4.3 Sannsynlighetsmodeller | Statistikk

Uniforme og ikke-uniforme modeller, diskrete og kontinuerlige modeller, og hvordan vi lager en modell.

45 min

7 oppgaver

SannsynlighetsmodellUniform modell

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Modellen er noe vi lager

I kapittel 4.1 skrev vi «terningen er rettferdig». Det var en antakelse. En ekte terning er aldri helt symmetrisk, og et ekte pengestykke lander litt oftere på den ene siden. Når vi likevel regner med $\displaystyle \frac{1}{6}$ og $\displaystyle \frac{1}{2}$ , er det fordi vi har valgt en modell — en forenklet beskrivelse som er god nok til formålet.

Dette er ikke juks. Det er slik all anvendt matematikk virker: vi bytter virkeligheten mot noe vi kan regne på, og så vurderer vi etterpå om byttet var forsvarlig. Derfor hører to spørsmål sammen i statistikk:

1. Hva sier modellen?
2. Er modellen rimelig her?

Kapittelet handler om begge.

Sannsynlighetsmodell

S

I en diskret modell følger det av kravene at sannsynlighetene til alle utfallene til sammen må bli nøyaktig 1:

$P(u_1) + P(u_2) + \ldots + P(u_n) = 1$

Summerer de til $0{,}98$ eller $1{,}05$ , er noe galt — enten i modellen eller i regningen. Gjør denne kontrollen hver gang du setter opp en fordeling.

Uniform modell

S

✏️Eksempel 1

Vi kaster to terninger og ser på summen av øynene.

a) Forklar hvorfor vi bruker et utfallsrom med 36 utfall og ikke ett med 11.
b) Bestem sannsynligheten for at summen blir minst 8.
c) Bestem sannsynligheten for at summen blir 7.

Løsning:

a) Summen kan bli $2, 3, \ldots, 12$ — altså 11 forskjellige verdier. Men disse 11 verdiene er ikke like sannsynlige: summen 2 kan bare skje på én måte $(1,1)$ , mens summen 7 kan skje på seks måter.

Derfor bruker vi i stedet tallparet som utfall:

$S = \{(1,1),\ (1,2),\ \ldots,\ (6,6)\} \qquad |S| = 6 \cdot 6 = 36$

Disse 36 utfallene er like sannsynlige, og da har vi en uniform modell der $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|S|}$ gjelder.

b) Vi teller de gunstige utfallene i rutenettet over — cellene der summen er 8 eller mer. Vi teller rad for rad:

rad 2: 1 celle $\quad$ rad 3: 2 celler $\quad$ rad 4: 3 celler $\quad$ rad 5: 4 celler $\quad$ rad 6: 5 celler

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

Grunnmengden er de 36 utfallene:

$P(\text{minst 8}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$

c) Summen 7 får vi av parene $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2)$ og $(6,1)$ — altså 6 utfall.

$P(\text{sum 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Svar: a) Fordi de 11 summene ikke er like sannsynlige, mens de 36 tallparene er det. b) $\displaystyle \frac{5}{12} \approx 0{,}417$ , altså i overkant av 41 %. c) $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ .

📝Oppgave 1

Gjør det samme som i eksempel 1. Vi kaster to terninger. Bruk den uniforme modellen med 36 utfall, og oppgi svarene som forkortet brøk.

Bestem sannsynligheten for at summen blir 12.

Bestem sannsynligheten for at summen blir 5.

Bestem sannsynligheten for at begge terningene viser det samme.

Bestem sannsynligheten for at summen blir høyst 4.

Bestem sannsynligheten for at minst én av terningene viser sekser.

Løs oppgaven

Når utfallene ikke er like sannsynlige

De fleste virkelige forsøk er ikke uniforme. En værmelding, en fotballkamp, et lykkehjul med ulike sektorer — her må hvert utfall få sin egen sannsynlighet. Modellen settes da opp som en fordelingstabell:

Utfall	$u_1$	$u_2$	$\ldots$	$u_n$
Sannsynlighet	$p_1$	$p_2$	$\ldots$	$p_n$

Det eneste kravet er at hver

p

ligger mellom 0 og 1, og at de til sammen blir 1. Sannsynligheten for en hendelse er summen av sannsynlighetene til utfallene i hendelsen.

✏️Eksempel 2

Et lykkehjul på et lokalt loppemarked er delt i fire felt med ulik størrelse. Fordelingen er slik:

Felt	Rød	Blå	Grønn	Gul
Sannsynlighet	0,40	0,25	0,20	$p$

a) Bestem

p

.
b) Bestem sannsynligheten for at hjulet ikke stopper på rødt.

c) Bestem sannsynligheten for at hjulet stopper på blått eller gult.
d) Kan vi regne $\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{1}{4}$ fordi det er fire felt?

