2.2 Korrelasjonskoeffisienten | Statistikk

Pearsons r: utregning, tolkning og fallgruver.

45 min

6 oppgaver

KorrelasjonskoeffisientPearsons r

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Fra skjønn til tall

I kapittel 2.1 leste vi spredningsplott med øynene og sa «sterk», «moderat» og
«svak». Nå skal vi regne ut tallet som sier det samme — Pearsons
korrelasjonskoeffisient $r$ — og se hvor det kommer fra.

Tanken bak $r$ er enkel, og den er verdt å forstå før formelen kommer: vi ser
ikke på hvor stor $x$ og $y$ er, men på hvor langt fra sitt eget gjennomsnitt
hver av dem ligger.

Ideen: avvik ganget med avvik

Tegn to hjelpelinjer i spredningsplottet: en loddrett linje ved $\bar{x}$ og en
vannrett linje ved $\bar{y}$ . De deler figuren i fire felt.

For hvert punkt regner vi ut de to avvikene $x_i - \bar{x}$ og $y_i - \bar{y}$ ,
og ganger dem sammen. Fortegnet på produktet forteller hvilket felt punktet
ligger i:

Punktet ligger	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	Produktet
oppe til høyre	$+$	$+$	$+$
nede til venstre	$-$	$-$	$+$
oppe til venstre	$-$	$+$	$-$
nede til høyre	$+$	$-$	$-$

Her ser vi at punkter som «følger» en stigende sammenheng — begge verdiene
over snittet, eller begge under — gir positive produkter. Punkter som går
motsatt vei, gir negative.
Summerer vi alle produktene, får vi et tall som er stort og positivt når
punktene stiger, stort og negativt når de faller, og nær null når feltene

opphever hverandre.
Ett problem gjenstår: summen vokser både med antall punkter og med
måleenhetene. Bytter vi kroner mot tusen kroner, blir summen tusen ganger

mindre — uten at figuren har endret form. Derfor deler vi summen på noe som
vokser like fort, og da står vi igjen med et rent tall mellom $-1$ og $1$ .

📜Korrelasjonskoeffisienten

r

For

n

tallpar

(x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)

$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}$

Telleren er summen av produktene fra forrige avsnitt — den bestemmer
fortegnet.

Nevneren er så stor som telleren i det hele tatt kan bli. Derfor er

$-1 \le r \le 1$

alltid oppfylt, og $r = \pm 1$ bare når alle punktene ligger nøyaktig på én rett
linje.

Samme formel, skrevet med standardavvik. Deler vi både over og under
brøkstreken på $n - 1$ , får vi

$r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$

der $s_x$ og $s_y$ er utvalgsstandardavvikene fra kapittel 1.3, og
$\displaystyle s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ kalles
kovariansen.

NB: Faktoren $n - 1$ står både over og under brøkstreken og forkorter bort.
Derfor spiller det ingen rolle for $r$ om vi regner med $\sigma$ (deler på $n$ )
eller med $s$ (deler på $n - 1$ ) — $r$ blir det samme tallet.

✏️Eksempel 1 – $r$ for hånd, med avvikstabell

En kjede har åtte butikker. Tabellen viser antall ansatte og omsetningen i fjor.

Ansatte $x$	2	4	6	8	10	12	14	16
Omsetning $y$ (mill. kr)	3	5	4	7	6	9	8	10

Regn ut korrelasjonskoeffisienten for hånd.

Steg 1 — gjennomsnittene. Alt i formelen måles fra gjennomsnittene, så de
må vi ha først.

$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16}{8} = \frac{72}{8} = 9$

$\bar{y} = \frac{3 + 5 + 4 + 7 + 6 + 9 + 8 + 10}{8} = \frac{52}{8} = 6{,}5$

Vi deler på $8$ fordi det er $8$ butikker.

Steg 2 — avvikstabellen. Én rad per butikk, og vi fyller kolonne for
kolonne. Tre nye kolonner: produktet, og de to kvadratene.

