3.2 Utvalgsmetoder

$$\frac{n}{N} = \frac{25}{450} = 0{,}0555\ldots \approx 5{,}6\ \%$$

Svar a): Omtrent $5{,}6\ \%$ — og like stor for alle $450$.

b) Steg 1. Legg elevnumrene $1$ til $450$ i kolonne A, rad $2$ til
$451$.

Steg 2. Skriv =SLUMP() i celle $B2$ og kopier ned til $B451$. Hver celle
får nå et tilfeldig desimaltall mellom $0$ og $1$.

Steg 3. Marker $A2:B451$ og sorter stigende på kolonne B.

Steg 4. De $25$ øverste radene er utvalget.

En slik trekning ga elevnumrene

$$3,\ 67,\ 74,\ 107,\ 110,\ 122,\ 134,\ 159,\ 169,\ 191,\ 247,\ 267,\ 279,$$
$$282,\ 285,\ 316,\ 333,\ 336,\ 342,\ 386,\ 388,\ 415,\ 423,\ 436,\ 446$$

(Kjører du det samme hos deg, får du andre numre. SLUMP() regner dessuten om
hver gang arket endres, så kopier resultatet og lim det inn som verdier før du
går videre.)

Svar b): Nummer alle, gi hver et tilfeldig tall, sorter, og ta de $25$
øverste.

c) Fordi «representativ etter skjønn» ikke er en kjent sannsynlighet.

Lærerne ville — helt uten å ville det — valgt elever de kjenner, elever som
pleier å svare, elever som er til stede den dagen. Utvalget ville sett rimelig
ut og likevel vært systematisk skjevt, og vi ville ikke hatt noen måte å regne
ut hvor skjevt.

Med tilfeldig trekning vet vi at anslaget i gjennomsnitt treffer riktig, og vi
kan regne ut hvor mye det typisk bommer.

Svar c): Fordi bare tilfeldig trekning gir kjente trekksannsynligheter — og
uten dem kan verken skjevheten unngås eller usikkerheten regnes ut.

Svar a): Hver $18$. elev.

b) Startpunktet trekkes blant tallene $1$ til $18$. Her ble det $7$, og vi
legger til $18$ om gangen:

$$7,\ 25,\ 43,\ 61,\ 79,\ 97,\ 115,\ 133,\ 151,\ 169,\ 187,\ 205,\ 223,$$
$$241,\ 259,\ 277,\ 295,\ 313,\ 331,\ 349,\ 367,\ 385,\ 403,\ 421,\ 439$$

Det siste nummeret er $439$, som er innenfor $450$. Vi har $25$ numre.

Svar b): Elev $7, 25, 43, \ldots, 439$.

c) Her er $k = 18$, og hver klasse har nøyaktig $18$ elever. Da treffer vi
samme plass i hver klasse hver eneste gang — elev nummer $7$ på hver eneste
klasseliste.

Er listene alfabetiske, betyr det at vi alltid velger den sjuende eleven
alfabetisk. Er de sortert etter karakter, plukker vi samme karakternivå fra
alle klassene. Utvalget er ikke lenger tilfeldig med hensyn på det listen er
sortert etter.

Svar c): Perioden i listen ($18$) er lik $k$, så utvalget treffer samme
posisjon i hver gruppe.

Slik løser vi det: Stokk om listen først, eller velg et $k$ som ikke passer
med perioden. Her kunne vi trukket $24$ elever med $k = 18{,}75$ og rundet av
hver gang — eller enklere: sortert listen tilfeldig med SLUMP() før vi
begynte, og da er vi i praksis tilbake til et enkelt tilfeldig utvalg.

$$N = 168 + 150 + 132 = 450$$

Så regner vi ett trinn om gangen, med formelen tom og deretter med tall.

$$n_h = \frac{N_h}{N} \cdot n$$

8. trinn:

$$n_1 = \frac{168}{450} \cdot 60 = 0{,}3733 \cdot 60 = 22{,}4 \approx 22$$

9. trinn:

$$n_2 = \frac{150}{450} \cdot 60 = 0{,}3333 \cdot 60 = 20{,}0 = 20$$

10. trinn:

$$n_3 = \frac{132}{450} \cdot 60 = 0{,}2933 \cdot 60 = 17{,}6 \approx 18$$

Kontroll: $22 + 20 + 18 = 60$. Det stemmer.