Løsning:

a) Hjulet stopper alltid på ett av de fire feltene, så sannsynlighetene må summere til 1. Vi setter opp likningen med formelen tom først:

$P(\text{rød}) + P(\text{blå}) + P(\text{grønn}) + P(\text{gul}) = 1$

$0{,}40 + 0{,}25 + 0{,}20 + p = 1$

Vi regner ut summen av de tre kjente:

$0{,}85 + p = 1$

Vi trekker fra $0{,}85$ på begge sider:

$p = 1 - 0{,}85 = 0{,}15$

b) Her bruker vi komplementsetningen fra kapittel 4.2:

$P(\text{ikke rød}) = 1 - P(\text{rød}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60$

(Vi kunne lagt sammen $0{,}25 + 0{,}20 + 0{,}15 = 0{,}60$ i stedet. Samme svar, flere skritt.)

c) Blå og gul kan ikke skje samtidig — de er disjunkte. Da kan vi legge sammen:

$P(\text{blå} \cup \text{gul}) = P(\text{blå}) + P(\text{gul}) = 0{,}25 + 0{,}15 = 0{,}40$

d) Nei. $\displaystyle \frac{1}{4}$ ville krevd at modellen er uniform, altså at de fire feltene er like store. Her er de ikke det — tabellen sier uttrykkelig at rødt felt er større enn de andre. Formelen «gunstige delt på mulige» gjelder ikke her.

Sentralvinkelen er andelen ganger 360 grader. Hjulet i eksempel 2 har fire ulike felt, så $P(\text{blå}) = 0{,}25$ kommer av feltets størrelse — ikke av at det er fire felt. Hjulet til høyre viser hva en uniform modell ville betydd.

Svar: a) $p = 0{,}15$ . b) $0{,}60$ . c) $0{,}40$ . d) Nei — modellen er ikke uniform.

«Det er to muligheter, så det er 50 %»

Dette er trolig den vanligste feilen i sannsynlighetsregning. At noe kan gå to veier, sier ingenting om hvor ofte hver vei velges. Sannsynligheten for at det snør i Kristiansand i morgen er ikke $\displaystyle \frac{1}{2}$ fordi det enten snør eller ikke snør.

Spør alltid: er det noen grunn til at utfallene skulle være like sannsynlige? Symmetri i en terning er en slik grunn. «Jeg kommer ikke på flere muligheter» er det ikke.

📝Oppgave 2

En kiosk registrerer hvor mange varer hver kunde kjøper. Modellen er

Antall varer	1	2	3	4
Sannsynlighet	0,45	0,30	$q$	0,07

Bestem $q$ .

Bestem sannsynligheten for at en kunde kjøper minst 3 varer.

Bestem sannsynligheten for at en kunde kjøper høyst 2 varer.

Er modellen uniform? Svar ja eller nei.

Av 400 kunder, hvor mange venter vi kjøper nøyaktig 2 varer?

Løs oppgaven

Når utfallene ikke kan telles

Ventetiden på en buss er ikke $1$ eller $2$ minutter — den kan være $2{,}41$ minutter, eller $2{,}4137$ . Utfallene fyller et helt intervall, og da kan de ikke listes opp. Modellen kalles kontinuerlig.

Her virker ikke «gunstige delt på mulige», for det finnes uendelig mange utfall. I stedet tegner vi en kurve $f$ over intervallet, og lar arealet under kurven være sannsynligheten.

Kontinuerlig modell og tetthetsfunksjon

f

✏️Eksempel 3

En bybuss går hvert tiende minutt. Du kommer til holdeplassen på et tilfeldig tidspunkt, uten å se på rutetabellen. La $X$ være ventetiden i minutter.

a) Forklar hvorfor $f(x) = 0{,}10$ for $0 \le x \le 10$ er en rimelig tetthetsfunksjon, og vis at hele arealet er 1.
b) Bestem sannsynligheten for at du venter mindre enn 3 minutter.
c) Bestem sannsynligheten for at du venter mellom 4 og 9 minutter.
d) Bestem sannsynligheten for at du venter nøyaktig 5 minutter.

Løsning:

a) Du kommer på et tilfeldig tidspunkt, og bussen er like «nær» uansett hvor i timinuttersperioden du treffer. Ingen del av intervallet er mer sannsynlig enn en annen like lang del — derfor er tettheten konstant.

