5.2 Forventningsverdi | Statistikk

E(X) som langsiktig gjennomsnitt — utregning og tolkning.

45 min

7 oppgaver

Forventningsverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Forventningsverdi

I kapittel 5.1 satte vi opp hele sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel. Ofte trenger vi et ett tall som sier hvor fordelingen ligger. Det tallet er forventningsverdien.

Tenk deg at du kaster en terning tusen ganger og regner ut gjennomsnittet av alle øynene. Du får ikke akkurat samme tall hver gang du gjentar forsøket, men du får hver gang noe som ligger svært nær 3,5. Forventningsverdien er nettopp dette tallet: gjennomsnittet i det lange løp.

Vi skriver forventningsverdien som $E(X)$ (E for expectation), og vi bruker den greske bokstaven $\mu$ (my) som navn på den:

$\mu = E(X)$

Symbolet $\mu$ er forventningsverdien. Du vil møte begge skrivemåtene, og de betyr nøyaktig det samme.

Forventningsverdi

X

Vi tegner tabellen før vi fyller den

Utregningen av $E(X)$ er alltid den samme jobben, og den blir ryddig hvis vi bruker samme oppsett hver gang: én tabell i bredden, med en Sum-kolonne til slutt.

$k$	…	…	…	Sum
$P(X = k)$	…	…	…	1
$k \cdot P(X = k)$	…	…	…	$\mu$

Rad 2 er en gratis kontroll: sannsynlighetene skal summere til 1. Går den ikke opp, er det ingen vits i å regne videre.
Rad 3 er selve utregningen, og Sum-cella i rad 3 er svaret:

\mu

er forventningsverdien.

✏️Eksempel 1: Terningkast

La $X$ være antall øyne på en vanlig terning. Finn $E(X)$ .

Løsning:

Hva vet vi? Terningen har seks sider, og hver av dem har sannsynlighet $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

Hva må vi finne? Forventningsverdien $\mu = E(X)$ .

Vi tegner opp tabellen og fyller den:

$k$	1	2	3	4	5	6	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{6}{6} = 1$
$k \cdot P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{2}{6}$	$\displaystyle \frac{3}{6}$	$\displaystyle \frac{4}{6}$	$\displaystyle \frac{5}{6}$	$\displaystyle \frac{6}{6}$	$\displaystyle \frac{21}{6}$

Legg merke til at vi ikke forkorter brøkene i produktraden. De skal legges sammen, og da vil vi ha felles nevner. Forkorter vi

\displaystyle \frac{2}{6}

til

\displaystyle \frac{1}{3}

underveis, må vi bare finne fellesnevneren igjen etterpå.
Vi skriver hele formelen først, og limer tallrekka på:

\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}

$= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3{,}5$

Svar: $\displaystyle E(X) = \frac{7}{2} = 3{,}5$

NB: Ingen terning kan vise 3,5 øyne. Forventningsverdien er ikke et utfall vi venter oss i ett kast — den er gjennomsnittet vi nærmer oss når vi kaster mange ganger. Det er nettopp derfor navnet «forventningsverdi» kan lure.

📝Oppgave 1

Gjør den samme utregningen som i eksempel 1, med tabell og Sum-kolonne.

En åttesidet terning har sidene 1 til 8, alle like sannsynlige. Finn $E(X)$ .

Forklar med én setning hvorfor svaret i a) ikke er et mulig utfall.

En spesiell terning har sidene 1, 1, 2, 3, 3, 3. Sett opp fordelingstabellen til $X$ = antall øyne.

Finn $E(X)$ for terningen i c). Svar på eksakt form og som desimaltall med to desimaler.

Hvilken av de to terningene i a) og c) har størst forventningsverdi?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Vekten av en sekk

På en palle ligger det sekker med tre ulike vekter. En fjerdedel av sekkene veier 4 kg, halvparten veier 5 kg og en fjerdedel veier 10 kg. La $X$ være vekten av en tilfeldig valgt sekk.

Vis at $E(X) = 6$ kg.

Løsning:

Hva vet vi? Verdiene 4, 5 og 10 med sannsynlighetene $\displaystyle \frac{1}{4}$ , $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{1}{4}$ .

