4.2 Utfall, utfallsrom og hendelser | Statistikk

Utfall, utfallsrom, snitt, union og komplement — med mengdenotasjon og venndiagram.

45 min

7 oppgaver

UtfallsromSnittUnionKomplement

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Å skrive ned hva som kan skje

I kapittel 4.1 regnet vi gunstige delt på mulige. For å telle de gunstige og de mulige må vi først ha skrevet dem ned. Det er det dette kapittelet handler om: et fast språk for hva som kan skje og hva vi spør om.

Språket er hentet fra mengdelæren, og det består av tre operasjoner: snitt, union og komplement. Når du behersker dem, kan de fleste sannsynlighetsoppgaver oversettes til regning nesten mekanisk.

Utfall og utfallsrom

S

Skriver vi $|S| = 6$ , betyr det at utfallsrommet har 6 elementer. Loddrette streker rundt en mengde betyr altså antall elementer, ikke tallverdi. Det er dette tallet som havner under brøkstreken når alle utfall er like sannsynlige.

✏️Eksempel 1

Skriv opp utfallsrommet $S$ og antall utfall $|S|$ for forsøkene.

a) Vi kaster ett pengestykke.
b) Vi kaster to pengestykker og noterer resultatet på hvert av dem.
c) Vi svarer tilfeldig på tre sant/usant-spørsmål og teller antall riktige.

Løsning:

a) Ett pengestykke gir kron (K) eller mynt (M).

$S = \{\text{K},\ \text{M}\} \qquad |S| = 2$

b) Her må vi holde styr på hvilket pengestykke som viste hva. Vi skriver første bokstav for pengestykke 1 og andre bokstav for pengestykke 2, og går systematisk gjennom alle kombinasjoner:

Pengestykke 1 er K: $\quad$ KK, KM

Pengestykke 1 er M: $\quad$ MK, MM

$S = \{\text{KK},\ \text{KM},\ \text{MK},\ \text{MM}\} \qquad |S| = 4$

Her ser vi at KM og MK er to forskjellige utfall, selv om begge gir «én kron og én mynt». Det er viktig: teller vi dem som ett utfall, får vi feil sannsynligheter senere.

c) Nå er det ikke hvilke spørsmål vi svarte riktig på som er utfallet, men hvor mange. Antall riktige kan være 0, 1, 2 eller 3.

$S = \{0,\ 1,\ 2,\ 3\} \qquad |S| = 4$

NB: Disse fire utfallene er ikke like sannsynlige — det er mange flere måter å få 1 riktig på enn 0 riktige. Utfallsrommet sier bare hva som kan skje, ikke hvor ofte.

Svar: a) $S = \{\text{K}, \text{M}\}$ , $|S| = 2$ . b) $S = \{\text{KK}, \text{KM}, \text{MK}, \text{MM}\}$ , $|S| = 4$ . c) $S = \{0, 1, 2, 3\}$ , $|S| = 4$ .

📝Oppgave 1

Gjør det samme som i eksempel 1. Skriv opp utfallsrommet og oppgi antall utfall $|S|$ .

Vi trekker én kule fra en pose med én rød, én blå og én gul kule. Hvor mange utfall er det?

Vi kaster en terning og noterer om tallet er et partall eller et oddetall. Hvor mange utfall er det?

Vi kaster to terninger og noterer tallparet, for eksempel $(3, 5)$ . Hvor mange utfall er det?

Vi kaster tre pengestykker og noterer resultatet på hvert av dem. Hvor mange utfall er det?

Vi kaster tre pengestykker og teller antall kron. Hvor mange utfall er det?

Løs oppgaven

Hendelse

A

Snitt, union og komplement

A

✏️Eksempel 2

Vi kaster én terning, slik at $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . La

$A$ = «terningen viser partall» og $B$ = «terningen viser minst 4».

a) Skriv $A$ og $B$ som mengder.
b) Bestem $A \cap B$ , $A \cup B$ og $A'$ .
c) Bestem $P(A \cap B)$ og $P(A \cup B)$ .

Løsning:

a) Vi går gjennom utfallsrommet ett tall om gangen og spør om tallet hører hjemme i hendelsen.

Partall blant 1–6 er 2, 4 og 6:

$A = \{2,\ 4,\ 6\}$

«Minst 4» betyr 4 eller mer, altså 4, 5 og 6:

$B = \{4,\ 5,\ 6\}$

b) Snitt — tallene som er i begge listene. Vi ser på $A = \{2, 4, 6\}$ og $B = \{4, 5, 6\}$ : tallet 4 er i begge, 6 er i begge, 2 er bare i $A$ , 5 er bare i $B$ .

$A \cap B = \{4,\ 6\}$

Union — alle tallene som er i minst én av listene, hvert tall skrevet én gang:

$A \cup B = \{2,\ 4,\ 5,\ 6\}$

Komplement — tallene i $S$ som ikke er i $A$ :

$A' = \{1,\ 3,\ 5\}$

c) Alle seks utfall er like sannsynlige, så grunnmengden er $|S| = 6$ . Det tallet står under brøkstreken begge ganger; det eneste som endrer seg, er hvor mange utfall som er gunstige.

