4.7 Sannsynlighetstre | Statistikk

Flertrinnsforsøk med og uten tilbakelegging, og trediagram som regneverktøy.

45 min

7 oppgaver

SannsynlighetstreUten tilbakelegging

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Når forsøket har flere trinn

De fleste virkelige forsøk består av flere steg etter hverandre: du trekker to kuler, kaster tre terninger, tar en prøve og eventuelt en ny. Da blir utfallsrommet fort stort, og opptelling blir tungvint.

Sannsynlighetstreet er redskapet for slike forsøk. Det er egentlig bare produktsetningen fra kapittel 4.5 tegnet opp — men det tegnede formatet gjør at du ser alle veiene, og at du ikke glemmer noen.

Sannsynlighetstre

Et sannsynlighetstre tegnes fra venstre mot høyre. Hvert trinn i forsøket er en forgrening, og på hver gren skriver vi den betingede sannsynligheten for det steget, gitt alt som allerede har skjedd. Tre regler styrer alt: 1. Grenene ut fra samme punkt summerer til 1. Ett av de mulige utfallene må jo skje. 2. Gang langs en vei. Sannsynligheten for en hel vei er produktet av grensannsynlighetene på den. 3. Summer mellom veier. Fører flere veier fram til det du spør om, legger du sammen veiproduktene. Kontrollen til slutt: alle veiproduktene i hele treet skal summere til 1.

✏️Eksempel 1

I en pose ligger 3 røde og 5 blå kuler. Vi trekker to kuler etter hverandre uten å legge tilbake.

a) Forklar tallene på grenene i treet over.
b) Bestem sannsynligheten for at begge kulene er røde.
c) Bestem sannsynligheten for at kulene har ulik farge.
d) Bestem sannsynligheten for at minst én kule er rød.

Løsning:

a) Første trinn. Posen har 8 kuler, 3 av dem røde:

$P(R_1) = \frac{3}{8} \qquad P(B_1) = \frac{5}{8}$

Disse summerer til $\displaystyle \frac{8}{8} = 1$ , som regel 1 krever.

Andre trinn, øvre gren. Her har vi allerede trukket en rød. Da ligger det 7 kuler igjen, og bare 2 av dem er røde:

$P(R_2 \mid R_1) = \frac{2}{7} \qquad P(B_2 \mid R_1) = \frac{5}{7}$

Andre trinn, nedre gren. Her har vi trukket en blå. Det ligger fortsatt 7 kuler igjen, men nå er 3 røde og 4 blå:

$P(R_2 \mid B_1) = \frac{3}{7} \qquad P(B_2 \mid B_1) = \frac{4}{7}$

Det er dette som er kjernen i «uten tilbakelegging»: både telleren og nevneren endrer seg, og de endrer seg ulikt etter hva som ble trukket først.

b) Vi ganger langs den øverste veien:

$P(RR) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} \approx 0{,}107$

c) «Ulik farge» nås av to veier: først rød så blå, eller først blå så rød. Vi regner hver vei for seg:

$P(RB) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

$P(BR) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$

Veiene utelukker hverandre, så vi legger sammen. Vi venter med å forkorte til summen er ferdig:

$P(\text{ulik farge}) = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}536$

d) «Minst én rød» har komplementet «ingen rød», altså den nederste veien $BB$ :

$P(BB) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

$P(\text{minst én rød}) = 1 - \frac{5}{14} = \frac{14}{14} - \frac{5}{14} = \frac{9}{14} \approx 0{,}643$

Kontroll: alle fire veiproduktene skal summere til 1.

$\frac{6}{56} + \frac{15}{56} + \frac{15}{56} + \frac{20}{56} = \frac{56}{56} = 1$

Svar: b) $\displaystyle \frac{3}{28} \approx 0{,}107$ . c) $\displaystyle \frac{15}{28} \approx 0{,}536$ . d) $\displaystyle \frac{9}{14} \approx 0{,}643$ .

📝Oppgave 1

Gjør det samme som i eksempel 1. I en pose ligger 4 grønne og 6 gule kuler. Vi trekker to kuler uten tilbakelegging. Tegn treet først. Oppgi svarene som forkortet brøk.

Bestem sannsynligheten for at begge er grønne.

Bestem sannsynligheten for at begge er gule.

Bestem sannsynligheten for at kulene har ulik farge.

Bestem sannsynligheten for at minst én er grønn.

