4.4 Addisjonssetningen | Statistikk

Den generelle addisjonssetningen P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B), og disjunkte hendelser.

45 min

7 oppgaver

AddisjonssetningenDisjunkte hendelser

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Hvorfor vi ikke bare kan legge sammen

I en klasse på 40 elever har 24 deltidsjobb og 18 driver med organisert idrett. Hvor mange gjør minst én av delene?

Det fristende svaret er $24 + 18 = 42$ . Men klassen har bare 40 elever — svaret kan ikke bli 42. Noe har gått galt.

Feilen er at elevene som gjør begge deler, er telt med i begge tallene. De er telt to ganger. Skal vi rette opp, må vi trekke dem fra igjen én gang. Det er hele innholdet i addisjonssetningen.

📜Den generelle addisjonssetningen

For to hendelser

A

B

gjelder

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Lest i klartekst: sannsynligheten for at minst én av hendelsene skjer, er summen av de to sannsynlighetene minus sannsynligheten for at begge skjer.

✏️Eksempel 1

I en klasse på 40 elever har 24 deltidsjobb og 18 driver med organisert idrett. 11 elever gjør begge deler. Vi trekker én elev tilfeldig. La $D$ = «har deltidsjobb» og $I$ = «driver med organisert idrett».

a) Bestem $P(D)$ , $P(I)$ og $P(D \cap I)$ .
b) Bestem $P(D \cup I)$ med addisjonssetningen.
c) Bestem sannsynligheten for at eleven verken har deltidsjobb eller driver med organisert idrett.

Løsning:

a) Alle 40 elevene er like sannsynlige å trekke, så modellen er uniform. Grunnmengden er $40$ , og den står under brøkstreken hver gang.

$P(D) = \frac{24}{40} \qquad P(I) = \frac{18}{40} \qquad P(D \cap I) = \frac{11}{40}$

(Vi venter med å forkorte, siden brøkene skal summeres i neste deloppgave.)

b) Vi skriver formelen tom først, og setter så inn:

$P(D \cup I) = P(D) + P(I) - P(D \cap I)$

$P(D \cup I) = \frac{24}{40} + \frac{18}{40} - \frac{11}{40}$

Alle brøkene har samme nevner, så vi kan regne over brøkstreken:

$= \frac{24 + 18 - 11}{40} = \frac{31}{40}$

Vi kontrollerer mot figuren: $13 + 11 + 7 = 31$ elever gjør minst én av delene. Det stemmer.

$\frac{31}{40} = 0{,}775$

c) «Verken–eller» er komplementet til «minst én av delene»:

$P((D \cup I)') = 1 - P(D \cup I) = \frac{40}{40} - \frac{31}{40} = \frac{9}{40} = 0{,}225$

Og ganske riktig står tallet $9$ utenfor begge sirklene i figuren.

Svar: a) $\displaystyle \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$ , $\displaystyle \frac{18}{40} = \frac{9}{20}$ og $\displaystyle \frac{11}{40}$ . b) $\displaystyle \frac{31}{40} = 0{,}775$ , altså 77,5 % gjør minst én av delene. c) $\displaystyle \frac{9}{40} = 0{,}225$ .

«Eller» betyr «eller begge»

I dagligtale kan «kaffe eller te» bety at du må velge én av delene. I matematikken er «eller» alltid inklusivt:

A \cup B

inneholder også utfallene som er i begge.

Skal du uttrykke «nøyaktig én av delene», må du si det uttrykkelig — og da er det ikke unionen du er ute etter, men unionen minus snittet:

$P(\text{nøyaktig én}) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$

📝Oppgave 1

Bruk addisjonssetningen. Skriv formelen tom først, sett så inn.

P(A) = 0{,}4

P(B) = 0{,}3

P(A \cap B) = 0{,}1

. Bestem

P(A \cup B)

P(A) = 0{,}55

P(B) = 0{,}25

P(A \cap B) = 0{,}15

. Bestem

P(A \cup B)

P(A) = 0{,}5

P(B) = 0{,}2

og hendelsene er disjunkte. Bestem

P(A \cup B)

\displaystyle P(A) = \frac{1}{2}

\displaystyle P(B) = \frac{1}{3}

\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{6}

. Bestem

P(A \cup B)

som forkortet brøk.