$x_i$	$y_i$	$x_i - \bar{x}$	$y_i - \bar{y}$	$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$	$(x_i-\bar{x})^2$	$(y_i-\bar{y})^2$
2	3	$-7$	$-3{,}5$	$24{,}5$	$49$	$12{,}25$
4	5	$-5$	$-1{,}5$	$7{,}5$	$25$	$2{,}25$
6	4	$-3$	$-2{,}5$	$7{,}5$	$9$	$6{,}25$
8	7	$-1$	$0{,}5$	$-0{,}5$	$1$	$0{,}25$
10	6	$1$	$-0{,}5$	$-0{,}5$	$1$	$0{,}25$
12	9	$3$	$2{,}5$	$7{,}5$	$9$	$6{,}25$
14	8	$5$	$1{,}5$	$7{,}5$	$25$	$2{,}25$
16	10	$7$	$3{,}5$	$24{,}5$	$49$	$12{,}25$
Sum	0	0	78	168	42

(Kontroll som har et poeng: de to avvikskolonnene skal begge summere til $0$ .
Gjør de ikke det, er gjennomsnittet eller et avvik regnet feil — og da er det
ingen vits i å gå videre.)
Legg merke til de to radene med negativt produkt: butikkene med

8

10

ansatte er de to punktene som ligger i minus-feltene i figuren over.
Steg 3 — sett inn i formelen. Først formelen tom:

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}

Så med tallene fra sumraden:

r = \frac{78}{\sqrt{168 \cdot 42}} = \frac{78}{\sqrt{7056}} = \frac{78}{84}

r = \frac{78}{84} = \frac{13}{14} = 0{,}9285\ldots \approx 0{,}929

Svar: $r \approx 0{,}929$ . Det er en sterk positiv lineær sammenheng mellom
antall ansatte og omsetning.
Tolkning: Butikker med flere ansatte omsetter for mer — men ikke helt

regelmessig. To av de åtte butikkene bryter mønsteret (den med $8$ ansatte
omsetter mer enn den med $10$ ), og det er nettopp derfor $r$ ikke er $1$ .

NB: Det er uvanlig at $\sqrt{168 \cdot 42}$ går opp i et helt tall. Gjør

den ikke det, regner vi bare videre med desimaler — svaret skal uansett rundes

av til to eller tre desimaler.

📝Oppgave 1

Del 1 (uten hjelpemidler). Fem personer har oppgitt hvor mange
treningsøkter de har i uka, og hvilepulsen sin.

Treningsøkter $x$	1	2	3	4	5
Hvilepuls $y$	72	74	70	68	66

Finn $\bar{x}$ og $\bar{y}$ .

Sett opp avvikstabellen og finn $\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ .

Finn $\sum (x_i-\bar{x})^2$ og $\sum (y_i-\bar{y})^2$ .

Regn ut $r$ .

Tolk svaret. Kan vi si at trening senker hvilepulsen?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2 – Kovarians, standardavvik og måleenhet

Vi bruker butikktallene fra eksempel 1, der vi fant

$\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = 78, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2 = 168, \qquad \sum (y_i-\bar{y})^2 = 42$

a) Finn kovariansen $s_{xy}$ og standardavvikene $s_x$ og $s_y$ , og vis at
$r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$ gir det samme svaret som før.

b) Omsetningen føres om fra millioner kroner til kroner. Hva skjer med
$s_{xy}$ , og hva skjer med $r$ ?

a) Alle tre størrelsene deles på

n - 1 = 7

, siden de åtte butikkene er et
utvalg (kapittel 1.3).

Kovariansen — formelen tom, så med tall:

$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = \frac{78}{7} = 11{,}142\ldots$

Standardavvikene:

$s_x = \sqrt{\frac{168}{7}} = \sqrt{24} = 4{,}898\ldots$

$s_y = \sqrt{\frac{42}{7}} = \sqrt{6} = 2{,}449\ldots$

Produktet av de to blir et helt tall, fordi $24 \cdot 6 = 144$ :

$s_x \cdot s_y = \sqrt{24} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{144} = 12$

Nå setter vi inn:

$r = \frac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y} = \frac{78/7}{12} = \frac{78}{84} = 0{,}9285\ldots \approx 0{,}929$

Svar a): $\displaystyle s_{xy} = \frac{78}{7} \approx 11{,}14$ , $s_x = \sqrt{24} \approx 4{,}90$ og $s_y = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ — og $r \approx 0{,}929$ ,
nøyaktig som i eksempel 1.

b) Én million kroner er $1\,000\,000$ kroner, så hver $y$ -verdi ganges med
$10^6$ . Da ganges hvert avvik $y_i - \bar{y}$ med $10^6$ også.

