4.1 Uvisse, tilfeldighet og stokastiske forsøk

Vi sjekker de to kravene i definisjonen hver gang: vet vi hvilke resultater som er mulige? og vet vi hvilket som kommer?

a) Ja. Vi vet at resultatet blir ett av tallene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6, men ikke hvilket.

Utfallene er $1, 2, 3, 4, 5$ og $6$.

b) Ja. Vi vet at forsinkelsen er et tall fra 0 minutter og oppover, men ikke hvilket.

Her ser vi at utfallene ikke kan listes opp én for én — forsinkelsen kan være 2 minutter, men også 2,4 minutter. Slike forsøk kommer vi tilbake til i kapittel 4.3.

c) Nei. Vi vet at svaret er $84$, hver eneste gang. Ingenting er uvisst, og da er det ikke et stokastisk forsøk.

d) Ja. Vi vet at vi får ett av de 28 navnene, men ikke hvilket.

Utfallene er de 28 navnene.

Svar: a), b) og d) er stokastiske forsøk. c) er det ikke.

a) Vi bruker formelen for relativ frekvens. Under brøkstreken står alltid antall kast, altså alle forsøkene i den raden.

$$\text{relativ frekvens} = \frac{\text{antall kron}}{\text{antall kast}}$$

20 kast: $\quad \dfrac{13}{20} = 0{,}65$

200 kast: $\quad \dfrac{109}{200} = 0{,}545$

2000 kast: $\quad \dfrac{1013}{2000} = 0{,}5065$

20 000 kast: $\quad \dfrac{10\,036}{20\,000} = 0{,}5018$

b) Her ser vi at tallene beveger seg mot $0{,}5$ etter hvert som antall kast øker. Avviket fra $0{,}5$ krymper for hver rad:

$0{,}15 \rightarrow 0{,}045 \rightarrow 0{,}0065 \rightarrow 0{,}0018$

Det er nøyaktig det store talls lov lover. Målingene støtter altså at sannsynligheten for kron er $0{,}5$.

Svar: a) $0{,}65$, $0{,}545$, $0{,}5065$ og $0{,}5018$. b) Den relative frekvensen nærmer seg $0{,}5$, som er sannsynligheten for kron.

Først identifiserer vi grunnmengden. Terningen har seks sider, så det er $6$ mulige utfall, og de er like sannsynlige. Tallet $6$ står under brøkstreken i alle tre deloppgavene.

a) Gunstige utfall: bare $5$. Det er $1$ gunstig utfall.

$$P(\text{fem øyne}) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$$

b) Gunstige utfall: $2$, $4$ og $6$. Det er $3$ gunstige utfall.

$$P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$

(Vi forkorter først når brøken er ferdig — her $3/6$ til $1/2$.)

c) «Minst fem» betyr fem eller mer. Gunstige utfall: $5$ og $6$. Det er $2$ gunstige utfall.

$$P(\text{minst fem øyne}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333$$

De tre deloppgavene talt opp. Rad 1 er a) «terningen viser 5», rad 2 er b) «partall» og rad 3 er c) «minst 5». Formelen gunstige delt på mulige er nettopp å telle de fargede cellene i raden.

Svar: a) $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$, b) $\displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5$, c) $\displaystyle \frac{1}{3} \approx 0{,}333$

a) Tallet gjelder ikke én dag, men en type dag. Av alle dager der været ser ut slik det gjør nå, kommer det nedbør på omtrent 3 av 10 av dem.

Vi kan si det slik: hvis vi kunne kjøre morgendagen om igjen hundre ganger under de samme forholdene, ville det regne på rundt tretti av dem.

b) Påstanden holder ikke. En sannsynlighet på $30\ \%$ sier uttrykkelig at det er $70\ \%$ sannsynlighet for at det ikke kommer nedbør. At det ble oppholdsvær, er altså det mest sannsynlige utfallet — det motsier ikke meldingen i det hele tatt.

Dette er en kjent felle: en enkelthendelse kan ikke gjøre en sannsynlighet feil. Skal vi vurdere om meldingene er gode, må vi samle mange dager og se på den relative frekvensen. Regner det på omtrent $30\ \%$ av dagene som fikk meldingen «30 %», treffer meteorologene godt.

Svar: a) Nedbør på omtrent 3 av 10 dager med slike forhold. b) Påstanden er ikke holdbar; én dag kan ikke avgjøre om en sannsynlighet er riktig.