5.4 Binomisk fordeling | Statistikk

Forutsetningene for binomisk fordeling, formelen og typiske situasjoner.

45 min

7 oppgaver

Binomisk fordelingBinomialkoeffisient

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Binomisk fordeling

Se på disse fire situasjonene:

- Vi kaster en mynt 10 ganger og teller kron.
- 12 elever skal opp til oppkjøring, og vi teller hvor mange som består.
- Vi gjetter på 5 flervalgsspørsmål og teller riktige svar.
- En maskin lager 20 deler, og vi teller hvor mange som er defekte.

De ser forskjellige ut, men de har nøyaktig samme struktur: det samme forsøket gjentas et fast antall ganger, hvert forsøk kan gå to veier, og vi teller hvor mange ganger det ene skjer.

Alle fire kan derfor regnes med den samme formelen. Fordelingen til antallet kalles binomisk (bi- = to, av de to utfallene), og den er den viktigste diskrete fordelingen vi har.

Forutsetningene for binomisk fordeling

n

Binomialkoeffisienten

Tenk deg at vi kaster en mynt 5 ganger og vil ha akkurat 2 kron. Ett slikt utfall er KKMMM. Men KMKMM gir også 2 kron. Og MMKKM. Hvor mange slike rekkefølger finnes?

Svaret er binomialkoeffisienten

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$

Skrivemåten $\binom{5}{2}$ leses «fem over to», og betyr: antall måter å velge ut hvilke 2 av de 5 forsøkene som skal være suksess.

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{120}{2 \cdot 6} = \frac{120}{12} = 10$

(Snarveien er å stryke $3!$ mot slutten av $5!$ : $\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ . Da slipper vi de store tallene.)

På kalkulator finner du den som nCr, i regneark som =KOMBINASJON(5;2).

📜Binomisk sannsynlighet

Når de fire forutsetningene er oppfylt, og

- $n$ er antall forsøk
- $p$ er sannsynligheten for suksess i ett forsøk
- $X$ er antall suksesser

da er

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

Hver av de tre faktorene har sin egen jobb:

faktor	hva den teller
$\binom{n}{k}$	hvor mange rekkefølger som gir $k$ suksesser
$p^k$	sannsynligheten for de $k$ suksessene
$(1-p)^{n-k}$	sannsynligheten for de $n - k$ fiaskoene

NB: Eksponentene

k

n - k

må alltid summere til

n

. Det er en rask kontroll på at du har satt inn riktig.

✏️Eksempel 1: Gjetting på flervalgsprøve

En prøve har 5 flervalgsspørsmål. Hvert spørsmål har 4 svaralternativer, og bare ett er riktig. Isak gjetter på alle sammen. La $X$ være antall riktige svar.

a) Forklar hvorfor $X$ er binomisk fordelt, og oppgi $n$ og $p$ .
b) Finn $P(X = 2)$ . Oppgi svaret på eksakt form og som desimaltall.

Løsning:

a) Vi går gjennom de fire forutsetningene:

1. Fast antall forsøk: det er 5 spørsmål.
2. To utfall per forsøk: riktig eller galt.
3. Samme sannsynlighet hver gang: Isak gjetter, og hvert spørsmål har 1 riktig av 4 alternativer.
4. Uavhengighet: gjettingen på ett spørsmål påvirker ikke de andre.

Alle fire er oppfylt, så $X$ er binomisk fordelt, med

$n = 5$

$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$

b) Hva må vi finne? $P(X = 2)$ — i klartekst: sannsynligheten for at antall riktige svar er nøyaktig 2.

Vi skriver formelen tom først:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$

og setter så inn $n = 5$ , $k = 2$ og $\displaystyle p = \frac{1}{4}$ i hver forekomst:

$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{5-2}$

$= \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3$

Nå regner vi ut hver faktor for seg:

$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$

og setter sammen:

$P(X = 2) = 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{10 \cdot 27}{16 \cdot 64} = \frac{270}{1024} = \frac{135}{512} \approx 0{,}264$

(Kontroll: eksponentene $2 + 3 = 5 = n$ . Stemmer.)

Et søylediagram over verdiene 0 til 5 på den vannrette aksen merket k. Søylene over 0, 1, 3 og 4 er blå, med høydene 0,2373, 0,3955, 0,0879 og 0,0146. Søyla over 2 er rød og har høyden 0,2637. Fordelingen er skjev: den høyeste søyla står over 1, og høydene faller raskt mot høyre. Teksten P av X er lik 2 er lik 0,2637 står til høyre i figuren, sammen med P av X er lik 5 er lik 0,001.