Kovariansen inneholder avviket én gang, så den ganges med $10^6$ :

$s_{xy} = 11{,}142\ldots \cdot 10^6 \approx 11\,142\,857$

Standardavviket $s_y$ inneholder avviket én gang under rottegnet etter
kvadreringen, så også det ganges med $10^6$ :

$s_y = 2{,}449\ldots \cdot 10^6$

$s_x$ er uendret — vi har ikke rørt antall ansatte.

Korrelasjonen har $10^6$ både i telleren og i nevneren:

$r = \frac{11{,}142\ldots \cdot 10^6}{4{,}898\ldots \cdot 2{,}449\ldots \cdot 10^6} = \frac{11{,}142\ldots}{12} \approx 0{,}929$

Svar b): Kovariansen blir en million ganger større, mens $r$ er nøyaktig
det samme.

Her ser vi at kovariansen ikke kan brukes til å sammenligne to ulike
materialer — den avhenger av hvilken enhet vi måler i. Det er nettopp derfor vi
deler på $s_x \cdot s_y$ : divisjonen gjør tallet enhetsløst, og dermed
sammenlignbart.

Regneark. Legg

x

i kolonne A og

y

i kolonne B, og skriv i en ledig celle:

=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)

For butikkene i eksempel 1 svarer regnearket $0{,}9285714\ldots$ — nøyaktig
det samme som håndregningen.

GeoGebra.

L1 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
L2 = {3, 5, 4, 7, 6, 9, 8, 10}
Korrelasjonskoeffisient(L1, L2)

Kalkulator. De fleste kalkulatorer med statistikkmodus har $r$ under
regresjon; slå opp i bruksanvisningen hvilke taster som gjelder for din.

På eksamen er regnearket hovedverktøyet i Del 2. Regn likevel ett eksempel for
hånd i ny og ne — det er utregningen som forklarer hva tallet betyr.

📝Oppgave 2

Vurder hver av påstandene. Er de riktige? Begrunn.

« $r = 0{,}62$ betyr at $62\ \%$ av punktene ligger på linja.»

« $r = -0{,}95$ er en svakere sammenheng enn $r = 0{,}80$ , siden $-0{,}95 < 0{,}80$ .»

« $r$ endrer seg hvis vi bytter om hva som står på førsteaksen og andreaksen.»

« $r = 1{,}2$ betyr en ekstra sterk sammenheng.»

«Er $r$ nær $0$ , finnes det ingen sammenheng mellom variablene.»

NB: Fire ting

r

ikke sier

1. $r$ sier ikke hvor bratt linja er. To materialer kan begge ha $r = 1$ og
likevel ha helt ulike stigningstall. $r$ måler hvor godt punktene følger
linja, ikke hvor mye $y$ endrer seg.
2. $r$ sier ikke om formen er rett. En perfekt bue kan gi $r = 0$ .
3. $r$ tåler ikke uteliggere. Ett enkelt punkt langt ute kan dra $r$ fra
nær null til nær én — eller motsatt.
4. $r$ sier ingenting om årsak. Det er tema i kapittel 2.4.

Alle fire fellene har samme motgift: se på spredningsplottet.

✏️Eksempel 3 – Én uteligger snur konklusjonen

En nettbutikk har registrert hvor mange ganger hver kunde besøkte nettsiden i
løpet av en måned, og hvor mye kunden handlet for.

Besøk	2	3	3	4	4	5	5	6	6	7
Beløp (kr)	520	410	640	350	700	480	610	390	560	450

Så legges en ellevte kunde inn: en bedriftskunde med

28

besøk og

3\,100

kroner.

a) Hva er $r$ uten bedriftskunden, og hva er $r$ med?
b) Hvilken konklusjon ville en som bare så på $r$ , trekke?

c) Hva bør butikken gjøre?

a) Vi legger tallene i regnearket og bruker =KORRELASJON(...) på de to
utvalgene.