$A \cap B$ har 2 utfall:

$P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$

$A \cup B$ har 4 utfall:

$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667$

Svar: a) $A = \{2, 4, 6\}$ , $B = \{4, 5, 6\}$ . b) $A \cap B = \{4, 6\}$ , $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ , $A' = \{1, 3, 5\}$ . c) $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{1}{3}$ og $\displaystyle P(A \cup B) = \frac{2}{3}$ .

📝Oppgave 2

Gjør det samme som i eksempel 2. Vi trekker ett kort fra en kortstokk med 52 kort. La $A$ = «kortet er hjerter» og $B$ = «kortet er et bildekort (knekt, dame eller konge)».

Hvor mange kort er med i $A$ ?

Hvor mange kort er med i $B$ ?

Hvor mange kort er med i $A \cap B$ ?

Hvor mange kort er med i $A \cup B$ ?

Hvor mange kort er med i $A'$ ?

Løs oppgaven

Komplementet er en snarvei

Hver eneste gang inntreffer enten $A$ eller $A'$ — aldri begge, og aldri ingen av dem. Til sammen dekker de hele utfallsrommet. Derfor må sannsynlighetene deres summere til 1.

📜Komplementsetningen

For enhver hendelse

A

gjelder

$P(A) + P(A') = 1 \qquad \text{og dermed} \qquad P(A') = 1 - P(A)$

«Minst én» er en lang liste å telle opp: én, to, tre … Men det motsatte av «minst én» er «ingen» — og det er som regel ett enkelt tilfelle.

$P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$

Dette er den mest brukte snarveien i hele sannsynlighetsregningen.

✏️Eksempel 3

Vi kaster tre pengestykker.

a) Skriv opp utfallsrommet.
b) Bestem sannsynligheten for at alle tre viser mynt.
c) Bestem sannsynligheten for at minst ett av dem viser kron.

Løsning:

a) Vi går systematisk fram: først alle utfallene der pengestykke 1 viser K, deretter alle der det viser M.

$S = \{\text{KKK},\ \text{KKM},\ \text{KMK},\ \text{KMM},\ \text{MKK},\ \text{MKM},\ \text{MMK},\ \text{MMM}\}$

Det er $|S| = 8$ utfall, og de er like sannsynlige.

b) Bare ett av de åtte utfallene er MMM.

$P(\text{alle mynt}) = \frac{1}{8} = 0{,}125$

c) Her kunne vi telt: KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK — sju utfall. Men det er raskere å bruke komplementet.

Hva er det motsatte av «minst én kron»? Det er «ingen kron», altså «alle mynt» — som vi nettopp regnet ut i b).

Vi bruker komplementsetningen med formelen tom først:

$P(A') = 1 - P(A)$

$P(\text{minst én kron}) = 1 - P(\text{ingen kron}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

(Legg merke til at vi bytter $1$ med $\displaystyle \frac{8}{8}$ som eget steg. Da ser vi hva som skjer under brøkstreken.)

$\frac{7}{8} = 0{,}875$

Et sannsynlighetstre med tre nivåer for tre kast med et pengestykke. Hver gren er merket 1/2, og treet har åtte endepunkter: KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK og MMM, alle med veiproduktet 1/8. Veien MMM, altså ingen kron, er uthevet i rødt. Nederst står: minst én kron er lik 1 minus P av MMM, altså 1 minus 1/8 er lik 7/8.

Åtte like sannsynlige veier. Bare én av dem gir ingen kron, og derfor er komplementsnarveien $\displaystyle 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ mye raskere enn å legge sammen de sju andre.

Svar: a) 8 utfall. b) $\displaystyle \frac{1}{8} = 0{,}125$ . c) $\displaystyle \frac{7}{8} = 0{,}875$ , altså i underkant av 88 %.

📝Oppgave 3

Bruk komplementsetningen. Oppgi svarene som forkortet brøk.

\displaystyle P(A) = \frac{1}{5}

. Bestem

P(A')

P(B') = 0{,}35

. Bestem

P(B)

som desimaltall.

Vi kaster én terning. Bestem $P(\text{ikke sekser})$ .

Vi kaster to terninger. Sannsynligheten for to seksere er $\displaystyle \frac{1}{36}$ . Bestem sannsynligheten for at vi ikke får to seksere.

Vi kaster fire pengestykker. Bestem sannsynligheten for at minst ett viser kron.

Løs oppgaven

Disjunkte hendelser

Noen hendelser kan rett og slett ikke skje samtidig. Et kort kan ikke være både hjerter og spar; en terning kan ikke vise både 2 og 5 i samme kast. Da er snittet tomt:

$A \cap B = \emptyset$

og vi kaller hendelsene disjunkte (uforenlige). I et venndiagram tegner vi da to sirkler som ikke rører hverandre.