Kontroller treet: hva blir summen av alle fire veiproduktene?

Løs oppgaven

Med eller uten tilbakelegging

Forskjellen mellom de to er hele forskjellen mellom avhengige og uavhengige trinn:

Med tilbakelegging	Uten tilbakelegging
Antall igjen i posen	uendret	én mindre for hvert trekk
Grensannsynlighetene i trinn 2	samme som i trinn 1	avhenger av hva som ble trukket
Trinnene er	uavhengige	avhengige
Treet	samme tall på begge grenpar	ulike tall på grenparene

NB: Les oppgaveteksten nøye. «Legger kula tilbake», «noterer og legger tilbake» betyr med tilbakelegging. «Trekker to kuler», «trekker to kort» uten mer betyr som regel uten tilbakelegging — du kan ikke trekke den samme kula to ganger i samme håndgrep.

✏️Eksempel 2

Vi bruker samme pose som i eksempel 1 — 3 røde og 5 blå kuler — men nå legger vi kula tilbake før vi trekker den andre.

a) Bestem sannsynligheten for at begge er røde.
b) Bestem sannsynligheten for at kulene har ulik farge.
c) Sammenlign med svarene i eksempel 1 og forklar forskjellen.

Løsning:

Nå er posen den samme i begge trinn: 8 kuler, 3 røde. Grensannsynlighetene i trinn 2 er derfor de samme som i trinn 1, uansett hvilken vei vi kom.

a) $P(RR) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64} \approx 0{,}141$

b) To veier fører fram:

$P(RB) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{15}{64} \qquad P(BR) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$

$P(\text{ulik farge}) = \frac{15}{64} + \frac{15}{64} = \frac{30}{64} = \frac{15}{32} \approx 0{,}469$

c) Vi setter svarene ved siden av hverandre:

Uten tilbakelegging	Med tilbakelegging
begge røde	$\displaystyle \frac{3}{28} \approx 0{,}107$	$\displaystyle \frac{9}{64} \approx 0{,}141$
ulik farge	$\displaystyle \frac{15}{28} \approx 0{,}536$	$\displaystyle \frac{15}{32} \approx 0{,}469$

Uten tilbakelegging er «begge røde» mindre sannsynlig. Grunnen er at når vi først har tatt en av de tre røde, er det bare 2 røde igjen av 7 — andelen røde har sunket fra

\displaystyle \frac{3}{8} = 0{,}375

til

\displaystyle \frac{2}{7} \approx 0{,}286

. Å ta en rød gjør det vanskeligere å ta en til.
Av samme grunn er «ulik farge» mer sannsynlig uten tilbakelegging: å ta en rød først gjør de blå relativt flere.
Svar: a)

\displaystyle \frac{9}{64} \approx 0{,}141

. b)

\displaystyle \frac{15}{32} \approx 0{,}469

. c) Uten tilbakelegging trekker trekningen mot ulike farger, fordi den fargen du allerede har tatt, blir sjeldnere i posen.

📝Oppgave 2

Samme pose som i oppgave 1 — 4 grønne og 6 gule kuler — men nå med tilbakelegging. Oppgi svarene som forkortet brøk.

Bestem sannsynligheten for at begge er grønne.

Bestem sannsynligheten for at begge er gule.

Bestem sannsynligheten for at kulene har ulik farge.

Bestem sannsynligheten for at minst én er grønn.

Ble «begge grønne» mer eller mindre sannsynlig enn i oppgave 1? Svar «mer» eller «mindre».

Løs oppgaven

Flere enn to trinn

Reglene er de samme uansett hvor mange trinn forsøket har — treet blir bare bredere. Med tre trinn og to utfall i hvert får treet $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ veier.

Det er nettopp her komplementet blir uunnværlig. «Minst én» over tre eller fire trinn krever at du summerer mange veier, mens «ingen» som regel er én eneste vei.

✏️Eksempel 3

Fra posen med 3 røde og 5 blå kuler trekker vi nå tre kuler uten tilbakelegging.

a) Bestem sannsynligheten for at alle tre er blå.
b) Bestem sannsynligheten for at minst én er rød.
c) Bestem sannsynligheten for at alle tre er røde.