Uten bedriftskunden ( $n = 10$ ):

$r = -0{,}1855\ldots \approx -0{,}186$

Med bedriftskunden ( $n = 11$ ):

$r = 0{,}9635\ldots \approx 0{,}964$

Svar a): $r$ går fra $-0{,}186$ til $0{,}964$ når ett punkt legges til.

b) En som bare leste tallet $0{,}964$ , ville konkludert: «Sterk positiv
sammenheng — kunder som besøker siden ofte, handler for mye mer. Vi bør få folk
til å besøke siden oftere.»

Ser vi på figuren, holder ikke konklusjonen. De ti vanlige kundene viser ingen
sammenheng i det hele tatt; punktskyen er en klump. Hele korrelasjonen kommer
fra den ene bedriftskunden, som både besøker siden ofte og handler mye —
fordi det er en bedrift, ikke fordi besøkene fører til kjøp.

Svar b): At flere besøk gir større kjøp — en konklusjon som bygger på ett
eneste punkt.

c) Butikken bør gjøre tre ting, i denne rekkefølgen:

1. Se på figuren. Da oppdages uteliggeren med én gang.
2. Finne ut hva punktet er. Er det en tastefeil, skal det rettes. Er det en
ekte, men annerledes kunde, hører den ikke hjemme i samme materiale.
3. Rapportere begge tallene hvis kunden beholdes: « $r = 0{,}96$ for alle
$11$ kundene, men $r = -0{,}19$ for de $10$ privatkundene.»

Svar c): Skille bedriftskunder fra privatkunder og analysere gruppene hver
for seg.

Andre muligheter: Uteliggeren kan også håndteres ved å bruke en metode som
er robust mot enkeltpunkter, eller ved å samle inn flere bedriftskunder — én
enhet kan uansett aldri bære en konklusjon alene.

📝Oppgave 3

Del 2 (digitale verktøy). Tolv kommuner har oppgitt andelen av de voksne
som har fagbrev, og arbeidsledigheten.

Fagbrev (%)	18,2	19,5	20,1	21,4	22,0	22,8	23,5	24,1	25,0	26,2	27,4	28,6
Ledighet (%)	3,8	3,5	3,6	3,2	3,3	2,9	3,0	2,7	2,6	2,4	2,2	2,0

Lag et spredningsplott og finn $r$ . Rund av til tre desimaler.

Beskriv sammenhengen med ord.

En trettende kommune legges til: $34{,}5\ \%$ fagbrev og $4{,}6\ \%$ ledighet. Hva blir $r$ nå?

Forklar hvorfor ett punkt kan endre $r$ så mye.

Hva ville du gjort med den trettende kommunen?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4 – Samme $r$, ulik virkelighet

a) To modeller gir tallparene

$A: (1;\ 10{,}5),\ (2;\ 11),\ (3;\ 11{,}5),\ (4;\ 12),\ (5;\ 12{,}5)$
$B: (1;\ 15),\ (2;\ 20),\ (3;\ 25),\ (4;\ 30),\ (5;\ 35)$

Finn $r$ i begge og forklar hva det viser.

b) Boligmaterialet fra kapittel 2.1 hadde $r = 0{,}971$ for alle ti boligene.
Hva blir $r$ hvis vi bare ser på de fem boligene mellom $64$ og
$92\ \text{m}^2$ — altså $(64;\ 3{,}2)$ , $(70;\ 3{,}9)$ , $(78;\ 3{,}8)$ ,
$(85;\ 4{,}5)$ og $(92;\ 4{,}3)$ ?

a) I begge tilfellene ligger punktene nøyaktig på en rett linje: i A øker

y

med

0{,}5

hver gang

x

øker med

1

, i B øker

y

med

5

$r_A = 1 \qquad \text{og} \qquad r_B = 1$

Svar a): Begge har $r = 1$ , selv om linja i B er ti ganger så bratt.

Her ser vi at $r$ måler hvor godt punktene følger linja, ikke hvor mye $y$
endrer seg. Skal vi si noe om hvor mye $y$ endrer seg per enhet $x$ , trenger vi
stigningstallet — og det finner vi i kapittel 2.3.

b) Vi regner med regneark:

$r = 0{,}8689\ldots \approx 0{,}869$

Ingen tallverdi er endret — bare hvor bredt x spenner. Når materialet begrenses til de fem midterste boligene, faller r fra 0,971 til 0,869.

