3.1 Populasjon og utvalg | Statistikk

Forskjellen på populasjon og utvalg, og hvorfor vi trenger utvalg.

45 min

6 oppgaver

PopulasjonUtvalg

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Vi kan ikke spørre alle

Så langt har vi regnet på tall vi hadde. Nå spør vi hvor tallene kommer fra —
og hvorfor det avgjør hvor mye de er verdt.

Nesten all statistikk vi møter, bygger på at noen få er spurt eller målt, og at
svaret deres brukes til å si noe om mange flere. En meningsmåling spør omtrent
$1\,000$ personer og sier noe om over fire millioner stemmeberettigede.
Reisevaneundersøkelsen spør noen tusen og sier noe om hele landets reisevaner.

Det kan høres dristig ut. Poenget med dette kapittelet er å vise at det er
forsvarlig — når utvalget er trukket riktig — og hvorfor det går galt når
det ikke er det.

Populasjon, enhet og utvalg

n

Parameter og estimat

\mu

Størrelse	I populasjonen (parameter)	I utvalget (estimat)
Gjennomsnitt	$\mu$ (my)	$\bar{x}$
Standardavvik	$\sigma$ (sigma)	$s$
Andel	$p$	$\hat{p}$ (p-hatt)

✏️Eksempel 1 – Fra utvalg til anslag

En kommune har $2\,400$ husstander. Kommunen vil vite hvor stor andel som
sorterer matavfall. De trekker $150$ husstander fra eiendomsregisteret og
spør dem. $96$ svarer at de sorterer.

a) Hva er populasjonen, enheten, utvalgsrammen og utvalget?

b) Finn estimatet $\hat{p}$ .

c) Anslå hvor mange av de $2\,400$ husstandene som sorterer.

d) Hva er parameteren i denne undersøkelsen, og kjenner vi den?

a) Vi tar begrepene i tur og orden:

- Populasjon: alle $2\,400$ husstandene i kommunen.
- Enhet: én husstand. (Ikke én person — spørsmålet gjelder husstanden.)
- Utvalgsramme: eiendomsregisteret, altså listen de trakk fra.
- Utvalg: de $150$ husstandene som ble trukket. Her er $n = 150$ .

b) Estimatet er andelen i utvalget:

$\hat{p} = \frac{\text{antall som sorterer}}{n} = \frac{96}{150} = 0{,}64$

Svar b): $\hat{p} = 0{,}64$ , altså $64\ \%$ av de spurte.

c) Vi antar at andelen i populasjonen er omtrent den samme som i utvalget,
og ganger opp:

$0{,}64 \cdot 2\,400 = 1\,536$

Svar c): Omtrent $1\,500$ husstander.

(Vi runder av. Å svare « $1\,536$ husstander» ville gitt inntrykk av en
nøyaktighet vi ikke har — anslaget bygger på $150$ svar.)

d) Parameteren er $p$ , den sanne andelen blant alle $2\,400$
husstandene.

Den kjenner vi ikke, og vi får den ikke vite uten å spørre alle. Det vi har,
er ett anslag på den, regnet ut fra ett bestemt utvalg. Hadde kommunen trukket
$150$ andre husstander, ville de fått et litt annet tall.

Svar d): Parameteren er $p$ . Den er ukjent, og $\hat{p} = 0{,}64$ er vårt
anslag på den.

📝Oppgave 1

For hver situasjon: beskriv populasjonen, enheten, utvalgsrammen og utvalget,
og si hva som er parameteren.

En skole med $450$ elever spør $60$ tilfeldig valgte elever om de sykler til skolen.

Et meieri måler fettinnholdet i $20$ tilfeldig valgte pakker fra en produksjon på $50\,000$ pakker.

En avis spør sine lesere på nettsiden hva de mener om en ny bomring. $4\,300$ svarer.

SSB henter lønnsopplysninger for alle lønnstakere i Norge fra A-ordningen.

Hvorfor er det viktig å avgrense populasjonen før dataene samles inn?

Utvalgsvariasjon

Trekker vi to utvalg fra samme populasjon, med nøyaktig samme metode, får vi to
litt ulike svar. Ikke fordi noen har gjort noe galt, men fordi det er ulike
enheter som havnet i de to utvalgene.