P(A) = 0{,}7

P(B) = 0{,}6

P(A \cup B) = 0{,}9

. Bestem

P(A \cap B)

Løs oppgaven

Spesialtilfellet: disjunkte hendelser

Kan de to hendelsene ikke skje samtidig, er $A \cap B = \emptyset$ og dermed $P(A \cap B) = 0$ . Da forsvinner det siste leddet:

📜Addisjonssetningen for disjunkte hendelser

Dersom

A

B

er disjunkte, er

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Dette gjelder også for flere hendelser: er $A_1, A_2, \ldots, A_n$ parvis disjunkte, er

$P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \ldots + P(A_n)$

NB: Sjekk alltid at hendelsene virkelig utelukker hverandre før du bare legger sammen. Dette er den vanligste feilkilden i hele kapittelet.

✏️Eksempel 2

Vi trekker ett kort fra en kortstokk med 52 kort.

a) Bestem sannsynligheten for at kortet er hjerter eller spar.
b) Bestem sannsynligheten for at kortet er hjerter eller et bildekort (knekt, dame eller konge).
c) Forklar hvorfor framgangsmåten er forskjellig i a) og b).

Løsning:

a) La $H$ = «hjerter» og $S$ = «spar». Et kort kan ikke være både hjerter og spar, så hendelsene er disjunkte og $P(H \cap S) = 0$ .

$P(H \cup S) = P(H) + P(S) = \frac{13}{52} + \frac{13}{52} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$

b) La $H$ = «hjerter» og $B$ = «bildekort». Nå kan begge skje samtidig: hjerter knekt, hjerter dame og hjerter konge er både hjerter og bildekort. Snittet har altså 3 kort.

$P(H) = \frac{13}{52} \qquad P(B) = \frac{3 \cdot 4}{52} = \frac{12}{52} \qquad P(H \cap B) = \frac{3}{52}$

Vi bruker den generelle addisjonssetningen:

$P(H \cup B) = P(H) + P(B) - P(H \cap B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52}$

$= \frac{13 + 12 - 3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \approx 0{,}423$

Her forkorter vi først når brøken er ferdig: $22$ og $52$ har begge faktoren $2$ , så $\displaystyle \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$ .

c) Forskjellen ligger i om hendelsene kan skje samtidig. I a) utelukker fargene hverandre, og da er snittet tomt. I b) overlapper hendelsene, og hadde vi lagt sammen uten å trekke fra, ville vi telt de tre hjerter-bildekortene to ganger og fått $\displaystyle \frac{25}{52}$ — for mye.

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{2}$ . b) $\displaystyle \frac{11}{26} \approx 0{,}423$ . c) I a) er hendelsene disjunkte, i b) overlapper de.

📝Oppgave 2

Gjør det samme som i eksempel 2. Vi kaster én terning. Avgjør først om hendelsene er disjunkte, og regn så ut. Oppgi svarene som forkortet brøk.

Sannsynligheten for partall eller sekser.

Sannsynligheten for partall eller oddetall.

Sannsynligheten for minst 5 eller høyst 2.

Sannsynligheten for oddetall eller minst 4.

Sannsynligheten for nøyaktig én av hendelsene i d), altså oddetall eller minst 4, men ikke begge.

Løs oppgaven

Fra tekst til tall

De fleste eksamensoppgavene gir deg opplysningene i ord, ikke som ferdige sannsynligheter. Da lønner det seg å oversette systematisk:

Formulering i teksten	Hva det betyr
«både … og …»	$A \cap B$
«minst én av …», «… eller …»	$A \cup B$
«verken … eller …»	$(A \cup B)'$
«bare A», «A, men ikke B»	$A$ minus snittet
«nøyaktig én av dem»	$A \cup B$ minus snittet

Tegn gjerne venndiagrammet og fyll inn feltet i midten først. Da faller de andre feltene ut ved subtraksjon.

✏️Eksempel 3

En kommune spør 200 innbyggere om de har brukt biblioteket eller svømmehallen det siste året. 86 har brukt biblioteket, 74 har brukt svømmehallen, og 118 har brukt minst én av dem.

