4.8 Simulering av tilfeldige forsøk

Skritt 1 — modellen. To terninger, hver med seks like sannsynlige utfall.

Skritt 2 — ett forsøk. I celle A1 og B1 legger vi ett terningkast hver:

A1:  =TILFELDIGMELLOM(1;6)
B1:  =TILFELDIGMELLOM(1;6)

I C1 regner vi summen:

C1:  =A1+B1

Skritt 3 — testen. I D1 skriver vi 1 når hendelsen inntraff, og 0 ellers:

D1:  =HVIS(C1>=10;1;0)

Skritt 4 — gjenta og tell. Vi merker A1:D1 og drar nedover til rad 5000. Så teller vi:

F1:  =SUMMER(D1:D5000)

Skritt 5 — del og tolk.

F2:  =F1/5000

En kjøring gir typisk et tall rundt $0{,}17$. Trykker vi F9, regnes arket om med nye tilfeldige tall, og vi får et litt annet tall hver gang — det er uvissheten i selve simuleringen.

Den teoretiske verdien. Summen blir minst 10 for parene

$$(4,6),\ (5,5),\ (6,4),\ (5,6),\ (6,5),\ (6,6)$$

Det er 6 av de 36 utfallene:

$$P(\text{minst 10}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$

Simuleringen treffer altså godt. Merk rekkefølgen her: vi kunne regnet det ut med en gang, og simuleringen var strengt tatt unødvendig. Poenget er at metoden virker på et problem vi kan kontrollere — da tør vi bruke den på problemer vi ikke kan kontrollere.

Svar: Simuleringen gir omtrent $0{,}17$; den teoretiske verdien er $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$.

a) Vi følger de fem skrittene.

import random

antall = 100000
treff = 0

for i in range(antall):
    t1 = random.randint(1, 6)
    t2 = random.randint(1, 6)
    if t1 >= 5 or t2 >= 5:
        treff = treff + 1

print(treff / antall)

- random.randint(1, 6) er ett terningkast — skritt 2.
- if t1 >= 5 or t2 >= 5 er testen. or betyr «eller», og det er det inklusive «eller» fra kapittel 4.4: vinner du med begge, teller det også — skritt 3.
- treff = treff + 1 øker telleren. Legg merke til at ett likhetstegn tilordner en verdi; det er ikke en likning — skritt 4.
- Siste linje deler på antall forsøk — skritt 5.

Programmet skriver ut et tall rundt $0{,}556$.

b) Vi regner med komplementet, slik kapittel 4.2 lærte oss. Det motsatte av «minst én viser 5 eller 6» er «ingen av dem viser 5 eller 6», altså at begge viser 1, 2, 3 eller 4.

For én terning:

$$P(\text{høyst 4}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Terningene er uavhengige, så vi ganger:

$$P(\text{ingen 5 eller 6}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$$

$$P(\text{vinner}) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556$$

Simuleringen og utregningen stemmer overens. Da vet vi to ting: utregningen er trolig riktig, og programmet gjør trolig det det skal.

Svar: a) Et program som teller treff i 100 000 kast; det gir omtrent $0{,}556$. b) $\displaystyle \frac{5}{9} \approx 0{,}556$.

Komponentene:

- n = 200000 er antall forsøk, og teller = 0 er telleren. Begge settes før løkka begynner.
- Den ytre løkka for i in range(n) gjentar hele forsøket 200 000 ganger.
- p = 1 nullstiller — eller rettere, én-stiller — produktet foran hvert forsøk. Det må stå inne i den ytre løkka; sto det utenfor, ville produktet vokst gjennom alle forsøkene.
- Den indre løkka for k in range(3) kjører tre ganger. Hver gang ganges p med et nytt terningkast. Etter tre runder er p produktet av tre terningkast.
- if p > 100 er testen: er produktet større enn 100?
- teller = teller + 1 øker telleren når testen slår til.
- print(teller / n) skriver ut andelen — altså anslaget.

Flyten, to gjennomløp:

Første gjennomløp av den ytre løkka. p settes til 1. Indre løkke: si at terningene gir 4, 6 og 5. Da blir p først $1 \cdot 4 = 4$, så $4 \cdot 6 = 24$, så $24 \cdot 5 = 120$. Testen $120 > 100$ slår til, og teller blir 1.

Andre gjennomløp. p settes til 1 igjen. Si at terningene gir 2, 3 og 6. Da blir p $2$, så $6$, så $36$. Testen $36 > 100$ slår ikke til, og teller står stille på 1.

Og så videre, 200 000 ganger. Til slutt deles telleren på 200 000.

Hvilken sannsynlighet? Programmet anslår

$$P(\text{produktet av tre terningkast er større enn } 100)$$

Hvorfor simulering? Utfallsrommet har $6^3 = 216$ utfall, og det finnes ingen enkel formel for hvor mange av dem som gir produkt over 100 — vi måtte gått gjennom alle 216 og telt. Det lar seg gjøre, men det er tungvint for hånd. Simuleringen gir svaret på et sekund, og gir dessuten en metode som fortsatt virker om vi går opp til fire eller fem terninger, der opptellingen blir uoverkommelig.

Svar: Programmet anslår sannsynligheten for at produktet av tre terningkast blir større enn 100.

a) Fordi summene i midten kan oppnås på flest måter. Sum 7 kan komme av 6 av de 36 tallparene, mens sum 2 bare kan komme av ett — nemlig $(1,1)$.

$$P(\text{sum } 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \qquad P(\text{sum } 2) = \frac{1}{36} \approx 0{,}028$$

Dette er det samme poenget som i kapittel 4.3: de 11 summene er ikke like sannsynlige, selv om de 36 parene er det.

b) Det er lite. Avviket $0{,}0085$ skal sammenlignes med selve sannsynligheten det gjelder, $0{,}167$. Det tilsvarer omtrent 5 % av verdien, og en simulering på 10 000 forsøk kan ikke love bedre enn dette.

En nyttig målestokk: med 10 000 forsøk ligger det typiske avviket i størrelsesorden $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10\,000}} = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Vårt største avvik er altså akkurat der man skulle vente.

c) Usikkerheten synker som $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$. Skal den halveres, må $\sqrt{n}$ dobles, og da må $n$ firedobles:

$$4 \cdot 10\,000 = 40\,000 \text{ kast}$$

Svar: a) Fordi de midtre summene kan oppnås på flere måter. b) Lite — det er i den størrelsesorden 10 000 forsøk gir. c) 40 000 kast.