Løsning:

a) Vi følger én vei gjennom treet og ganger grensannsynlighetene. Posen minker for hvert trekk:

Trekk	Blå igjen	Kuler igjen	Grensannsynlighet
1	5	8	$\displaystyle \frac{5}{8}$
2	4	7	$\displaystyle \frac{4}{7}$
3	3	6	$\displaystyle \frac{3}{6}$

P(BBB) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{60}{336}

Vi forkorter til slutt. Både

60

336

er delelige med

12

\frac{60}{336} = \frac{5}{28} \approx 0{,}179

b) Å summere alle veiene med minst én rød ville krevd sju veier. Komplementet er én vei — nemlig den vi nettopp regnet:

$P(\text{minst én rød}) = 1 - P(BBB) = \frac{28}{28} - \frac{5}{28} = \frac{23}{28} \approx 0{,}821$

c) Nå er det de røde som minker, og det er bare 3 av dem:

$P(RRR) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{336} = \frac{1}{56} \approx 0{,}018$

Legg merke til det siste leddet: etter to røde er det bare én rød igjen av 6 kuler. Hadde vi trukket fire kuler, ville $P(RRRR) = 0$ — posen har jo bare tre røde.

Med tre trinn har treet åtte veier, og sju av dem gir minst én rød. Da er komplementet $\displaystyle 1 - \frac{5}{28} = \frac{23}{28}$ langt raskere enn å legge sammen de sju.

Svar: a) $\displaystyle \frac{5}{28} \approx 0{,}179$ . b) $\displaystyle \frac{23}{28} \approx 0{,}821$ . c) $\displaystyle \frac{1}{56} \approx 0{,}018$ .

📝Oppgave 3

En eske inneholder 9 lyspærer, og 2 av dem er defekte. Vi trekker tre pærer uten tilbakelegging. Oppgi svarene som forkortet brøk.

Bestem sannsynligheten for at ingen av pærene er defekte.

Bestem sannsynligheten for at minst én er defekt.

Bestem sannsynligheten for at begge de defekte er blant de tre trukne.

Bestem sannsynligheten for at nøyaktig én er defekt.

Hva er sannsynligheten for at alle tre er defekte?

Løs oppgaven

Trær der grenene stopper ulikt

Treet trenger ikke være symmetrisk. I mange virkelige forsøk avsluttes noen veier tidlig, mens andre fortsetter. Består du prøven i første forsøk, er det ingen andre runde å tegne.

Framgangsmåten er likevel den samme: gang langs veiene, summer mellom dem, og kontroller at alle endepunktene summerer til 1.

✏️Eksempel 4

En elev skal ta teoriprøven til førerkortet. Sannsynligheten for å bestå i første forsøk er $0{,}70$ . Stryker han, leser han mer og går opp på nytt; sannsynligheten for å bestå i andre forsøk er da $0{,}85$ . Han gir seg uansett etter to forsøk.

a) Tegn treet og bestem sannsynligheten for at han består i løpet av de to forsøkene.
b) Bestem sannsynligheten for at han stryker begge ganger.
c) Bestem sannsynligheten for at han trengte to forsøk, gitt at han til slutt besto.

Løsning:

Treet har tre endepunkter, ikke fire: består han første gang, stopper veien der.

Vei	Regnestykke	Sannsynlighet
Består i første forsøk	$0{,}70$	$0{,}70$
Stryker, så består	$0{,}30 \cdot 0{,}85$	$0{,}255$
Stryker, så stryker	$0{,}30 \cdot 0{,}15$	$0{,}045$

Kontroll:

0{,}70 + 0{,}255 + 0{,}045 = 1

.
a) To veier fører til «består». Vi legger dem sammen:

P(\text{består}) = 0{,}70 + 0{,}30 \cdot 0{,}85 = 0{,}70 + 0{,}255 = 0{,}955

b) Det er den siste veien:

$P(\text{stryker begge}) = 0{,}30 \cdot 0{,}15 = 0{,}045$

(Vi kunne også tatt $1 - 0{,}955 = 0{,}045$ . Samme svar, og en god kontroll.)

c) Nå betinger vi. Grunnmengden er ikke lenger alle elever, men de som besto — altså $0{,}955$ . Av dem er det bare veien «stryker, så består» som trengte to forsøk:

$P(\text{to forsøk} \mid \text{besto}) = \frac{0{,}255}{0{,}955} \approx 0{,}267$

Hele forskjellen på b) og c) ligger igjen i nevneren: $1$ mot $0{,}955$ .

Treet er asymmetrisk: består han første gang, stopper veien der, og treet får tre endepunkter i stedet for fire. Veiproduktene 7/10, 51/200 og 9/200 er 0,70, 0,255 og 0,045 — og de summerer til 1.