En innbygger trekkes tilfeldig. Bestem sannsynligheten for at hun

a) har brukt begge tilbudene
b) bare har brukt biblioteket
c) verken har brukt biblioteket eller svømmehallen

Løsning:

Hva vet vi? $\displaystyle P(B) = \frac{86}{200}$ , $\displaystyle P(S) = \frac{74}{200}$ og $\displaystyle P(B \cup S) = \frac{118}{200}$ .

Hva må vi finne? Først snittet — det er feltet i midten, og de andre feltene følger av det.

a) Vi bruker addisjonssetningen, men nå er det snittet som er ukjent. Vi skriver formelen tom først:

$P(B \cup S) = P(B) + P(S) - P(B \cap S)$

$\frac{118}{200} = \frac{86}{200} + \frac{74}{200} - P(B \cap S)$

$\frac{118}{200} = \frac{160}{200} - P(B \cap S)$

Vi legger til $P(B \cap S)$ og trekker fra $\displaystyle \frac{118}{200}$ på begge sider:

$P(B \cap S) = \frac{160}{200} - \frac{118}{200} = \frac{42}{200} = \frac{21}{100} = 0{,}21$

Altså har 42 av de 200 brukt begge tilbudene.

b) «Bare biblioteket» er de som er i $B$ , men ikke i snittet:

$P(\text{bare bibliotek}) = P(B) - P(B \cap S) = \frac{86}{200} - \frac{42}{200} = \frac{44}{200} = \frac{11}{50} = 0{,}22$

c) «Verken–eller» er komplementet til unionen:

$P((B \cup S)') = 1 - P(B \cup S) = \frac{200}{200} - \frac{118}{200} = \frac{82}{200} = \frac{41}{100} = 0{,}41$

Kontroll: de fire feltene skal summere til 200: $44 + 42 + 32 + 82 = 200$ . Det stemmer.

Venndiagram med rektangelet U lik 200 og to overlappende sirkler B for bibliotek og S for svømmehall. Det er 44 i bare bibliotek, 42 i snittet, 32 i bare svømmehall og 82 utenfor begge sirklene.

Kontrollen i eksempelet leses rett av figuren: 44 + 42 + 32 + 82 = 200. Midtfeltet 42 er det eksempelet regner seg baklengs til.

Svar: a) $0{,}21$ , b) $0{,}22$ , c) $0{,}41$ .

📝Oppgave 3

Gjør det samme som i eksempel 3. En bedrift har 150 ansatte. 90 har fagbrev, 60 har fagskole eller høyere utdanning, og 18 har begge deler. Én ansatt trekkes tilfeldig. Svar med to desimaler.

Bestem sannsynligheten for at den ansatte har minst én av de to utdanningene.

Bestem sannsynligheten for at den ansatte har verken fagbrev eller fagskole/høyere utdanning.

Bestem sannsynligheten for at den ansatte bare har fagbrev.

Bestem sannsynligheten for at den ansatte har nøyaktig én av de to utdanningene.

Hvor mange ansatte har verken av delene?

Løs oppgaven

Tre hendelser

Med tre hendelser gjentar det samme mønsteret seg, bare med flere ledd. Først legger vi sammen de tre, så trekker vi fra de tre parvise snittene — men da har vi trukket fra det felles midtfeltet én gang for mye, så det må legges til igjen:

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

Denne formelen skal du kjenne igjen, men du trenger sjelden å pugge den: tegner du venndiagrammet med tre sirkler og fyller inn fra midten og utover, kommer du fram uten den.

✏️Eksempel 4

En russebuss selger 500 billetter. Blant kjøperne har 300 vippset, 260 har brukt kort og 120 har brukt begge betalingsmåter. Ingen har brukt andre måter.

Undersøk om opplysningene henger sammen, og forklar hva tallene betyr for hvor mange som har betalt med bare én metode.

Løsning:

Hva vet vi? $|V| = 300$ , $|K| = 260$ , $|V \cap K| = 120$ , og $|V \cup K| = 500$ siden ingen har brukt andre måter.

Hva må vi sjekke? Om addisjonssetningen gir 500 når vi setter inn:

$|V \cup K| = |V| + |K| - |V \cap K| = 300 + 260 - 120 = 440$

Her ser vi at noe skurrer: setningen gir 440, ikke 500. Da kan ikke alle opplysningene være riktige samtidig — 60 av kjøperne ville ha betalt på en måte som ikke er nevnt.

