3.4 Statistikk i samfunnsdebatten

a) En reduksjon på $30\ \%$ betyr at $70\ \%$ av risikoen er igjen:

$$0{,}009 \cdot (1 - 0{,}30) = 0{,}009 \cdot 0{,}70 = 0{,}0063$$

Svar a): $0{,}63\ \%$, altså $630$ tilfeller per $100\,000$ i stedet for
$900$.

b) $$0{,}9\ \% - 0{,}63\ \% = 0{,}27 \text{ prosentpoeng}$$

Svar b): $0{,}27$ prosentpoeng, altså $270$ færre tilfeller per
$100\,000$ personer.

c) Hver person som får tiltaket, får risikoen sin redusert med $0{,}0027$.
For å få ett helt tilfelle unna må vi da ha

$$\frac{1}{0{,}0027} = 370{,}4 \approx 371 \text{ personer}$$

Svar c): Omtrent $371$ personer må få tiltaket for at ett tilfelle skal
unngås.

«30 % reduksjon» ser stort ut. I absolutte tall er det 270 færre tilfeller per 100 000 — 0,27 prosentpoeng — og 371 personer må behandles for å unngå ett tilfelle.

d) $$371 \cdot 2\,400 \text{ kr} = 890\,400 \text{ kr}$$

Svar d): Omtrent $890\,000$ kroner per unngåtte tilfelle.

Her ser vi at alle fire tallene beskriver det samme tiltaket:

Framstilling	Tallet
Relativ reduksjon	$30\ \%$
Absolutt reduksjon	$0{,}27$ prosentpoeng
Per $100\,000$	$270$ færre tilfeller
Antall som må behandles	$371$
Kostnad per unngåtte tilfelle	$890\,000$ kr

Den som vil at tiltaket skal virke stort, oppgir det første tallet. Den som vil
at det skal virke lite, oppgir det tredje eller fjerde. Ingen av dem lyver.
Slik leser du kritisk: Møter du en prosentvis endring i en risiko, spør
alltid etter utgangspunktet. Uten det er tallet ikke tolkbart.

a) Den største målingen er $26{,}2\ \%$ (desember) og den minste
$22{,}8\ \%$ (mars):

$$26{,}2 - 22{,}8 = 3{,}4 \text{ prosentpoeng}$$

Svar a): $3{,}4$ prosentpoeng — og ikke én eneste velger har skiftet mening.

b) Feilmarginen for én måling er

$$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{1\,000}} = 2{,}7 \text{ prosentpoeng}$$

og for en endring mellom to målinger

$$1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{1\,000} + \frac{0{,}25 \cdot 0{,}75}{1\,000}} = 3{,}8 \text{ prosentpoeng}$$

Fallet er $24{,}7 - 22{,}8 = 1{,}9$ prosentpoeng, altså godt innenfor $3{,}8$.

Svar b): Nei. Endringen er omtrent halvparten av feilmarginen for en
endring ($3{,}8 : 2 = 1{,}9$), og kan ikke skilles fra tilfeldig variasjon.

c) Alle disse er sanne om de samme tallene:

1. «Partiet falt to prosentpoeng i mars.» (Sant — og ren tilfeldighet.)
2. «Partiet har styrket seg gjennom høsten: fire målinger på rad over
$25\ \%$.» (Sant — og ren tilfeldighet.)
3. «Partiet har ligget stabilt rundt $25\ \%$ hele året; alle tolv målingene
er innenfor feilmarginen.» (Sant — og dekkende.)

Svar c): Se de tre over. Bare den siste beskriver det som faktisk skjedde.

Her ser vi at en tilfeldig tallrekke inneholder «fall», «oppganger» og
«trender» hele tiden. Den som leter etter en historie i støyen, finner alltid
en.

Slik leser du kritisk: Sammenlign endringen med feilmarginen for endringen
— ikke med feilmarginen for én måling. Og se på hele rekken, ikke på de to
punktene som gir den ønskede retningen (kapittel 1.6).

Andre muligheter: Et snitt av flere byråers målinger demper både
utvalgsvariasjonen og byråenes egne systematiske forskjeller. Det er derfor
slike snitt er blitt vanlige.

a) $$\frac{412 - 468}{468} = \frac{-56}{468} = -0{,}1196\ldots \approx -12{,}0\ \%$$

Svar a): Et fall på $12{,}0\ \%$ — akkurat som kommunen sier.

b) Vi sammenligner første halvår med første halvår:

$$\frac{412 - 405}{405} = \frac{7}{405} = 0{,}0173 \approx +1{,}7\ \%$$

Svar b): En økning på $1{,}7\ \%$.

