a) $E(X) = 101{,}5$ og $SD(X) \approx 5{,}52$. b) $P(X \ge 100) \approx 0{,}645$. c) Ja — grensen ligger like under $\mu$.

NB: Dette er en god vane. Regn alltid ut $\mu = np$ først, også når oppgaven ikke spør om den. Da vet du omtrent hvor svaret skal ligge, og du oppdager tasteflis med én gang.

a) Hver billettkjøper møter opp med sannsynlighet $1 - 0{,}05 = 0{,}95$, uavhengig av de andre. Fordelingen er binomisk, med

$$n = 210$$

$$p = 0{,}95$$

$$\mu = E(X) = 210 \cdot 0{,}95 = 199{,}5$$

$$\text{Var}(X) = 210 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}05 = 9{,}975$$

$$\sigma = SD(X) = \sqrt{9{,}975} \approx 3{,}16$$

b) «Flere enn 200» er $P(X > 200)$, som slås opp som $1 - P(X \le 200)$:

regneark:   =1 - BINOM.FORDELING.N(200; 210; 0,95; SANN)

$$P(X > 200) = 1 - 0{,}6074 = 0{,}3926$$

Nesten 40 %. Det er altfor høyt — omtrent hver tredje forestilling ville hatt gjester uten sete.

(Rimelighetssjekk: $\mu = 199{,}5$ ligger bare et halvt sete under grensen på 200, og $\sigma \approx 3{,}2$. At sannsynligheten for å komme over grensen da er i nærheten av 40 %, stemmer godt.)

c) Vi prøver oss fram med færre billetter. Med $n = 205$ blir $\mu = 205 \cdot 0{,}95 = 194{,}75$, og

$$P(X > 200) = 1 - P(X \le 200) = 1 - 0{,}9776 = 0{,}0224$$

Det er under 5 %. Teatret bør altså selge omtrent 205 billetter, ikke 210.

Svar: a) $E(X) = 199{,}5$ og $SD(X) \approx 3{,}16$. b) $\approx 0{,}393$. c) Omtrent 205 billetter.

NB: Her ser vi hvorfor $\sigma$ er uunnværlig. Forventningsverdien alene sa 199,5 — trygt under 200. Men et typisk avvik på drøye 3 seter betyr at «trygt under» ikke er trygt i det hele tatt.