4.6 Venndiagram og krysstabeller

a) Vi følger de fem skrittene.

Midten først: 14 elever har hatt begge.

Bare tysk: $52 - 14 = 38$

Bare spansk: $40 - 14 = 26$

Verken: $120 - 38 - 14 - 26 = 42$

Kontroll: $38 + 14 + 26 + 42 = 120$. Det stemmer, og figuren under viser nettopp disse fire tallene.

120 elever fordelt etter om de har hatt tysk ($T$) eller spansk ($S$) som fremmedspråk. De fire tallene summerer til 120.

b) Grunnmengden er de 120 elevene. Vi venter med å forkorte, siden brøkene skal brukes videre.

$$P(T) = \frac{52}{120} \qquad P(S) = \frac{40}{120} \qquad P(T \cap S) = \frac{14}{120}$$

c) «Minst ett» er unionen. Vi kan enten bruke addisjonssetningen eller lese de tre feltene rett av figuren. Vi gjør begge deler, siden det ene er kontroll på det andre.

Fra addisjonssetningen:

$$P(T \cup S) = \frac{52}{120} + \frac{40}{120} - \frac{14}{120} = \frac{78}{120}$$

Fra figuren: $38 + 14 + 26 = 78$ elever. Samme tall.

$$\frac{78}{120} = \frac{13}{20} = 0{,}65$$

d) «Tysk, men ikke spansk» er feltet med 38 elever:

$$P = \frac{38}{120} = \frac{19}{60} \approx 0{,}317$$

Svar: a) 38, 14, 26 og 42. b) $\displaystyle \frac{13}{30}$, $\displaystyle \frac{1}{3}$ og $\displaystyle \frac{7}{60}$. c) $\displaystyle \frac{13}{20} = 0{,}65$. d) $\displaystyle \frac{19}{60} \approx 0{,}317$.

Vi bygger tabellen celle for celle, og hver celle skal kunne begrunnes fra en opplysning eller fra en rad- eller kolonnesum.

Cellene vi får rett fra teksten:

- «160 kjøpte kaffe» er radsummen for kaffe: $160$.
- «av dem kjøpte 112 også noe å spise» er cellen kaffe og spise: $112$.
- «av dem som ikke kjøpte kaffe, kjøpte 18 noe å spise» er cellen ikke kaffe og spise: $18$.

Cellene vi regner ut:

- Radsummen for «ikke kaffe»: $250 - 160 = 90$.
- Kaffe, men ikke spise: radsummen minus cellen vi har: $160 - 112 = 48$.
- Ikke kaffe og ikke spise: $90 - 18 = 72$.
- Kolonnesummen for spise: $112 + 18 = 130$.
- Kolonnesummen for ikke spise: $48 + 72 = 120$.

Tabellen blir:

Vi identifiserer nevneren før vi skriver hver eneste brøk.

a) Her spør vi om alle kundene. Nevneren er totalen 250, og telleren er kolonnesummen for mat:

$$P(M) = \frac{130}{250} = \frac{13}{25} = 0{,}52$$

b) «Både kaffe og mat» er cellen $112$. Vi spør fortsatt om alle kundene, så nevneren er totalen:

$$P(K \cap M) = \frac{112}{250} = \frac{56}{125} = 0{,}448$$

c) Nå betinger vi på kaffe. Grunnmengden krymper til kafferaden, altså 160 kunder. Telleren er den samme cellen som i b):

$$P(M \mid K) = \frac{112}{160} = \frac{7}{10} = 0{,}70$$

d) Nå betinger vi på mat i stedet. Grunnmengden blir matkolonnen, altså 130 kunder. Telleren er fortsatt den samme cellen:

$$P(K \mid M) = \frac{112}{130} = \frac{56}{65} \approx 0{,}862$$

Her ser vi det tydelig: $112$ står over brøkstreken i b), c) og d). Det er bare tallet under brøkstreken som endrer seg — $250$, $160$, $130$ — og svarene blir $0{,}448$, $0{,}70$ og $0{,}862$.

e) $P(M) = 0{,}52$ mot $P(M \mid K) = 0{,}70$.

Blant alle kundene kjøper 52 % mat. Blant kaffekundene kjøper 70 % mat. Opplysningen «hun kjøpte kaffe» gjør det altså klart mer sannsynlig at hun også kjøpte mat.

Siden $P(M \mid K) \neq P(M)$, er hendelsene avhengige. Kaféen kan bruke dette: den som kjøper kaffe, er en god kandidat for et tilbud på noe å spise.

Samme celle, tre svar. Telleren er den samme hele veien — hele forskjellen ligger i hva vi deler på, og det er nettopp det betingelsen bestemmer. Den gule cellen er telleren, den grønne raden er den ene nevneren, og de to andre nevnerne står som sum-tall i tabellen: 250 og 130.

Svar: a) $0{,}52$. b) $0{,}448$. c) $0{,}70$. d) $\approx 0{,}862$. e) Kaffekunder kjøper mat oftere enn kunder flest; hendelsene er avhengige.

Vi henter de fire feltene fra venndiagrammet i eksempel 1 — 38, 14, 26 og 42 — og legger dem i tabellen. Radsummene og kolonnesummene regner vi ut.

$$P(T \mid S) = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0{,}35$$

Samme celle over brøkstreken, to ulike nevnere, to ulike svar.

Kontroll med definisjonen: $\displaystyle P(S \mid T) = \frac{P(S \cap T)}{P(T)} = \frac{14/120}{52/120} = \frac{14}{52}$. Nevnerne 120 stryker mot hverandre — det er derfor vi kan lese svaret rett ut av antallene i tabellen uten å gå veien om sannsynligheter.

Svar: a) $\displaystyle \frac{7}{26} \approx 0{,}269$. b) $\displaystyle \frac{7}{20} = 0{,}35$.