Her ser vi at tallet ser ut til å svinge med årstiden: andrehalvåret
($468$) ligger høyere enn begge førstehalvårene ($405$ og $412$). Å
sammenligne januar–juni med juli–desember måler derfor mest av alt sesongen.

NB: tabellen har bare ett andrehalvår, så dette er én observasjon.
Den holder til å si at sammenligningen er tvilsom, men ikke til å slå fast
hvor stor sesongeffekten er — til det trengs flere år.

c) Nabokommunen, uten tiltaket:

$$\frac{268 - 310}{310} = \frac{-42}{310} = -0{,}1355 \approx -13{,}5\ \%$$

Mens tiltakskommunen gikk opp $1{,}7\ \%$, gikk nabokommunen ned
$13{,}5\ \%$ i den samme perioden. Forskjellen er

$$1{,}73 - (-13{,}55) = 15{,}28 \approx 15{,}3 \text{ prosentpoeng}$$

i disfavør av tiltakskommunen.

NB: differansen regnes av de uavrundede prosentene. Bruker vi de
avrundede tallene $1{,}7$ og $-13{,}5$, får vi $15{,}2$ — en tidel unna.

Samme tall, tre sammenligninger. Fallet fra 468 til 412 går over sesongskillet; måler vi i stedet samme halvår mot samme halvår (405 til 412), er det en økning på 1,7 %. Nabokommunen falt 13,5 % i den samme perioden.

Svar c): Sammenligningen gir ingen støtte til at tiltaket virket. Et eller
annet fikk tallene til å falle i nabokommunen, og den nedgangen kom ikke i
tiltakskommunen.

Slik leser du kritisk: Et «etter–før»-tall er nesten aldri nok. Tre
spørsmål må stilles:

1. Sesong: er periodene sammenlignbare?
2. Trend: hva var utviklingen før tiltaket?
3. Kontroll: hva skjedde samtidig der tiltaket ikke ble innført?

Sammenligningen i punkt 3 kalles differanse i differanse, og den er det
nærmeste vi kommer et forsøk når et ekte forsøk ikke kan gjennomføres.

a) Gjennomsnittet: summen er $1\,263$ dager, og

$$\bar{x} = \frac{1\,263}{24} = 52{,}6 \text{ dager}$$

Medianen: $n = 24$ er et partall, så medianen er gjennomsnittet av de to
midterste — plass $12$ og $13$, altså $28$ og $30$:

$$Q_2 = \frac{28 + 30}{2} = 29 \text{ dager}$$

Svar a): Gjennomsnitt $52{,}6$ dager, median $29$ dager.

b) Over $90$ dager: $96, 118, 140, 165$ og $210$ — fem pasienter.

$$\frac{5}{24} = 0{,}208 = 20{,}8\ \%$$

Under $30$ dager: de tolv første i rekken.

$$\frac{12}{24} = 0{,}50 = 50{,}0\ \%$$

Svar b): $20{,}8\ \%$ ventet over $90$ dager, og $50{,}0\ \%$ ventet
under $30$.

c)

Overskrift	Tallet den bygger på	Sann?
«Pasientene venter i snitt nesten to måneder»	gjennomsnitt $52{,}6$	ja
«Halvparten kommer til innen en måned»	median $29$	ja
«Hver femte pasient venter over tre måneder»	andel $20{,}8\ \%$	ja

Alle tre er riktige regnestykker på de samme $24$ tallene.
Gjennomsnittet er trukket kraftig opp av de fem lengste ventetidene — det er en
høyreskjev fordeling, akkurat som lønnsfordelingen i kapittel 1.2. Derfor
er $52{,}6$ dager ikke det en typisk pasient opplever; $29$ er nærmere.

Men medianen alene skjuler nettopp det som er problemet: at noen venter

$210$ dager.
Svar c): Ingen av de tre er dekkende alene. Det dekkende svaret oppgir
medianen og halen: «Medianventetiden er $29$ dager, men hver femte pasient

venter over tre måneder, og den lengste ventetiden var $210$ dager.»
Andre muligheter: Et boksplott (kapittel 1.5) viser alt dette i én figur —

median, kvartiler ($Q_1 = 18$ og $Q_3 = 64{,}5$) og den lange halen.

Alt i én figur: halvparten av pasientene ventet under 29 dager, men gjennomsnittet er 52,6 dager fordi noen få ventet svært lenge. Kvartilene er regnet med skolemetoden fra kapittel 1.3, der halvdelene deles ved medianen.