Høyden må velges slik at hele arealet blir 1. Området er et rektangel med bredde 10:

$\text{areal} = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 10 \cdot 0{,}10 = 1$

b) Vi spør om $P(X < 3)$ , altså arealet fra 0 til 3. Det er rektangelet som er gult i figuren over.

$P(X < 3) = \text{bredde} \cdot \text{høyde} = 3 \cdot 0{,}10 = 0{,}30$

c) Nå er bredden $9 - 4 = 5$ :

$P(4 \le X \le 9) = 5 \cdot 0{,}10 = 0{,}50$

d) Et enkelt punkt har ingen bredde. Rektangelet blir da uendelig smalt:

$P(X = 5) = 0 \cdot 0{,}10 = 0$

Dette virker rart første gang: sannsynligheten er $0$ , men det kan skje at ventetiden blir nøyaktig 5,000… minutter. I en kontinuerlig modell betyr altså ikke sannsynlighet 0 at noe er umulig — det betyr at akkurat den verdien har null bredde blant uendelig mange muligheter. Det er derfor vi alltid spør om et intervall i kontinuerlige modeller.

Svar: a) Tettheten er konstant fordi ingen del av perioden er mer sannsynlig; arealet er $10 \cdot 0{,}10 = 1$ . b) $0{,}30$ . c) $0{,}50$ . d) $0$ .

📝Oppgave 3

Gjør det samme som i eksempel 3. En ferge går hvert 20. minutt. Du kommer til fergeleiet på et tilfeldig tidspunkt. La $X$ være ventetiden i minutter, med konstant tetthet på intervallet fra 0 til 20.

Hvilken verdi må tettheten $f(x)$ ha for at hele arealet skal bli 1?

Bestem $P(X < 5)$ .

Bestem $P(X > 15)$ .

Bestem $P(8 \le X \le 12)$ .

Bestem $P(X = 10)$ .

Løs oppgaven

Hvor sannsynlighetene kommer fra

Når du skal lage en modell, henter du tallene fra én av tre kilder:

1. Symmetri (teoretisk). Terningen har seks like sider, kortstokken 52 like kort. Symmetrien gir en uniform modell uten at vi trenger data.

2. Data (empirisk). Vi har ingen symmetri å støtte oss på, men vi har observasjoner. Da bruker vi de relative frekvensene som sannsynligheter — for eksempel andelen av kundene som betalte kontant i fjor. Store talls lov er begrunnelsen: med nok observasjoner ligger den relative frekvensen nær sannsynligheten.

3. Vurdering (subjektiv). For engangshendelser finnes verken symmetri eller gjentatte forsøk. «Sannsynligheten for at prosjektet blir ferdig i tide er 70 %» er et fagfolks anslag. Det kan være godt begrunnet, men det er en vurdering, og bør merkes som det.

Uansett kilde gjelder det samme til slutt: modellen må vurderes mot virkeligheten. Passer den ikke, er det modellen som skal endres — ikke dataene.

✏️Eksempel 4

Vurder om en uniform modell er rimelig i hvert tilfelle. Begrunn.

a) En rettferdig terning kastes. $S$ er de seks sidene.
b) Vi trekker en tilfeldig dag i et år og spør hvilken ukedag det er. $S$ er de sju ukedagene.
c) Vi spør en tilfeldig person i Norge om hvilken landsdel hun bor i. $S$ er de fem landsdelene.
d) En stiftemaskin kastes i været. $S$ er $\{\text{lander på siden},\ \text{lander på enden}\}$ .

Løsning:

Vi stiller det samme spørsmålet hver gang: finnes det en symmetri eller en annen grunn til at utfallene skulle være like sannsynlige?

a) Ja. Terningen er symmetrisk — alle sider er like store og like tunge. Uniform modell er rimelig, og hvert utfall får $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

b) Nesten. Et år har 365 dager, og $365 = 52 \cdot 7 + 1$ . Én ukedag forekommer altså 53 ganger og de øvrige 52 ganger. Avviket er lite ( $\displaystyle \frac{53}{365} \approx 0{,}145$ mot $\displaystyle \frac{52}{365} \approx 0{,}142$ ), så den uniforme modellen er en god tilnærming — men den er ikke helt eksakt. Her er det riktig å si begge deler.

c) Nei. Landsdelene har svært ulikt folketall; Østlandet har langt flere innbyggere enn Nord-Norge. Her må vi bruke en empirisk modell med folketallene fra SSB som grunnlag, ikke $\displaystyle \frac{1}{5}$ på hver.

d) Nei. En stiftemaskin er ikke symmetrisk, og vi har ingen grunn til å tro at de to måtene å lande på er like sannsynlige. Her finnes bare én farbar vei: kast den mange ganger og bruk de relative frekvensene — altså en empirisk modell.