Denne variasjonen kalles utvalgsvariasjon, og den er selve grunnen til at
statistikk trenger et mål på usikkerhet.

To ting er verdt å merke seg med en gang:

1. Estimatene samler seg rundt parameteren. De bommer, men de bommer ikke
systematisk i én retning — så lenge utvalget er trukket tilfeldig.
2. Spredningen avtar når $n$ vokser. Større utvalg gir svar som ligger
tettere rundt det sanne tallet.

✏️Eksempel 2 – Tjue utvalg fra den samme populasjonen

I en tenkt populasjon er den sanne andelen

p = 0{,}40

. Vi trekker

20

utvalg
på

n = 100

, og deretter

20

utvalg på

n = 400

, og regner ut

\hat{p}

hver
gang. Resultatene er tegnet i figuren under.

De tjue andelene med $n = 100$ ble

$0{,}45;\ 0{,}38;\ 0{,}34;\ 0{,}43;\ 0{,}38;\ 0{,}37;\ 0{,}53;\ 0{,}37;\ 0{,}38;\ 0{,}37;$
$0{,}38;\ 0{,}46;\ 0{,}45;\ 0{,}41;\ 0{,}36;\ 0{,}40;\ 0{,}40;\ 0{,}48;\ 0{,}36;\ 0{,}37$

a) Hvor mye spriker anslagene med $n = 100$ ?

b) Med $n = 400$ ble minste andel $0{,}345$ og største $0{,}4375$ . Sammenlign.

c) Hva sier dette om et enkelt meningsmålingsresultat?

a) Vi finner variasjonsbredden (kapittel 1.3):

$0{,}53 - 0{,}34 = 0{,}19$

Svar a): Anslagene spenner fra $34\ \%$ til $53\ \%$ — et spenn på
$19$ prosentpoeng, selv om alle kommer fra den samme populasjonen med
$p = 0{,}40$ , og selv om alle er trukket helt riktig.

Gjennomsnittet av de tjue anslagene er $0{,}4035$ — altså svært nær den sanne
verdien $0{,}40$ . Metoden bommer ikke systematisk; det er det enkelte utvalget
som spriker.

b) Med $n = 400$ :

$0{,}4375 - 0{,}345 = 0{,}0925$

Svar b): Variasjonsbredden er omtrent halvert, fra $0{,}19$ til $0{,}09$ .

Her ser vi at en firedobling av utvalget halverte spredningen. Det er ikke
tilfeldig, og vi kommer tilbake til hvorfor i eksempel 3.

c) At ett enkelt resultat kan ligge et godt stykke fra sannheten, uten at
noen har gjort noe galt.

Ser du en måling der et parti går fram $2$ prosentpoeng, kan det være en reell
endring — eller det kan være nøyaktig det som skjedde mellom utvalg nummer $5$
og utvalg nummer $7$ i figuren, der ingenting hadde endret seg i det hele tatt.

Svar c): Ett måleresultat er ett trekk fra en fordeling av mulige
resultater. Det skal alltid leses sammen med en feilmargin, og helst sammen med
flere målinger over tid.

📝Oppgave 2

Del 2 (digitale verktøy). I et regneark kan du trekke et tilfeldig utvalg
med =TILFELDIGMELLOM(1;100). Lar vi tallene

1

–

55

bety «ja» og

56

–

100

bety «nei», simulerer vi en populasjon med

p = 0{,}55

Lag $25$ slike celler, og tell hvor mange som ble «ja». Regn ut $\hat{p}$ .

Gjenta ti ganger. Hva er den minste og den største andelen du får?

Gjør det samme med $n = 100$ og med $n = 400$ . Hva skjer med variasjonsbredden?

Regn ut gjennomsnittet av de ti andelene for hver $n$ . Hva ligger de nær?

Hvorfor er en slik simulering nyttig, når vi jo vet svaret på forhånd?

Løs oppgaven

📜Presisjonen vokser med

\sqrt{n}

Spredningen mellom utvalgene avtar ikke med

n

, men med

\sqrt{n}

For en andel er den teoretiske spredningen

$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

og for et gjennomsnitt er den $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Begge begrunnes i
kapittel 5.7 og brukes i kapittel 7.