Den binomiske fordelingen for $n = 5$ og $p = 0{,}25$ . Den røde søyla er leddet eksempelet regner ut — ett enkelt ledd i en hel fordeling. Legg merke til at fordelingen er skjev fordi $p \ne 0{,}5$ ; toppen ligger ved $k = 1$ , ikke i midten. Søyla for $k = 5$ er 0,001 og for lav til å tegnes, så verdien står som tekst.

Svar: a) $n = 5$ og $p = 0{,}25$ . b) $\displaystyle P(X = 2) = \frac{135}{512} \approx 0{,}264$ , altså omtrent 26 %.

Slik ville du tastet det inn: på kalkulator 5 nCr 2 × 0,25^2 × 0,75^3, i regneark =BINOM.FORDELING.N(2;5;0,25;USANN).

📝Oppgave 1

Del 1 — uten hjelpemidler. Vi kaster en mynt 4 ganger. La

X

være antall kron, så

n = 4

\displaystyle p = \frac{1}{2}

. Svar med brøk med nevner 16.

Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X = 1)$ .

Finn $P(X = 2)$ .

Finn $P(X = 3)$ og $P(X = 4)$ .

Kontroller at de fem sannsynlighetene summerer til 1.

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Oppkjøring

Ved en trafikkstasjon består 74 % av kandidatene oppkjøringen på første forsøk. En trafikkskole melder opp 12 elever. La $X$ være antall av dem som består.

a) Hvilke forutsetninger må vi gjøre for at $X$ skal kunne regnes som binomisk fordelt?
b) Finn $P(X = 10)$ .

Løsning:

a) Vi må anta:

1. Antall forsøk er fast: 12 elever meldes opp, $n = 12$ .
2. Hver oppkjøring har to utfall: bestått eller ikke bestått.
3. Alle de 12 elevene har samme sannsynlighet for å bestå, $p = 0{,}74$ . (Dette er den antakelsen som er mest tvilsom i praksis — noen elever er bedre forberedt enn andre.)
4. Elevene er uavhengige av hverandre: at én stryker, endrer ikke sannsynligheten for de andre.

b) Fordelingen er altså binomisk, med

$n = 12$

$p = 0{,}74$

Vi skriver formelen først:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$

og setter inn $n = 12$ , $k = 10$ og $p = 0{,}74$ i hver forekomst:

$P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}74^{10} \cdot (1 - 0{,}74)^{12 - 10} = \binom{12}{10} \cdot 0{,}74^{10} \cdot 0{,}26^{2}$

Faktor for faktor:

$\binom{12}{10} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$

$0{,}74^{10} \approx 0{,}04924$

$0{,}26^{2} = 0{,}0676$

$P(X = 10) \approx 66 \cdot 0{,}04924 \cdot 0{,}0676 \approx 0{,}220$

Svar: a) Fast antall forsøk, to utfall, samme sannsynlighet 0,74 for alle, og uavhengighet. b) $P(X = 10) \approx 0{,}220$ , altså omtrent 22 %.

Slik ville du tastet det inn: =BINOM.FORDELING.N(10;12;0,74;USANN) i regneark.

NB: $\binom{12}{10} = \binom{12}{2}$ — å velge ut hvilke 10 som består, er det samme som å velge ut hvilke 2 som ikke gjør det. Velg alltid den minste av de to når du regner for hånd.

📝Oppgave 2

Vi kaster en terning 6 ganger og teller antall seksere. La $X$ være antall seksere, så $n = 6$ og $\displaystyle p = \frac{1}{6}$ . Svar med tre desimaler.

Begrunn kort at de fire forutsetningene er oppfylt.

Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X = 1)$ .

Finn $P(X = 2)$ .

Finn $P(X \ge 1)$ ved hjelp av komplementet.

Løs oppgaven

«Minst én» — bruk alltid komplementet

Den vanligste spørsmålsformen av alle er «hva er sannsynligheten for at minst én …?». Regner du den rett fram, må du summere $P(X=1) + P(X=2) + \cdots + P(X=n)$ . Det er mye arbeid — og helt unødvendig.

Det motsatte av «minst én» er «ingen», og «ingen» er ett eneste ledd:

$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$

Legg merke til at $\binom{n}{0} = 1$ og $p^0 = 1$ , så hele formelen kollapser til $(1-p)^n$ . Dette er en av de få binomiske sannsynlighetene du kan regne i hodet.

