2.3 Lineær regresjon

$$\bar{x} = 9, \qquad \bar{y} = 6{,}5$$

$$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 78, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 168$$

Steg 1 — stigningstallet. Formelen tom, så med tall:

$$a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$$

$$a = \frac{78}{168} = \frac{13}{28} = 0{,}4642\ldots \approx 0{,}464$$

Steg 2 — konstantleddet. Formelen tom, så med tall:

$$b = \bar{y} - a \cdot \bar{x}$$

$$b = 6{,}5 - \frac{13}{28} \cdot 9 = \frac{182}{28} - \frac{117}{28} = \frac{65}{28} = 2{,}3214\ldots \approx 2{,}321$$

Steg 3 — kontroll. Linja skal gå gjennom $(\bar{x}, \bar{y}) = (9;\ 6{,}5)$:

$$0{,}4643 \cdot 9 + 2{,}3214 = 4{,}1786 + 2{,}3214 = 6{,}5$$

Det stemmer.

Svar a): $y = 0{,}464x + 2{,}321$

b) Stigningstallet $a \approx 0{,}464$: for hver ekstra ansatt øker
omsetningen med omtrent $0{,}46$ millioner kroner, altså $464\,000$ kroner —
i gjennomsnitt, for butikkene i dette materialet.

Konstantleddet $b \approx 2{,}32$: modellen gir $2{,}32$ millioner kroner
for en butikk med null ansatte. Det tallet skal vi ikke tolke som noe virkelig.
Ingen av butikkene har færre enn to ansatte, så $x = 0$ ligger utenfor
materialet; $b$ er først og fremst den høyden linja må ha for å ligge riktig i
området $2 \le x \le 16$.

c) Vi setter $x = 11$ inn i modellen:

$$y = 0{,}4643 \cdot 11 + 2{,}3214 = 5{,}1071 + 2{,}3214 = 7{,}4286$$

Svar c): Modellen anslår omtrent $7{,}4$ millioner kroner.

$x = 11$ ligger mellom de minste og største $x$-verdiene i materialet, så dette
er interpolering, og anslaget er rimelig. Men det er et anslag om et
gjennomsnitt: en konkret butikk med $11$ ansatte kan godt ligge en million over
eller under, slik de åtte butikkene i materialet gjør.

=STIGNINGSTALL(B2:B9;A2:A9)     →  -14,360824...
=SKJÆRINGSPUNKT(B2:B9;A2:A9)    →  311,226804...
=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)       →  -0,991178...

Avrundet til tre desimaler:

$$y = -14{,}361x + 311{,}227, \qquad r \approx -0{,}991$$

Svar a): $y = -14{,}361x + 311{,}227$ med $r \approx -0{,}991$ — en svært
sterk negativ lineær sammenheng.

b) Vi må holde tunga rett i munnen med enhetene: $x$ måles i
$10\,000$ km og $y$ i $1\,000$ kr.

Stigningstallet $-14{,}361$ betyr at når $x$ øker med $1$ — altså
$10\,000$ kjørte kilometer — synker prisen med $14{,}361$ tusen kroner.

Per kilometer blir det

$$\frac{14\,361 \text{ kr}}{10\,000 \text{ km}} = 1{,}44 \text{ kr/km}$$

Svar b): Bilen faller omtrent $14\,400$ kroner i verdi per
$10\,000$ kjørte kilometer, altså rundt $1{,}44$ kroner per kilometer.

c) $100\,000$ km svarer til $x = 10$:

$$y = -14{,}361 \cdot 10 + 311{,}227 = -143{,}61 + 311{,}227 = 167{,}62$$

Svar c): Modellen anslår omtrent $168\,000$ kroner.