Hva må vi finne? $\mu = E(X)$ , og vi skal vise at den blir 6.

Vi tegner tabellen. Her velger vi å skrive alle brøkene med nevner 4, for det er den fellesnevneren vi trenger i summen:

$k$	4	5	10	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{2}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{4}{4} = 1$
$k \cdot P(X = k)$	$\displaystyle \frac{4}{4}$	$\displaystyle \frac{10}{4}$	$\displaystyle \frac{10}{4}$	$\displaystyle \frac{24}{4}$

(At $\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ føres ikke — vi skriver bare fellesnevneren med én gang.)
Formelen først, så tallene:

\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \frac{1}{4}

$= \frac{4}{4} + \frac{10}{4} + \frac{10}{4} = \frac{4 + 10 + 10}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Et søylediagram med tre blå søyler over 4, 5 og 10 på en vannrett akse merket kg. Høydene er 0,25, 0,5 og 0,25 og står skrevet over søylene. Under aksen står en liten trekant med spissen opp i 6, merket μ er lik 6. En grå stiplet loddrett strek står litt til høyre for 6, ved 6,33, med teksten midt mellom tallene 6,33.

Vippa står i $\mu = 6$ kg, ikke i midtpunktet av tallene 4, 5 og 10. Gjennomsnittet av selve verdiene er $\displaystyle \frac{4+5+10}{3} \approx 6{,}33$ (grå strek), men sekken på 5 kg er dobbelt så sannsynlig som de to andre og trekker balansepunktet mot venstre. Forventningsverdien er et vektet gjennomsnitt.

Svar: $E(X) = 6$ kg, slik oppgaven ba oss vise.

Tolkning: Tar vi mange sekker fra pallen, veier de i gjennomsnitt 6 kg. Skal du frakte 100 sekker, kan du regne med omtrent $100 \cdot 6 \text{ kg} = 600$ kg. Legg merke til at 6 kg ligger mellom 5 og 10 — den tunge sekken drar gjennomsnittet opp selv om den er sjelden.

📝Oppgave 2

Et pakkeri sender pakker med tre ulike vekter. Halvparten av pakkene veier 2 kg, 30 % veier 5 kg og resten veier 10 kg. La $X$ være vekten av en tilfeldig pakke.

Sett opp fordelingstabellen til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Hva veier 200 tilfeldige pakker til sammen, omtrent?

Frakten koster 38 kr per kilo. Hva er forventet fraktkostnad for én pakke?

Forklar hvorfor $E(X)$ ikke er lik gjennomsnittet av tallene 2, 5 og 10.

Løs oppgaven

Forventningsverdi i spill og lotterier

Forventningsverdi er det verktøyet som avgjør om et spill lønner seg. Framgangsmåten er alltid den samme:

1. La $X$ være utbetalingen i ett spill, og sett opp fordelingen til $X$ .
2. Regn ut $E(X)$ — forventet utbetaling.
3. Sammenlign med innsatsen.

Et spill kalles rettferdig når forventet utbetaling er nøyaktig lik innsatsen. Da er forventet netto 0 kr: i det lange løp går du verken i pluss eller minus.

Når vi trekker innsatsen fra, bruker vi denne regelen:

📜Forventningsverdi av

aX + b

For alle tall

a

b

gjelder

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

Ganger vi alle utfallene med $a$ , ganges forventningsverdien med $a$ . Legger vi $b$ til alle utfallene, legges $b$ til forventningsverdien.

To vanlige spesialtilfeller:

- Netto etter innsats: $E(X - 50) = E(X) - 50$
- Omregning av enhet: koster hver enhet $150$ kr, er $E(150X) = 150 \cdot E(X)$

✏️Eksempel 3: Loddsalg

Et idrettslag selger 1000 lodd. Hvert lodd koster 50 kr. Det trekkes én hovedpremie på 10 000 kr, fem premier på 2000 kr og tjue premier på 500 kr. De øvrige loddene gir ingen premie.

La $X$ være premien på ett tilfeldig lodd.

a) Sett opp fordelingen til $X$ og finn $E(X)$ .
b) Hva er forventet nettogevinst for den som kjøper ett lodd?
c) Hvor mye tjener idrettslaget i gjennomsnitt på hvert solgte lodd?