Svar: a) ja (symmetri), b) god tilnærming, men ikke eksakt, c) nei — bruk folketall, d) nei — bruk et forsøk.

📝Oppgave 4

Avgjør om en uniform modell er rimelig, og si hvilken av de tre kildene (symmetri, data, vurdering) du ville bygd modellen på.

Vi trekker ett lodd fra en bøtte med 500 like lodd, nummerert fra 1 til 500.

Vi spør om en tilfeldig nybil registrert i Norge i fjor var elbil eller ikke.

Vi spør om en tilfeldig elev i en klasse er født i januar.

Vi spør om et nytt medisinsk hjelpemiddel blir godkjent i løpet av to år.

Vi trekker ett kort fra en godt stokket kortstokk og spør om det er ruter.

Oppsummering

- En sannsynlighetsmodell er et utfallsrom pluss en regel som gir hver hendelse en sannsynlighet. Kravene er $0 \le P(A) \le 1$ , $P(S) = 1$ og addisjon for disjunkte hendelser.
- I en uniform modell er alle utfall like sannsynlige, og $\displaystyle P(A) = \frac{|A|}{|S|}$ . Formelen gjelder bare da.
- I en ikke-uniform diskret modell settes fordelingen opp i en tabell. Kontroller alltid at sannsynlighetene summerer til 1.
- I en kontinuerlig modell er sannsynligheten arealet under tetthetsfunksjonen. Hele arealet er 1, og $P(X = a) = 0$ for ethvert enkelt punkt.
- Sannsynlighetene kommer fra symmetri, data eller vurdering — og modellen skal alltid vurderes mot virkeligheten.
- Velg utfallsrom slik at utfallene blir like sannsynlige når du kan: 36 tallpar er lettere å regne med enn 11 summer.

📝Oppgave 5

Samleoppgave (Del 1 — uten hjelpemidler). En kommune deler ut kulturmidler etter loddtrekning blant søknadene. Det kom inn 80 søknader: 24 fra idrettslag, 20 fra kor og korps, 16 fra teatergrupper og resten fra andre. Én søknad trekkes.

Hvor mange søknader kom fra «andre»?

Sett opp sannsynlighetsmodellen som en fordeling, og vis at sannsynlighetene summerer til 1. Hva er $P(\text{idrettslag})$ ? Oppgi forkortet brøk.

Er modellen uniform over de fire gruppene? Er den uniform over de 80 søknadene?

Bestem sannsynligheten for at søknaden kommer fra kor og korps eller fra en teatergruppe. Oppgi forkortet brøk.

Kommunen trekker fire søknader, én for hver av fire potter, og legger søknaden tilbake mellom hver trekning. Bestem sannsynligheten for at ingen av de fire trekningene gir et idrettslag. Skriv svaret som en potens av en forkortet brøk.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgave (Del 2 — regneark). En skole registrerte hvor mange elever som kom for sent hver av 200 skoledager:

Antall for sent	0	1	2	3	4 eller flere
Antall dager	62	71	43	18	6

Legg tallene i et regneark og lag en empirisk sannsynlighetsmodell. Antall dager står i B2:B6 og totalen i $B$7, og sannsynlighetene skal stå i C2:C6. Skriv formelen du bruker i den første cellen, C2.

Hva blir sannsynligheten for at ingen kommer for sent en tilfeldig dag? Svar med tre desimaler.

Hva blir sannsynligheten for at minst to kommer for sent? Svar med tre desimaler.

Skriv en formel som kontrollerer at modellen er gyldig, og oppgi hvilket tall den skal gi.

Skolen vil bruke modellen på neste skoleår. Nevn to forhold som kan gjøre den mindre gyldig da.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgave. I en debatt om samferdsel sier en deltaker: «Det er like sannsynlig at pengene går til vei som til bane — det er jo to muligheter.»

Hvilken forutsetning bryter deltakeren?

Hvilken av de tre kildene til sannsynlighet (symmetri, data, vurdering) er den eneste farbare her? Begrunn.

En annen deltaker svarer: «Historisk har 68 % av midlene gått til vei, så sannsynligheten er 0,68.» Vurder dette svaret.

Forklar forskjellen på «vi vet ikke hva som skjer» og «de to utfallene er like sannsynlige».

Foreslå hvordan en journalist kunne framstilt uvissheten redelig.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.