Enten har flere brukt begge metodene enn oppgitt, eller så finnes det en tredje betalingsmåte (kontant, eller en venn som betalte). Det er verdt å merke seg at addisjonssetningen kan brukes som en kontroll: stemmer ikke tallene, er datagrunnlaget ufullstendig.

Hadde tallene i stedet vært $|V \cap K| = 60$ , ville vi fått

$300 + 260 - 60 = 500$

og da ville regnskapet gått opp. Antallet som bare vippset, ville vært $300 - 60 = 240$ , og antallet som bare brukte kort, $260 - 60 = 200$ .

Kontroll: $240 + 60 + 200 = 500$ .

Svar: Opplysningene henger ikke sammen — addisjonssetningen gir 440 og ikke 500, så 60 kjøpere er uforklarte. Med $|V \cap K| = 60$ ville regnskapet gått opp, og 240 ville bare ha vippset, 200 bare brukt kort.

📝Oppgave 4

Bruk addisjonssetningen som kontroll. Avgjør om opplysningene kan stemme, og regn ut det som spørres om.

I en gruppe på 100 sier 70 at de leser nyheter på nett og 50 at de hører på podkast. 30 gjør begge deler. Hvor mange gjør minst én av delene?

Hvor mange i a) gjør ingen av delene?

I en annen gruppe på 100 sier 80 at de leser nyheter på nett og 60 at de hører på podkast, og 20 gjør begge deler. Hvor mange ville gjort minst én av delene?

Hva er det minste antallet i c) som må ha gjort begge deler, for at tallene skal kunne stemme?

P(A) = 0{,}6

P(B) = 0{,}7

. Hva er den minste mulige verdien av

P(A \cap B)

Løs oppgaven

Oppsummering

- Addisjonssetningen: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . Vi trekker fra snittet fordi det ellers telles to ganger.
- Er $A$ og $B$ disjunkte, faller siste ledd bort: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Sjekk alltid at de virkelig utelukker hverandre.
- «Eller» i matematikken er inklusivt — det betyr «eller begge».
- «Verken–eller» er komplementet til unionen: $P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ .
- Formelen kan løses for hvilket som helst av leddene. Kjenner du tre av dem, finner du det fjerde.
- Tegn venndiagram og fyll inn midtfeltet først. Kontroller til slutt at alle feltene summerer til grunnmengden.

📝Oppgave 5

Samleoppgave (Del 1 — uten hjelpemidler). En videregående skole har 600 elever. 420 har busskort, 150 sykler til skolen om sommeren, og 90 gjør begge deler. Én elev trekkes tilfeldig. La

B

= «har busskort» og

S

= «sykler om sommeren». Oppgi svarene som forkortet brøk.

Bestem $P(B \cap S)$ .

Bestem $P(B \cup S)$ .

Bestem sannsynligheten for at eleven verken har busskort eller sykler.

Bestem sannsynligheten for at eleven har busskort, men ikke sykler.

Hvor mange elever har verken busskort eller sykler?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgave (Del 2 — programmering). Vi kaster to terninger. La

A

= «minst én sekser» og

B

= «summen er minst 10».

S = [(i, j) for i in range(1, 7) for j in range(1, 7)]
A = [u for u in S if 6 in u]
B = [u for u in S if u[0] + u[1] >= 10]
snitt = [u for u in A if u in B]
print(len(A), len(B), len(snitt))

Hvor mange utfall er med i $A$ ?

Hvor mange utfall er med i $B$ ?

Hvor mange utfall er med i $A \cap B$ ?

Bruk addisjonssetningen til å finne antall utfall i $A \cup B$ .

Skriv ut $P(A \cup B)$ som forkortet brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgave. En lokalavis skriver: «45 % av innbyggerne er misfornøyd med kollektivtilbudet og 38 % er misfornøyd med skoletilbudet. Til sammen er altså 83 % misfornøyd med kommunen.»

Hvilken feil gjør avisen?

Skriv opp den riktige formelen, og forklar hvilket tall avisen mangler.

Hvilke verdier kan det riktige svaret ligge mellom?

I hvilket tilfelle ville avisens tall vært riktig?

Foreslå en setning avisen kunne skrevet i stedet.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.