Tommelfingerregel for feilmargin. Er utvalget tilfeldig trukket, ligger den
sanne andelen med omtrent $95\ \%$ sikkerhet innenfor

$\hat{p} \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$

Regelen er litt for forsiktig når andelen er langt fra $50\ \%$ ; den eksakte
formelen kommer i kapittel 3.3.

Konsekvensen er ubehagelig, men viktig: for å halvere feilmarginen må
utvalget firedobles. Det er derfor nesten alle meningsmålinger har mellom
$600$ og $1\,200$ svar — under det blir marginen for stor, over det blir prisen
høy og gevinsten liten.

✏️Eksempel 3 – Hva koster presisjon?

Et analysebyrå vurderer fire utvalgsstørrelser.

a) Finn den grove feilmarginen $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ for $n = 100$ , $400$ ,
$1\,000$ og $2\,500$ .

b) Hvor mye må utvalget økes for å gå fra $5$ til $2{,}5$ prosentpoeng?

c) Byrået spør: «Hvor mange av landets fire millioner velgere må vi ha med?»
Hva er svaret?

a) Vi setter inn i formelen, ett tall om gangen:

$n = 100: \quad \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}100 = 10{,}0 \text{ prosentpoeng}$

$n = 400: \quad \frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0{,}050 = 5{,}0 \text{ prosentpoeng}$

$n = 1\,000: \quad \frac{1}{\sqrt{1000}} = 0{,}0316 = 3{,}2 \text{ prosentpoeng}$

$n = 2\,500: \quad \frac{1}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{50} = 0{,}020 = 2{,}0 \text{ prosentpoeng}$

Svar a): $10{,}0$ ; $5{,}0$ ; $3{,}2$ og $2{,}0$ prosentpoeng.

b) Vi vil at $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}$ skal bli $0{,}025$ :

$\frac{1}{\sqrt{n}} = 0{,}025$

$\sqrt{n} = \frac{1}{0{,}025} = 40 \qquad \text{(vi bytter om brøkene)}$

$n = 40^2 = 1\,600$

Svar b): Fra $400$ til $1\,600$ — utvalget må firedobles for at marginen
skal halveres.

c) Ingen. Populasjonens størrelse står ikke i formelen.

Det som bestemmer presisjonen, er hvor mange vi spør, ikke hvor stor
gruppen vi spør om, er. Et utvalg på $1\,000$ gir like god presisjon i en
kommune med $20\,000$ innbyggere som i et land med fire millioner
stemmeberettigede.

Svar c): Antallet i populasjonen har ingen betydning så lenge utvalget er
en liten del av den. Det er $n$ som teller.

NB: Dette overrasker de fleste. Tenk på en suppegryte: for å smake om
suppen er passe salt, rører du om og tar én skje. Skjeen trenger ikke være
større fordi gryta er det — men du må røre om, ellers smaker du bare på
toppen. Omrøringen er den tilfeldige trekkingen.

📝Oppgave 3

En skole med $450$ elever spurte $60$ tilfeldig trukne elever om de sykler til
skolen. $27$ svarte ja.

Finn $\hat{p}$ .

Anslå hvor mange av de $450$ elevene som sykler.

Hvor stor andel av populasjonen er faktisk spurt?

Finn den grove feilmarginen og oppgi et intervall for $p$ .

Rektor sier: «Nesten halvparten sykler.» Er utsagnet dekkende?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4 – Utvalg eller totaltelling?

En kommune med $12\,000$ innbyggere vil undersøke hvor fornøyde folk er med
renovasjonen. Hvert svar koster omtrent $180$ kroner å samle inn.

a) Hva koster en totaltelling?

b) Hva koster et utvalg på $400$ , og hvilken feilmargin gir det?

c) Når er totaltelling likevel det riktige?

12\,000 \cdot 180 \text{ kr} = 2\,160\,000 \text{ kr}

Svar a): Over to millioner kroner — og da har vi antatt at alle svarer, noe
ingen gjør.

b) $400 \cdot 180 \text{ kr} = 72\,000 \text{ kr}$

Det er $\displaystyle \frac{72\,000}{2\,160\,000} = 0{,}033 = 3{,}3\ \%$ av kostnaden ved
en totaltelling. Feilmarginen blir

$\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05 = 5 \text{ prosentpoeng}$

Svar b): $72\,000$ kroner og en margin på omtrent $5$ prosentpoeng.