NB: Disjunkt er ikke det samme som uavhengig. Disjunkt betyr at den ene utelukker den andre — og det er nesten det motsatte av uavhengighet. Vi kommer tilbake til uavhengighet i kapittel 4.5.

✏️Eksempel 4

Vi trekker ett kort fra en kortstokk med 52 kort. Avgjør om hendelsene er disjunkte, og begrunn.

a) $A$ = «kortet er hjerter», $B$ = «kortet er spar»
b) $C$ = «kortet er hjerter», $D$ = «kortet er et ess»
c) $E$ = «kortet er rødt», $F$ = «kortet er svart»

Løsning:

Framgangsmåten er alltid den samme: vi leter etter ett utfall som ligger i begge hendelsene. Finner vi ett, er de ikke disjunkte.

a) Et kort har bare én farge. Ingen kort er både hjerter og spar, så

$A \cap B = \emptyset$

Hendelsene er disjunkte.

b) Hjerter ess ligger i begge:

$C \cap D = \{\text{hjerter ess}\}$

Snittet har ett element, så hendelsene er ikke disjunkte.

c) Et kort er enten rødt eller svart, aldri begge. $E \cap F = \emptyset$ , så de er disjunkte.

Her ser vi noe mer: $E$ og $F$ dekker også hele utfallsrommet til sammen. Da er de ikke bare disjunkte — de er hverandres komplement, $F = E'$ .

Svar: a) disjunkte, b) ikke disjunkte, c) disjunkte (og i tillegg hverandres komplement).

📝Oppgave 4

Vi kaster én terning, $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . La $A = \{1, 2, 3\}$ , $B = \{3, 4\}$ og $C = \{5, 6\}$ . Oppgi antall elementer i hver mengde du finner.

Hvor mange elementer er det i $A \cap B$ ?

Hvor mange elementer er det i $A \cup B$ ?

Hvor mange elementer er det i $A'$ ?

Hvor mange elementer er det i $A \cap C$ ?

Hvor mange elementer er det i $(A \cup B)'$ ?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Utfallsrommet $S$ er alle mulige utfall. $|S|$ er antall utfall.
- En hendelse er en delmengde av $S$ . Den inntreffer når forsøket gir et utfall i mengden.
- $A \cap B$ (snitt) = i $A$ og i $B$ . $A \cup B$ (union) = i $A$ eller i $B$ . $A'$ (komplement) = ikke i $A$ .
- Komplementsetningen: $P(A') = 1 - P(A)$ . Ser du «minst én», regn på «ingen» og trekk fra 1.
- $A$ og $B$ er disjunkte når $A \cap B = \emptyset$ — de kan ikke skje samtidig.
- Når du skriver opp et utfallsrom: vær systematisk, og pass på om rekkefølgen skal telle med (KM og MK) eller ikke.

📝Oppgave 5

Samleoppgave (Del 1 — uten hjelpemidler). En idrettsklubb har 60 medlemmer. Alle spiller enten håndball, fotball eller begge deler. 38 spiller fotball, 31 spiller håndball. Ett medlem trekkes tilfeldig. La

F

= «spiller fotball» og

H

= «spiller håndball».

Siden alle spiller minst én av delene, er $|F \cup H| = 60$ . Hvor mange spiller begge deler, altså $|F \cap H|$ ?

Hvor mange spiller bare fotball?

Hvor mange spiller bare håndball?

Bestem $P(F \cap H)$ . Oppgi svaret som forkortet brøk.

Bestem $P(F')$ . Oppgi svaret som forkortet brøk, og forklar i klartekst hva hendelsen $F'$ er her.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Samleoppgave (Del 2 — programmering). Programmet under lister opp utfallsrommet for kast med to terninger og teller noen hendelser.

S = []
for i in range(1, 7):
    for j in range(1, 7):
        S.append((i, j))

A = [u for u in S if u[0] + u[1] == 7]
B = [u for u in S if u[0] == u[1]]

print(len(S), len(A), len(B))

Hvor mange elementer får listen S?

Hvilken hendelse er A? Hvor mange elementer har den?

Hvilken hendelse er B? Hvor mange elementer har den?

Hvor mange elementer har $A \cap B$ ? Hva sier det om hendelsene?

Skriv en linje som lager listen $A \cup B$ , og oppgi hvor mange elementer den får.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøftingsoppgave. To elever skal finne sannsynligheten for å få én kron og én mynt når de kaster to pengestykker. Ada setter opp utfallsrommet

\{\text{to kron},\ \text{én av hver},\ \text{to mynt}\}

og svarer

\displaystyle \frac{1}{3}

. Bendik setter opp

\{\text{KK}, \text{KM}, \text{MK}, \text{MM}\}

og svarer

\displaystyle \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Er begge utfallsrommene riktige beskrivelser av hva som kan skje?

Formelen «gunstige delt på mulige» krever en bestemt forutsetning. Hvilken, og hvem av de to bryter den?

Hvem har rett? Begrunn.

Foreslå et forsøk som ville avgjort saken i praksis, og hva forsøket ville vist.

Hva er den generelle lærdommen om hvordan man velger utfallsrom?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.