5.1 Diskrete stokastiske variabler

a) Først spør vi: Hva vet vi, og hva må vi finne?

Vi vet at hver mynt gir kron (K) eller mynt (M), og at de tre myntene er uavhengige av hverandre. Vi må finne hvor sannsynlig hvert antall kron er.

Antall mulige utfall er

$$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$

Alle de 8 utfallene er like sannsynlige. Vi lister dem opp og teller kron i hvert:

Fordelingstabellen blir:

b) Vi summerer. Legg merke til at vi ikke forkorter brøkene underveis — de skal legges sammen, og da er felles nevner det vi vil ha:

$$\frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = \frac{8}{8} = 1$$
Summen er 1, slik den skal være.

Sannsynlighetsfordelingen til $X$ = antall kron i tre myntkast, tegnet som søylediagram. Høyden på hver søyle er $P(X = k)$, og de fire høydene summerer til 1.

Svar: $\displaystyle P(X = 0) = \frac{1}{8}$, $\displaystyle P(X = 1) = \frac{3}{8}$, $\displaystyle P(X = 2) = \frac{3}{8}$, $\displaystyle P(X = 3) = \frac{1}{8}$, og summen er 1.

Hva vet vi? Posen har 5 kuler til sammen, 3 røde og 2 blå. Vi trekker 2.

Hva må vi finne? $P(X = 0)$, $P(X = 1)$ og $P(X = 2)$.

Antall mulige utvalg (nevneren, den er den samme hele veien):

$$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

Ingen røde ($X = 0$) betyr 0 av de 3 røde og 2 av de 2 blå:

$$P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \frac{1 \cdot 1}{10} = \frac{1}{10}$$

Én rød ($X = 1$) betyr 1 av de 3 røde og 1 av de 2 blå:

$$P(X = 1) = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \cdot 2}{10} = \frac{6}{10}$$

To røde ($X = 2$) betyr 2 av de 3 røde og 0 av de 2 blå:

$$P(X = 2) = \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{5}{2}} = \frac{3 \cdot 1}{10} = \frac{3}{10}$$

Vi lar brøkene stå med nevner 10 (de skal summeres) og setter opp tabellen:

Fordelingen til $X$ = antall røde kuler. Uten tilbakelegging blir fordelingen skjev — i motsetning til den symmetriske myntfordelingen i eksempel 1. Søylene summerer til $0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}3 = 1$, som kravet i teoremet sier.

Svar: $\displaystyle P(X = 0) = \frac{1}{10} = 0{,}1$, $\displaystyle P(X = 1) = \frac{6}{10} = 0{,}6$ og $\displaystyle P(X = 2) = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

(Først helt til slutt forkorter vi eller gjør om til desimaltall — når det ikke skal summeres mer.)

a) «Høyst én bil» betyr null biler eller én bil, så vi summerer de to første sannsynlighetene:

$$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}18 + 0{,}49 = 0{,}67$$

I klartekst: 67 % av husholdningene disponerer høyst én bil.

b) Her kan vi velge. Vi kan summere direkte:

$$P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}28 + 0{,}05 = 0{,}33$$

Eller bruke komplementet, som gir samme svar med ett ledd mindre:

$$P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - 0{,}67 = 0{,}33$$

At de to veiene gir samme tall, er en god kontroll.

c) «Minst én bil» er det motsatte av «ingen bil». Her er komplementet klart raskest:

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}18 = 0{,}82$$

Svar: a) $0{,}67$ — 67 % har høyst én bil. b) $0{,}33$. c) $0{,}82$.

a) Vi bruker summekravet. Summen av alle sannsynlighetene skal være 1:

$$k + 0{,}30 + (k - 0{,}20) + 0{,}10 = 1$$

Vi samler like ledd på venstre side:

$$2k + 0{,}20 = 1$$

Så gjør vi samme operasjon på begge sider — trekker fra $0{,}20$:

$$2k + 0{,}20 - 0{,}20 = 1 - 0{,}20$$

$$2k = 0{,}80$$

Og deler på 2 på begge sider:

$$\frac{2k}{2} = \frac{0{,}80}{2}$$

$$k = 0{,}40$$

Vi setter inn og får fordelingen:

$$P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}20 + 0{,}10 = 0{,}30$$

Svar: a) $k = 0{,}40$. b) $P(X > 1) = 0{,}30$.

NB: Kontrollen i a) er ikke pynt. Hadde vi fått $k = 0{,}10$, ville $P(X = 2) = 0{,}10 - 0{,}20 = -0{,}10$ — en negativ sannsynlighet, som er umulig. Da måtte vi lett etter regnefeilen.