Løsning:

a) Hva vet vi? Til sammen $1 + 5 + 20 = 26$ lodd gir premie, så $1000 - 26 = 974$ lodd gir 0 kr.

Vi tegner tabellen. Alle sannsynlighetene får nevner 1000:

$k$ (kr)	0	500	2000	10 000	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{974}{1000}$	$\displaystyle \frac{20}{1000}$	$\displaystyle \frac{5}{1000}$	$\displaystyle \frac{1}{1000}$	$\displaystyle \frac{1000}{1000} = 1$
$k \cdot P(X = k)$	$\displaystyle \frac{0}{1000}$	$\displaystyle \frac{10\,000}{1000}$	$\displaystyle \frac{10\,000}{1000}$	$\displaystyle \frac{10\,000}{1000}$	$\displaystyle \frac{30\,000}{1000}$

Formelen først:

\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = 0 \cdot \frac{974}{1000} + 500 \cdot \frac{20}{1000} + 2000 \cdot \frac{5}{1000} + 10\,000 \cdot \frac{1}{1000}

= \frac{0}{1000} + \frac{10\,000}{1000} + \frac{10\,000}{1000} + \frac{10\,000}{1000} = \frac{30\,000}{1000} = 30

Forventet premie er $E(X) = 30$ kr.

(At de tre premiegruppene tilfeldigvis gir like store bidrag, er ikke noe vi kan regne med — her er det bare slik tallene falt.)

b) Nettogevinsten er premien minus innsatsen, altså $X - 50$ . Vi bruker regelen $E(X - 50) = E(X) - 50$ :

$E(X - 50) = 30 - 50 = -20$

Forventet nettogevinst er $-20$ kr, altså et forventet tap på 20 kr per lodd.

c) Det kjøperen taper, tjener laget. Laget sitter igjen med $50 - 30 = 20$ kr per solgt lodd.

Kontroll på hele lotteriet: inntekt $1000 \cdot 50 \text{ kr} = 50\,000$ kr, premier $10\,000 + 5 \cdot 2000 + 20 \cdot 500 = 30\,000$ kr, overskudd $20\,000$ kr — som er $1000 \cdot 20$ kr. Tallene stemmer.

Svar: a) $E(X) = 30$ kr. b) $-20$ kr. c) 20 kr per lodd, til sammen 20 000 kr.

📝Oppgave 3

På et skolearrangement kan du betale 20 kr for å kaste én terning. Får du sekser, vinner du 90 kr. Får du femmer, vinner du 30 kr. Ellers vinner du ingenting. La $X$ være gevinsten i ett spill.

Sett opp fordelingstabellen til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Er spillet rettferdig? Begrunn svaret.

Arrangøren setter gevinsten for sekser ned til 60 kr. Finn den nye forventede nettogevinsten for spilleren.

Hvor mye tjener arrangøren i gjennomsnitt på 300 spill etter endringen i d)?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Når forventningsverdien er oppgitt

En stokastisk variabel $X$ har denne fordelingen:

$x$	0	1	4	$b$
$P(X = x)$	0,30	0,40	0,10	0,20

Det er oppgitt at

E(X) = 2

. Vis at

b = 6

Løsning:

Her snur vi oppgaven: forventningsverdien er kjent, og verdien er ukjent. Framgangsmåten er likevel den samme — vi setter opp formelen og lar $b$ bli stående som bokstav.

$\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = 0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}40 + 4 \cdot 0{,}10 + b \cdot 0{,}20$

Vi regner ut de tre første leddene:

$E(X) = 0 + 0{,}40 + 0{,}40 + 0{,}20b = 0{,}80 + 0{,}20b$

Så setter vi dette lik den oppgitte forventningsverdien:

$0{,}80 + 0{,}20b = 2$

Vi gjør samme operasjon på begge sider — trekker fra $0{,}80$ :

$0{,}80 + 0{,}20b - 0{,}80 = 2 - 0{,}80$

$0{,}20b = 1{,}20$

Og deler på $0{,}20$ på begge sider:

$\frac{0{,}20b}{0{,}20} = \frac{1{,}20}{0{,}20}$

$b = 6$

Kontroll: $0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}40 + 4 \cdot 0{,}10 + 6 \cdot 0{,}20 = 0 + 0{,}40 + 0{,}40 + 1{,}20 = 2$ . Stemmer.