Svar a): $22$ fra 8. trinn, $20$ fra 9. trinn og $18$ fra 10. trinn.

(Avrundingen må sjekkes hver gang. Blir summen $59$ eller $61$, justerer vi
det stratumet der avrundingen var nærmest en halv.)

b) Vi regner andelen som trekkes i hvert trinn:

$$\frac{22}{168} = 0{,}1310 = 13{,}1\ \%$$

$$\frac{20}{150} = 0{,}1333 = 13{,}3\ \%$$

$$\frac{18}{132} = 0{,}1364 = 13{,}6\ \%$$

Svar b): Omtrent $13\ \%$ i alle tre — praktisk talt lik
trekksannsynlighet, slik proporsjonal allokering skal gi. (De små forskjellene
kommer bare av avrundingen.)

c) Med $20$ fra hvert trinn blir andelene

$$\frac{20}{168} = 11{,}9\ \%, \qquad \frac{20}{150} = 13{,}3\ \%, \qquad \frac{20}{132} = 15{,}2\ \%$$

En elev på 10. trinn har altså nesten $30\ \%$ høyere sjanse for å bli med enn
en på 8. trinn.

Proporsjonal allokering speiler populasjonen; lik allokering gjør det ikke. Trekksannsynligheten blir da ulik — 11,9 % på 8. trinn mot 15,2 % på 10. trinn — og utvalget må veies før det kan si noe om hele skolen.

Svar c): 10. trinn blir overrepresentert i utvalget. Skal tallene likevel
brukes samlet, må hvert trinn veies med sin riktige andel av populasjonen — og
gjør man ikke det, trekker 10. trinns svar for mye.

Andre muligheter: Lik allokering er riktig valg når hvert trinn skal ha
sitt eget resultat med omtrent lik presisjon. Da er poenget ikke ett
samlet tall, men tre sammenlignbare.

Svar a): $75$ elever — like mange som i et enkelt tilfeldig utvalg på $75$.

b) Fordi vi bare må oppsøke tre steder i stedet for $75$.

Ved et enkelt tilfeldig utvalg ville de $75$ elevene vært spredt på alle $18$
klassene. Undersøkelsen måtte da avtales med $18$ lærere, gjennomføres i $18$
timer, og elevene måtte hentes ut av undervisningen én og én.

Med klyngeutvalg tar vi tre klasser i tre skoletimer.

Svar b): Antall steder å oppsøke er det som koster, ikke antall
enheter.

c) Tallene sier hvor mye anslaget spriker fra gang til gang.

Ved enkelt tilfeldig utvalg spriker anslagene med $0{,}051$; ved klyngeutvalg
med $0{,}112$ — altså mer enn dobbelt så mye, med nøyaktig samme $n = 75$.

Forholdet mellom kvadratene er

$$\frac{0{,}112^2}{0{,}051^2} \approx 4{,}8$$

Det betyr at klyngeutvalget på $75$ elever gir omtrent like mye informasjon som
et enkelt tilfeldig utvalg på

$$\frac{75}{4{,}8} \approx 16 \text{ elever}$$

Svar c): Klyngeutvalget er mye mindre presist. De $75$ elevene teller i
praksis som rundt $16$.

Her ser vi at «$n = 75$» ikke betyr det samme i to ulike design.
Klyngeutvalg må derfor være større enn et enkelt tilfeldig utvalg for å gi
samme presisjon — og valget står mellom pris og presisjon, ikke mellom rett og
galt.

Andre muligheter: I praksis brukes ofte en mellomting: trekk mange klynger,
men bare noen få enheter fra hver. Det gir mye av besparelsen og lite av
presisjonstapet.