Svar b): $r$ faller fra $0{,}971$ til $0{,}869$ når vi bare beholder de fem
midterste boligene.

Hvorfor? Punktene ligger like langt fra linja som før — vi har ikke endret
ett eneste tall. Men $x$ -verdiene spenner nå bare over $28\ \text{m}^2$ i
stedet for $67$ . Da blir avvikene $x_i - \bar{x}$ små, mens den tilfeldige
variasjonen i pris er den samme. Støyen utgjør en større del av det vi måler,
og $r$ synker.

Slik leser du kritisk: En lav $r$ kan skyldes at utvalget dekker et for
smalt område, ikke at sammenhengen er svak. Spør alltid hvilket område
$x$ -verdiene dekker.

📝Oppgave 4

Del 1 (uten hjelpemidler). For hvert tilfelle: bestem

r

, eller forklar
hvorfor

r

ikke kan bestemmes.

x = 1, 2, 3, 4, 5

y = 3x - 2

x = 1, 2, 3, 4, 5

y = -0{,}2x + 9

x = 1, 2, 3, 4, 5

y = 4

for alle.

To materialer har $r_1 = 0{,}9$ og $r_2 = -0{,}9$ . Hvilket har den sterkeste lineære sammenhengen?

Et materiale har $r = 0{,}95$ . Hvor mye øker $y$ når $x$ øker med $1$ ?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). En by har talt sykkelturer og registrert
sykkelskader i ni år.

Sykkelturer (tusen)	120	135	148	160	178	195	210	232	255
Registrerte skader	42	44	47	46	51	54	55	60	63

Finn korrelasjonen mellom antall turer og antall skader.

En avis skriver: «Sykling er blitt farligere — skadene øker år for år.» Er slutningen holdbar?

Lag en ny kolonne med skader per $100\,000$ turer, og finn korrelasjonen mellom antall turer og denne raten.

Hva er nå konklusjonen, og hvorfor er den motsatt av avisens?

Hvilke forbehold må stå i en slik analyse?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

UndersøkelsesoppgaveDenne oppgaven krever at du undersøker kilder utenfor læreboka

Drøftingsoppgave. En elev skriver i en rapport: «Vi fant

r = 0{,}87

mellom antall timer lest og karakter. Sammenhengen er sterk, så lesing virker.»

Hvilke opplysninger mangler før $r$ -verdien kan vurderes?

Sett opp tre ulike forklaringer på et slikt funn, der bare den ene er «lesing virker».

Elevens materiale har $n = 8$ . Hvilken betydning har det?

Foreslå hvordan undersøkelsen kunne vært lagt opp for å si noe om årsak.

Skriv om elevens setning slik at den er dekkende for det som faktisk er målt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Begrep	Formel eller regel
Korrelasjonskoeffisienten	$r = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \cdot \sum (y_i-\bar{y})^2}}$
Med standardavvik	$r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$
Verdiområde	$-1 \le r \le 1$
Retning	Fortegnet til $r$
Styrke	Tallverdien $\lvert r \rvert$
Regneark	`=KORRELASJON(A2:A9;B2:B9)`
GeoGebra	`Korrelasjonskoeffisient(L1, L2)`

Framgangsmåte for hånd

1. Regn ut

\bar{x}

\bar{y}

.
2. Sett opp avvikstabellen med kolonnene

x_i-\bar{x}

y_i-\bar{y}

,
produktet og de to kvadratene.
3. Kontroller at begge avvikskolonnene summerer til

0

.
4. Sett sumradens tre tall inn i formelen.

Husk

n - 1

forkortes bort, så

\sigma

eller

s

gir samme

r

- $r$ er symmetrisk: det spiller ingen rolle hvilken variabel som kalles $x$ .
- $r$ er uten benevning og endres ikke av måleenhet.
- Én uteligger kan snu $r$ helt. Ett smalt $x$ -område kan senke $r$ uten at
sammenhengen er svakere.
- Se alltid på spredningsplottet.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.