4.5 Betinget sannsynlighet og loven om total sannsynlighet

a) Utfallsrommet er $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, og modellen er uniform.

$$P(A) = \frac{1}{6} \qquad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Vi trenger også snittet. En sekser er et partall, så $A \cap B = \{6\}$:

$$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$$

b) Vi skriver formelen tom først:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

$$P(A \mid B) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}$$

Brøk delt på brøk: vi ganger med den omvendte av nevneren.

$$= \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Dette stemmer med opptellingen i innledningen: av de tre partallene er ett en sekser.

c) Nå betinger vi den andre veien. Grunnmengden blir $A$, som bare har ett utfall.

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}} = 1$$

d) Telleren er den samme i begge — $\displaystyle \frac{1}{6}$. Det er nevneren som er ulik, og den sier hvilken gruppe vi regner innenfor.

- I b) spør vi: av partallene, hvor stor del er seksere? Svar: én av tre.
- I c) spør vi: av seksere, hvor stor del er partall? Svar: alle. En sekser er alltid et partall, så svaret må bli 1.

$$P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$$

Å bytte om på disse to er en klassisk felle. Vi kommer tilbake til den i oppgave 7.

Svar: a) $\displaystyle P(A) = \frac{1}{6}$, $\displaystyle P(B) = \frac{1}{2}$. b) $\displaystyle \frac{1}{3}$. c) $1$. d) Fordi nevneren — grunnmengden — er forskjellig.

a) Hva vet vi? Kortstokken har 13 hjerterkort av 52. Hva må vi finne? Sannsynligheten for at begge trekk gir hjerter.

La $H_1$ = «første kort er hjerter» og $H_2$ = «andre kort er hjerter». Vi bruker produktsetningen, formelen tom først:

$$P(H_1 \cap H_2) = P(H_1) \cdot P(H_2 \mid H_1)$$

Første faktor er lett: 13 av 52 kort er hjerter.

$$P(H_1) = \frac{13}{52}$$

Andre faktor er den betingede. Gitt at det første kortet var hjerter, ligger det nå 51 kort igjen, og 12 av dem er hjerter:

$$P(H_2 \mid H_1) = \frac{12}{51}$$

Vi setter inn:

$$P(H_1 \cap H_2) = \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} = \frac{156}{2652}$$

Vi forkorter til slutt. Både $156$ og $2652$ er delelige med $156$:

$$\frac{156}{2652} = \frac{1}{17} \approx 0{,}059$$

b) Samme framgangsmåte, men nå med 4 ess av 52, og 3 ess av 51 igjen etterpå:

$$P = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221} \approx 0{,}0045$$

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{17} \approx 0{,}059$, altså rundt 6 %. b) $\displaystyle \frac{1}{221} \approx 0{,}0045$, altså under en halv prosent.

Vi bruker testen $P(A \cap X) = P(A) \cdot P(X)$ og regner begge sidene hver for seg. Grunnmengden er de 36 tallparene.

$$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

a) Summen 7 kommer av parene $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — 6 stykker.

$$P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$

Snittet er de parene som både har sekser først og sum 7. Det er bare $(6,1)$:

$$P(A \cap B) = \frac{1}{36}$$

Vi sammenligner med produktet:

$$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

De to sidene er like, så $A$ og $B$ er uavhengige.

Dette er verdt å stoppe ved. Summen 7 sier ingenting om den første terningen — uansett hva den viser, finnes det nøyaktig én verdi på den andre som gir sum 7. Derfor forsvinner opplysningen.

b) Summen 8 kommer av $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ — 5 stykker.

$$P(C) = \frac{5}{36}$$

Snittet er $(6,2)$, altså ett par:

$$P(A \cap C) = \frac{1}{36}$$

$$P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{216}$$

Er $\displaystyle \frac{1}{36}$ og $\displaystyle \frac{5}{216}$ like? Vi utvider den første med 6:

$$\frac{1}{36} = \frac{6}{216} \neq \frac{5}{216}$$

De er ikke like, så $A$ og $C$ er avhengige. Her hjelper det å vite noe: en ener på den første terningen gjør sum 8 umulig, mens en sekser gjør den mulig.

Svar: a) Uavhengige. b) Avhengige.

Hva vet vi? Vi kjenner hvor stor andel hver leverandør står for, og hvor ofte hver av dem leverer defekte deler. Hva må vi finne? Hvor ofte en tilfeldig del er defekt, samlet sett.

Vi gjør prosentene om til brøker først:

$$P(A) = \frac{3}{5} \qquad P(B) = \frac{2}{5} \qquad P(D \mid A) = \frac{1}{50} \qquad P(D \mid B) = \frac{1}{20}$$

Merk at $\displaystyle \frac{1}{50}$ og $\displaystyle \frac{1}{20}$ er betingede sannsynligheter: «2 % av delene fra A». Grunnmengden er leverandørens egne deler, ikke alle delene.

a) $A$ og $B$ er disjunkte og dekker alle delene, så vi kan bruke loven om total sannsynlighet. Formelen tom først:

$$P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B)$$

$$P(D) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{50} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{20}$$

Vi regner hvert produkt for seg — det er de to røde veiene i treet over:

$$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{50} = \frac{3}{250} \qquad \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{20} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$$

Før vi legger sammen, trenger vi felles nevner. Vi utvider $\displaystyle \frac{1}{50}$ med 5:

$$\frac{1}{50} = \frac{5}{250}$$

$$P(D) = \frac{3}{250} + \frac{5}{250} = \frac{8}{250} = \frac{4}{125} = 0{,}032$$

Altså er $3{,}2 \%$ av delene defekte.

Legg merke til at svaret ligger mellom $2 \%$ og $5 \%$, og nærmere $2 \%$ — som seg hør og bør, siden flest deler kommer fra $A$. Det er en god kontroll: et vektet gjennomsnitt må alltid ligge mellom de verdiene det vekter.

b) Vi ganger sannsynligheten med antall deler:

$$0{,}032 \cdot 2500 = 80$$

Svar: a) $\displaystyle P(D) = \frac{4}{125} = 0{,}032$, altså 3,2 %. b) Omtrent 80 defekte deler.