$x = 10$ ligger mellom $9$ og $11$ i materialet, så dette er interpolering.
Anslaget er et gjennomsnitt for slike biler; den enkelte bilen avhenger
også av stand, utstyr og servicehistorikk.

$$y = -14{,}361 \cdot 30 + 311{,}227 = -430{,}82 + 311{,}227 = -119{,}60$$

Svar a): Modellen gir $-119{,}6$ tusen kroner, altså at bilen skulle koste
$119\,600$ kroner å bli kvitt. Det er meningsløst som pris.

b) Vi setter $y = 0$ og løser likningen:

$$-14{,}361x + 311{,}227 = 0$$

$$-14{,}361x = -311{,}227 \qquad \text{(vi trekker fra } 311{,}227 \text{ på begge sider)}$$

$$x = \frac{311{,}227}{14{,}361} = 21{,}67$$

Svar b): Ved $x \approx 21{,}7$, altså omtrent $217\,000$ kilometer.

c) Materialet dekker $x$ fra $2$ til $15$, altså $20\,000$ til
$150\,000$ km. Innenfor dette området er anslagene interpolering, og modellen
er god ($r = -0{,}991$).

Utenfor må vi være forsiktige. Modellen kunne i beste fall vært gyldig til
$x \approx 21{,}7$, der prisen blir null — lenger kan den umulig brukes, siden
svaret da skifter fortegn. Men den ryker trolig lenge før: en bruktbil faller
ikke like mange kroner i verdi for hver mil hele livet. De første
$10\,000$ kilometerne koster mest, og mot slutten flater kurven ut mot en
lav, men positiv restverdi. Selve antakelsen om konstant verdifall er
feilen som slår sterkest inn nær grensen.

Regresjonslinja forlenget utenfor materialet. Innenfor det grønne feltet er anslagene interpolering; utenfor havner linja til slutt under null, og en negativ pris viser at modellen har brutt sammen.

Svar c): Modellen bør brukes i området $20\,000$–$150\,000$ km, og med
forbehold litt utenfor. Den kunne i beste fall vært gyldig til rundt
$217\,000$ km, men er i praksis ubrukelig lenge før det.

Andre muligheter: Skal hele bilens levetid modelleres, passer en
eksponentiell modell bedre — da faller prisen med en fast prosent per
$10\,000$ km i stedet for et fast kronebeløp, og modellen nærmer seg null
uten å krysse.

$$e = y - (ax + b)$$

$x = 6$, observert $y = 4$:

$$0{,}4643 \cdot 6 + 2{,}3214 = 2{,}7857 + 2{,}3214 = 5{,}1071$$

$$e = 4 - 5{,}1071 = -1{,}1071$$

$x = 8$, observert $y = 7$:

$$0{,}4643 \cdot 8 + 2{,}3214 = 3{,}7143 + 2{,}3214 = 6{,}0357$$

$$e = 7 - 6{,}0357 = 0{,}9643$$

$x = 12$, observert $y = 9$:

$$0{,}4643 \cdot 12 + 2{,}3214 = 5{,}5714 + 2{,}3214 = 7{,}8929$$

$$e = 9 - 7{,}8929 = 1{,}1071$$

Svar a): $-1{,}11$, $0{,}96$ og $1{,}11$ millioner kroner. Butikken med $6$
ansatte omsetter altså $1{,}11$ millioner mindre enn modellen venter, de to
andre mer.

b) Alle åtte residualene er

$$-0{,}25;\quad 0{,}82;\quad -1{,}11;\quad 0{,}96;\quad -0{,}96;\quad 1{,}11;\quad -0{,}82;\quad 0{,}25$$

Tre mønstre å kjenne igjen. A er de åtte residualene fra eksempel 4 b); de to andre er mønstrene teksten beskriver i ord. Et mønster i residualene er et varsel — også når r er høy.

Svar b): Fortegnene veksler pent — minus, pluss, minus, pluss — og summen
er $0$, slik teorien sier. Det er ikke noe mønster der alle residualene først
er negative og så positive, slik vi ville sett om den sanne sammenhengen var
krum.

Slik leser du kritisk: Et mønster i residualene er et varsel. Ligger de
først under, så over, så under igjen, bøyer den virkelige sammenhengen — og en
rett linje er feil modellform, uansett hvor høy $r$ er. Vokser residualene
jevnt i størrelse mot høyre, er spredningen ulik i ulike deler av materialet,
og anslag i den høyre enden er mer usikre enn i den venstre.