Svar: a) $0{,}955$ , altså 95,5 %. b) $0{,}045$ . c) $\approx 0{,}267$ , altså omtrent 27 % av dem som består, trengte to forsøk.

📝Oppgave 4

Gjør det samme som i eksempel 4. En bedrift kontrollerer ferdige deler. Sannsynligheten for at en del godkjennes i første kontroll er $0{,}80$ . Blir den ikke godkjent, justeres den og kontrolleres på nytt; da godkjennes den med sannsynlighet $0{,}60$ . Blir den ikke godkjent i andre kontroll, kastes den. Svar med tre desimaler.

Bestem sannsynligheten for at en del godkjennes etter justering.

Bestem sannsynligheten for at en del godkjennes i det hele tatt.

Bestem sannsynligheten for at en del kastes.

Bedriften lager 12 500 deler. Hvor mange må de regne med å kaste?

Bestem sannsynligheten for at en del måtte justeres, gitt at den ble godkjent.

Løs oppgaven

Oppsummering

- Et sannsynlighetstre tegner et flertrinnsforsøk. På hver gren står den betingede sannsynligheten gitt alt som har skjedd før.
- Grenene ut fra samme punkt summerer til 1. Er de ikke det, mangler du et utfall eller har regnet feil.
- Gang langs en vei, summer mellom veier. Kontroller til slutt at alle veiproduktene summerer til 1.
- Uten tilbakelegging endrer både teller og nevner seg for hvert trinn, og trinnene er avhengige. Med tilbakelegging er hvert trinn likt, og trinnene er uavhengige.
- «Minst én» regnes via komplementet. «Ingen» er som regel én vei, mens «minst én» er mange.
- Treet trenger ikke være symmetrisk: noen veier kan stoppe tidlig.
- Skal du betinge på noe som har skjedd, er nevneren summen av veiene som oppfyller betingelsen.

📝Oppgave 5

Samleoppgave (Del 1 — uten hjelpemidler). En skoleklasse har 12 jenter og 8 gutter. Tre elever trekkes tilfeldig til en komité, uten at noen kan trekkes to ganger. Oppgi svarene som forkortet brøk.

Bestem sannsynligheten for at alle tre er jenter.

Bestem sannsynligheten for at alle tre er gutter.

Bestem sannsynligheten for at komiteen har minst én jente.

Bestem sannsynligheten for at komiteen har både jenter og gutter.

Forklar hvorfor vi ikke kan regne $\displaystyle \left(\frac{12}{20}\right)^3$ i a).

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgave (Del 2 — programmering). Programmet under regner ut sannsynligheten for å trekke tre blå kuler etter hverandre uten tilbakelegging, fra en pose med

r

røde og

b

blå.

from fractions import Fraction

def alle_blaa(r, b, n):
    p = Fraction(1)
    for k in range(n):
        p = p * Fraction(b - k, r + b - k)
    return p

print(alle_blaa(3, 5, 3))

Hva skriver programmet ut for alle_blaa(3, 5, 3)? Oppgi forkortet brøk.

Forklar hva b - k og r + b - k står for.

Hva blir alle_blaa(3, 5, 6)? Forklar svaret.

Skriv om siste linje slik at den gir sannsynligheten for minst én rød blant tre trekk. Oppgi verdien som forkortet brøk.

Hvordan måtte løkka endres for å gjelde med tilbakelegging? Hva ville alle_blaa(3, 5, 3) gitt da? Oppgi forkortet brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgave. Et forsikringsselskap reklamerer: «Vi godkjenner 9 av 10 skademeldinger.» En kunde som har fått avslag, klager, og selskapet opplyser at 4 av 10 klager fører fram.

Tegn treet og bestem sannsynligheten for at en tilfeldig skademelding til slutt blir godkjent, dersom alle som får avslag, klager. Svar med to desimaler.

Bestem sannsynligheten for at en skademelding til slutt får avslag.

I virkeligheten klager bare halvparten av dem som får avslag. Hva blir da sannsynligheten for endelig godkjenning?

Selskapet skriver «9 av 10 godkjennes» i reklamen. Er tallet i a) eller det opprinnelige tallet mest opplysende for en kunde? Drøft.

At 4 av 10 klager fører fram, kan tolkes på to måter. Nevn begge, og si hva som skiller dem.

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.