✏️Eksempel 3: Defekte deler

En maskin produserer deler, og erfaringsmessig er 3 % av dem defekte. En kontrollør trekker ut 20 deler fra dagsproduksjonen.

a) Finn sannsynligheten for at ingen av de 20 delene er defekte.
b) Finn sannsynligheten for at minst én del er defekt.

Løsning:

Fordelingen er binomisk — vi teller defekte blant et fast antall deler, med samme sannsynlighet hver gang. Her er

$n = 20$

$p = 0{,}03$

a) Vi setter $k = 0$ i formelen:

$P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}03^0 \cdot (1 - 0{,}03)^{20 - 0}$

De to første faktorene er begge 1 (det føres ikke — vi skriver bare):

$P(X = 0) = 0{,}97^{20} \approx 0{,}544$

b) «Minst én» er det motsatte av «ingen»:

$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}97^{20} \approx 1 - 0{,}544 = 0{,}456$

Svar: a) $\approx 0{,}544$ . b) $\approx 0{,}456$ , altså omtrent 46 %.

Tolkning: Selv om bare 3 % av delene er defekte, er det nesten femti–femti om et utvalg på 20 inneholder minst én. Små sannsynligheter blir fort store når forsøket gjentas mange nok ganger — det er en av de viktigste innsiktene i hele kapittelet.

📝Oppgave 3

En nettbutikk vet at 4 % av pakkene blir forsinket. En dag sender de ut 30 pakker. La $X$ være antall forsinkede pakker. Svar med tre desimaler.

Oppgi $n$ og $p$ .

Finn $P(X = 0)$ .

Finn sannsynligheten for at minst én pakke blir forsinket.

Finn $P(X = 1)$ .

Finn sannsynligheten for at minst to pakker blir forsinket.

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Koder av A og B (Del 1)

En kode består av åtte tegn, og hvert tegn er enten A eller B. En kode lages ved at hvert av de åtte tegnene trekkes tilfeldig, med like stor sannsynlighet for A og B.

a) Hvor mange ulike koder finnes det?
b) Finn sannsynligheten for at koden inneholder minst seks A-er. Oppgi svaret som en brøk.

Løsning:

a) Hvert av de åtte tegnene kan velges på 2 måter, uavhengig av de andre:

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8 = 256$

Det finnes 256 ulike koder.

b) La $X$ være antall A-er. Fordelingen er binomisk, med

$n = 8$

$p = \frac{1}{2}$

«Minst seks A-er» betyr $X = 6$ , $X = 7$ eller $X = 8$ . Vi regner de tre leddene.

Siden $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ , blir $\displaystyle p^k (1-p)^{8-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1}{256}$ uansett hva $k$ er. Da er det bare binomialkoeffisienten som varierer, og hvert ledd blir «antall gunstige over 256»:

$P(X = 6) = \binom{8}{6} \cdot \frac{1}{256} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$

$P(X = 7) = \binom{8}{7} \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$

$P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$

Vi lar brøkene stå med nevner 256 — de skal summeres:

$P(X \ge 6) = \frac{28}{256} + \frac{8}{256} + \frac{1}{256} = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0{,}145$

Svar: a) 256 koder. b) $\displaystyle P(X \ge 6) = \frac{37}{256} \approx 0{,}145$ .

NB: Med $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ er binomisk sannsynlighet det samme som «gunstige delt på mulige» — de 37 kodene med minst seks A-er, delt på de 256 mulige. Det er nettopp fordi alle de 256 kodene er like sannsynlige. Er $\displaystyle p \ne \frac{1}{2}$ , holder ikke den snarveien.

📝Oppgave 4

Del 1 — uten hjelpemidler. Vi kaster en mynt 7 ganger. La

X

være antall kron. Oppgi alle svar som brøk med nevner 128.

Hvor mange mulige utfallsrekker finnes det?

Finn $P(X = 5)$ .

Finn $P(X = 6)$ og $P(X = 7)$ .

Finn $P(X \ge 5)$ .

Finn $P(X \le 2)$ uten å regne på nytt. Forklar hvordan du kan bruke symmetrien.

Løs oppgaven

Når modellen IKKE er binomisk

Den forutsetningen som oftest svikter, er nummer 3 og 4 samtidig: at $p$ er den samme hele veien, og at forsøkene er uavhengige.