Svar: $b = 6$

📝Oppgave 4

En stokastisk variabel $X$ har fordelingen under, der $c$ er ukjent. Det er oppgitt at $E(X) = 3{,}3$ .

$x$	0	2	4	$c$
$P(X = x)$	0,25	0,25	0,30	0,20

Kontroller at sannsynlighetene summerer til 1.

Sett opp uttrykket for $E(X)$ med $c$ som bokstav.

Bestem $c$ .

Finn $P(X \ge 4)$ .

La $Y = 25X + 100$ . Finn $E(Y)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

En kafé har målt hvor mange bestillinger de får i timen. La $X$ være antall bestillinger i en tilfeldig time:

$k$	8	10	12	14	16
$P(X = k)$	0,10	0,25	0,30	0,25	0,10

Finn $E(X)$ .

Fordelingen er symmetrisk om 12. Hva forteller det deg om $E(X)$ , uten at du regner?

Hver bestilling gir 85 kr i inntekt. La $Y = 85X$ . Finn $E(Y)$ .

Kaféen har faste kostnader på 450 kr per time. Overskuddet er $Z = 85X - 450$ . Finn $E(Z)$ .

Hvor mange bestillinger må kaféen ha i en time for at overskuddet skal bli positivt?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Forventningsverdien $\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k)$ er et vektet gjennomsnitt av verdiene, med sannsynlighetene som vekter.
- Vi regner den i en tabell med Sum-kolonne: rad for $k$ , rad for $P(X = k)$ (kontroll: summen er 1) og rad for $k \cdot P(X = k)$ (Sum-cella er $\mu$ ).
- Brøkene i produktraden forkortes ikke underveis — de skal summeres, og da vil vi ha felles nevner.
- $\mu$ er ikke nødvendigvis et mulig utfall. Den er gjennomsnittet i det lange løp.
- $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ . Denne regelen sparer mye arbeid når verdiene skal ganges opp eller en innsats skal trekkes fra.

Forventningsverdien sier hvor fordelingen ligger, men ingenting om hvor spredt den er. To fordelinger kan ha samme $\mu$ og likevel oppføre seg helt ulikt. Det er det kapittel 5.3 handler om.

📝Oppgave 6

Del 2 — regneark. Et forsikringsselskap tilbyr en reiseforsikring til 2400 kr per år. Selskapet regner med at 2,0 % av kundene får en skade som koster selskapet 40 000 kr, og at 0,5 % får en skade som koster 150 000 kr. De øvrige kundene koster ingenting. La

X

være selskapets utbetaling til én tilfeldig kunde i løpet av et år.

Sett opp fordelingstabellen til $X$ i et regneark, med verdiene i én kolonne og sannsynlighetene i neste.

Lag en tredje kolonne med produktene $k \cdot P(X = k)$ , og summer den med =SUMMER(C2:C4). Hva er $E(X)$ ?

Selskapets overskudd per kunde er $2400 - X$ . Finn forventet overskudd per kunde.

Selskapet har 50 000 kunder. Hva er forventet samlet overskudd på denne forsikringen?

Bruk regnearket til å finne den laveste årsprisen (hele kroner) som gir selskapet et forventet overskudd. Hvorfor ville ingen selskaper faktisk sette prisen der?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandene og forklaringene under.

« $E(X)$ er den verdien vi kan forvente å få neste gang.» Er det riktig?

En elev regner ut forventningsverdien til fordelingen $P(X=1) = 0{,}80$ , $P(X=10) = 0{,}20$ som $\displaystyle \frac{1 + 10}{2} = 5{,}5$ . Hva er feilen, og hva er riktig svar?

«Hvis et spill har forventet nettogevinst 0 kr, kommer jeg alltid ut i null.» Drøft.

To fordelinger har begge $E(X) = 10$ . Den ene kan bare gi 9 eller 11, den andre bare 0 eller 20. Hva er likt, og hva er forskjellig?

Hvorfor tjener et lotteri penger selv om det er tilfeldig hvem som vinner?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.