2.1 Spredningsplott og korrelasjon

Svar a): Arealet er forklaringsvariabelen og skal stå på førsteaksen.
Prisen er responsvariabelen og står på andreaksen.

b) Vi bygger figuren i tre steg.

Steg 1 — velg aksene. Arealene ligger mellom $45$ og $112$, prisene mellom
$2{,}7$ og $5{,}2$. Vi lar førsteaksen gå fra $0$ til $120\ \text{m}^2$ med ett
tall per $10$, og andreaksen fra $0$ til $6$ millioner med ett tall per million.

Steg 2 — sett av punktene. Første bolig gir punktet $(45;\ 2{,}7)$, den
neste $(52;\ 2{,}8)$, og slik videre til $(112;\ 5{,}2)$. Ti par gir ti punkter.

Steg 3 — merk aksene. «Bruksareal (m²)» og «Pris (mill. kr)» skrives på
aksene, slik at leseren vet hva tallene er. Punktene bindes ikke sammen.

Figuren under viser resultatet.

Ett punkt per bolig. Punktene stiger mot høyre — større bolig, høyere pris — og de ligger tett, men ikke nøyaktig, rundt en rett linje.

c) Punktene stiger fra venstre mot høyre, og de ligger nokså tett rundt en
tenkt rett linje. Store boliger er altså dyrere enn små — men ikke helt
regelmessig: boligen på $70\ \text{m}^2$ kostet $3{,}9$ millioner, mens den på
$78\ \text{m}^2$ kostet $3{,}8$.

For å anslå stigningen bruker vi de to ytterste boligene:

$$\frac{5{,}2 - 2{,}7}{112 - 45} = \frac{2{,}5}{67} = 0{,}0373\ldots$$

Tallet står i millioner kroner per kvadratmeter. Vi gjør det om:

$$0{,}0373 \text{ mill. kr} = 37\,300 \text{ kr}$$

Svar c): Sammenhengen er positiv og nesten lineær. Prisen stiger med
omtrent $37\,000$ kroner per kvadratmeter.

NB: Anslaget bygger på bare to av de ti boligene — nettopp de to som ligger
ytterst, og som derfor slår hardest ut hvis en av dem er spesiell. I kapittel
2.3 finner vi stigningstallet som bruker alle punktene.

Vi tar dem i tur og orden, med de tre spørsmålene i samme rekkefølge hver gang.

Panel A. Retning: positiv — punktene stiger mot høyre. Form: rett linje.
Styrke: sterk; punktene ligger tett inntil linjen. Her kan vi anslå $y$ ganske
presist når vi kjenner $x$.

Panel B. Retning: negativ. Form: rett linje. Styrke: moderat; punktene
ligger spredt, men fallet er tydelig. Retningen er til å stole på; det enkelte
anslaget er det ikke.

Panel C. Retning: ingen. Punktene stiger verken eller faller. Form og
styrke er det da ikke mye å si om. Å kjenne $x$ hjelper oss ikke til å gjette
$y$.

Panel D. Retning: stigende, men avtakende. Form: krum — først bratt,
så flatere. Styrke: sterk; punktene ligger tett rundt buen.

Svar: A sterk positiv og lineær, B moderat negativ og lineær, C ingen
sammenheng, D sterk, men ikke lineær.

Her ser vi at «sterk» og «lineær» er to forskjellige ting. Punktene i panel D
ligger like tett rundt den krumme banen sin som punktene i A ligger rundt den rette
linja si — sammenhengen er altså like sterk. Men den er ikke lineær: tvinger vi en
rett linje gjennom D, blir avvikene omtrent fire ganger så store som når vi følger
buen. «Sterk» sier hvor tett punktene ligger rundt mønsteret; «lineær» sier hvilket
mønster det er.

=KORRELASJON(A2:A11;B2:B11)

$$r = 0{,}9713\ldots \approx 0{,}971$$
I GeoGebra gjør vi det samme med tallene i regnearkfanen, eller direkte med
kommandolinjene:

L1 = {45, 52, 58, 64, 70, 78, 85, 92, 100, 112}
L2 = {2.7, 2.8, 3.4, 3.2, 3.9, 3.8, 4.5, 4.3, 5.1, 5.2}
Korrelasjonskoeffisient(L1, L2)

GeoGebra gir det samme tallet, $0{,}9713$.

Svar: $r \approx 0{,}971$. Sammenhengen mellom areal og pris er sterk,

positiv og lineær.

NB: $r$ har ingen benevning. Det står ikke «$0{,}971$ kroner» eller
«$0{,}971$ kvadratmeter» — $r$ er et rent forholdstall, og det endrer seg ikke

om vi bytter fra millioner kroner til kroner, eller fra kvadratmeter til

kvadratfot.

=KORRELASJON(A2:A10;B2:B10)

Svaret er

$$r = 0$$

Hvorfor det blir nøyaktig null: gjennomsnittet av gjødselmengdene er $5$, og
tabellen er speilsymmetrisk om $x = 5$. Til hvert avvik $x - 5 = 2$ finnes
et like stort avvik $x - 5 = -2$ med samme avling. De to bidragene til
telleren i $r$ er like store og har motsatt fortegn, og summen blir null.

Svar a): $r = 0$.

b) Nei — tvert imot. Tegner vi spredningsplottet, ser vi en tydelig bue:
avlingen stiger til $2\,500$ kg per dekar ved $5$ kg gjødsel, og synker
deretter like jevnt igjen. For mye gjødsel skader avlingen.

Sammenhengen er så tett som den kan bli — hvert punkt ligger nøyaktig på buen
$y = 25 - (x-5)^2$ — men den er ikke lineær, og $r$ måler bare det lineære.

Sammenhengen er så tett som den kan bli — hvert punkt ligger nøyaktig på buen — men den er ikke lineær, og derfor er r = 0. Speilsymmetrien om x = 5 er grunnen til at telleren i r blir null.

Svar b): Nei. $r = 0$ betyr at ingen rett linje beskriver punktene, ikke at
gjødsel er uten virkning. Her er virkningen krum, og den ville en rett
regresjonslinje bomme fullstendig på.

Andre muligheter: Skal en slik sammenheng tallfestes, kan vi bruke
kvadratisk regresjon i stedet, eller dele materialet i to — $1$–$5$ kg og
$5$–$9$ kg — og regne korrelasjonen i hver del for seg. I hver halvdel er
sammenhengen nesten perfekt lineær.