Her ser vi at $3\ \%$ av pengene gir et svar som er godt nok til de fleste
beslutninger. Det er derfor utvalg brukes: ikke fordi de er bedre, men fordi de
er gode nok til en brøkdel av prisen — og fordi pengene som spares, kan brukes
på å få høy svarprosent i det utvalget man har.

c) Totaltelling er riktig når

- hver enkelt enhet skal ha et resultat: karakterer, skattelikning, valg.
Her er ikke poenget å anslå et gjennomsnitt, men å avgjøre noe for hver
enkelt.
- populasjonen er liten: en klasse på $28$ elever trenger ikke utvalg.
- dataene finnes allerede: SSB henter lønn fra A-ordningen og folketall fra
folkeregisteret. Da koster totaltellingen nesten ingenting.
- små undergrupper skal sammenlignes: skal tallene brytes ned på $30$
bydeler, må hver bydel ha nok svar for seg. Da vokser kravet til $n$ fort.

Svar c): Når hver enhet skal ha sitt eget resultat, når populasjonen er
liten, når dataene alt finnes, eller når materialet skal deles i mange små
grupper.

Andre muligheter: En mellomting er å hente registerdata for alle, og bare
spørre et utvalg om det registrene ikke vet. Det er slik mye offentlig
statistikk lages i dag.

📝Oppgave 4

En organisasjon med $12\,000$ medlemmer skal gjennomføre en undersøkelse.
Hvert svar koster $180$ kroner.

Hva koster det å spørre $1\,000$ medlemmer?

Hvilken grov feilmargin gir $n = 1\,000$ ?

Hvor mye ville det kostet å komme ned i $1{,}6$ prosentpoeng?

Organisasjonen vil bryte svarene ned på seks regioner. Hvilket nytt krav gir det?

Er det bedre å bruke $720\,000$ kroner på $4\,000$ svar enn $180\,000$ på $1\,000$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). En tenkt populasjon består av

2\,000

husholdninger med strømforbruk som har

\mu = 16\,000

kWh og

\sigma = 4\,000

kWh.

Trekk tolv utvalg på $n = 10$ og regn ut gjennomsnittet i hvert. Hvor mye spriker de?

Gjør det samme med $n = 50$ og $n = 200$ .

Sammenlign med den teoretiske spredningen $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

Hvor stort må utvalget være for at gjennomsnittene skal spre seg med omtrent $200$ kWh?

Hva ville skjedd med disse tallene hvis populasjonen hadde vært $200\,000$ husholdninger i stedet for $2\,000$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Drøftingsoppgave. Et nettsted skriver: «I vår undersøkelse svarte

18\,000

personer. Dette er den største undersøkelsen som er gjort om saken,
og resultatet er derfor svært pålitelig.»

Hva er riktig i resonnementet?

Hva er galt?

Hva ville du heller hatt: $18\,000$ selvrekrutterte svar eller $800$ tilfeldig trukne? Begrunn.

Finn en formulering nettstedet kunne brukt som er dekkende.

Under hvilke forhold kunne en så stor selvrekruttert undersøkelse likevel være verdifull?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Begrep	Betydning
Populasjon	Alle enhetene vi vil si noe om
Utvalg	De enhetene vi faktisk undersøker, $n$ i tallet
Utvalgsramme	Listen vi trekker fra — sjelden helt lik populasjonen
Parameter	Tall som beskriver populasjonen: $\mu$ , $\sigma$ , $p$
Estimat	Tall regnet ut fra utvalget: $\bar{x}$ , $s$ , $\hat{p}$
Utvalgsvariasjon	At estimatet endrer seg fra utvalg til utvalg
Feilmargin (grovt)	$\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ for en andel
Totaltelling	Alle enhetene er med — da er tallet parameteren selv

Husk

- Parameteren er fast og ukjent. Estimatet regnes ut og varierer.
- Utvalgsvariasjon er ikke en feil; den er en egenskap ved å trekke et utvalg.
- Presisjonen vokser med

\sqrt{n}

: firedoble utvalget for å halvere
feilmarginen.
- Populasjonens størrelse betyr nesten ingenting — det er

n

som teller.
- Et stort utvalg fjerner tilfeldig variasjon, men aldri systematisk skjevhet.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.