Trekking uten tilbakelegging bryter begge. Trekker vi 3 kort fra en kortstokk, er sannsynligheten for hjerter $\displaystyle \frac{13}{52}$ i første trekk — men i andre trekk avhenger den av hva vi fikk først. Antall suksesser er da ikke binomisk fordelt; den er hypergeometrisk, og regnes med kombinasjoner slik vi gjorde i kapittel 5.1.

Tommelfingerregel: trekker vi fra en veldig stor gruppe, spiller det nesten ingen rolle om vi legger tilbake eller ikke. Trekker vi 20 personer fra Norges befolkning, endrer ikke de 20 første sannsynligheten merkbart for de neste. Da er binomisk en god tilnærming. Trekker vi 6 av 30 elever i en klasse, er den det ikke.

Andre typiske brudd:

- Antallet er ikke fast. «Vi kaster til vi får sekser» har ikke noe $n$ .
- Sannsynligheten endrer seg underveis. En spiller som blir sliten, har ikke samme $p$ i siste forsøk som i første.
- Forsøkene henger sammen. To elever som samarbeider på en prøve, svarer ikke uavhengig av hverandre.

📝Oppgave 5

Avgjør for hver situasjon om antallet kan regnes som binomisk fordelt. Begrunn med de fire forutsetningene, og oppgi $n$ og $p$ der modellen passer.

Vi kaster en terning 20 ganger og teller antall enere.

Vi trekker 5 kort fra en kortstokk med 52 kort, uten å legge tilbake, og teller antall hjerter.

Vi spør 200 tilfeldig valgte nordmenn om de har lest en bok siste måned. Andelen i befolkningen er 0,38.

Vi kaster en mynt helt til vi får kron, og teller antall kast.

En skiskytter skyter 20 skudd på standplass, og vi teller treff. Hun blir merkbart mer sliten mot slutten.

Oppsummering

- En situasjon er binomisk når fire krav er oppfylt: fast antall forsøk $n$ , to utfall per forsøk, samme suksessannsynlighet $p$ hver gang, og uavhengige forsøk.
- Binomialkoeffisienten $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ teller hvor mange rekkefølger som gir $k$ suksesser. Snarvei for hånd: $\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots}{k!}$ med $k$ faktorer i telleren, og $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .
- Formelen er $P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ . Skriv den tom først, sett så inn i hver forekomst, og regn faktor for faktor. Kontroll: eksponentene summerer til $n$ .
- «Minst én» regnes alltid med komplementet: $P(X \ge 1) = 1 - (1-p)^n$ .
- Trekking uten tilbakelegging er ikke binomisk — med mindre gruppen er så stor at $p$ knapt endrer seg.

I kapittel 5.5 slipper vi å regne hvert ledd for hånd: vi bruker tabeller og digitale verktøy til kumulative sannsynligheter, og møter de ferdige formlene $E(X) = np$ og $\text{Var}(X) = np(1-p)$ .

📝Oppgave 6

En trafikkskole melder opp to grupper til oppkjøring samme uke: 7 elever fra gruppe A og 5 elever fra gruppe B. Alle har sannsynlighet 0,74 for å bestå, og elevene er uavhengige av hverandre. La $X$ være antall som består i gruppe A, og $Y$ antall som består i gruppe B. Svar med tre desimaler.

Finn $P(X = 5)$ .

Finn $P(Y = 4)$ .

Gruppene er uavhengige av hverandre. Finn sannsynligheten for at akkurat 5 består i gruppe A og akkurat 4 består i gruppe B.

Forklar hvorfor vi ikke kan regne dette som én binomisk fordeling med $n = 12$ og $k = 9$ .

Til sammenligning: finn $P(Z = 9)$ når $Z$ er antall av alle 12 som består.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. I en klasse er det 30 elever, og 18 av dem er jenter. Læreren trekker tilfeldig 6 elever til en gruppe, uten å legge tilbake. La

X

være antall jenter i gruppen.

Forklar hvorfor $X$ ikke er binomisk fordelt.

Regn ut $P(X = 4)$ riktig, med kombinasjoner. Svar med tre desimaler.

Regn ut $P(X = 4)$ som om modellen var binomisk med $n = 6$ og $p = 0{,}60$ , og sammenlign.

Tenk deg at læreren i stedet trakk 6 elever fra hele skolen, som har 900 elever der 540 er jenter (samme andel, 0,60). Ville den binomiske tilnærmingen vært bedre da? Begrunn.

Formuler en tommelfingerregel for når du tør bruke binomisk modell på en trekning uten tilbakelegging.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.