1.4 Frekvenstabeller og klassedelte data

a) Vi tegner rammen først og fyller kolonne for kolonne. Den kumulative
kolonnen fylles ovenfra og nedover: $3$, så $3 + 5 = 8$, så $8 + 8 = 16$, og så
videre.

Antall økter $x$	Frekvens $f$	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens	Kumulativ relativ
0	3	0,100	3	0,100
1	5	0,167	8	0,267
2	8	0,267	16	0,533
3	7	0,233	23	0,767
4	4	0,133	27	0,900
5	3	0,100	30	1,000
Sum	30	1,000

(Kontroll: den nederste kumulative frekvensen er $30$, altså alle elevene, og den
kumulative relative frekvensen er $1{,}000$. Blir den ikke det, er det en
regnefeil i tabellen.)
b) «Høyst to ganger» er nettopp det den kumulative frekvensen svarer på. Vi
leser av raden for $x = 2$: kumulativ frekvens $16$, kumulativ relativ frekvens
$0{,}533$.
$$\frac{16}{30} = 0{,}5333\ldots \approx 53{,}3\ \%$$
Svar b): $53{,}3\ \%$ av elevene trente høyst to ganger.

c) Vi kunne skrevet ut alle $30$ tallene og summert dem, men det er unødvendig:
de $8$ elevene med to økter bidrar med $8 \cdot 2$ til summen. Vi ganger derfor
hver verdi med frekvensen sin:

$$\bar{x} = \frac{3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 7 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{30}$$
$$\bar{x} = \frac{0 + 5 + 16 + 21 + 16 + 15}{30} = \frac{73}{30} = 2{,}433\ldots \approx 2{,}4$$
Vi deler på $30$ fordi det er $30$ elever — ikke på $6$, som er antall verdier i

tabellen. Det er den vanligste feilen i denne utregningen.

Svar c): Gjennomsnittet er $\approx 2{,}4$ økter per elev.

a) Vi utvider tabellen med klassemidtpunktene og produktene $f \cdot x$.
Kolonnen med produkter fylles rad for rad, og vi venter med å summere til alle
radene står der:

Klasse	Midtpunkt $x$	Frekvens $f$	$f \cdot x$
$[0, 2\rangle$	1	8	8
$[2, 4\rangle$	3	18	54
$[4, 6\rangle$	5	24	120
$[6, 8\rangle$	7	16	112
$[8, 10\rangle$	9	10	90
$[10, 12\rangle$	11	4	44
Sum	80	428

Formelen først, tom:
$$\bar{x} = \frac{\text{summen av } f \cdot x}{n}$$
og så med tall:
$$\bar{x} = \frac{428}{80} = 5{,}35$$
Svar a): Gjennomsnittlig leksetid er $\approx 5{,}4$ timer per uke.
NB: Dette er en tilnærmet verdi. Hadde vi hatt alle de $80$ rå tallene, ville
vi fått et litt annet svar — vi har regnet som om alle $24$ elevene i
$[4, 6\rangle$ brukte nøyaktig $5$ timer.

b) Typeklassen er klassen med størst frekvens: $[4, 6\rangle$ med $24$ elever.

Medianklassen finner vi med den kumulative kolonnen. Med $n = 80$ ligger

medianen mellom observasjon nr. $40$ og nr. $41$:

Klasse	$[0, 2\rangle$	$[2, 4\rangle$	$[4, 6\rangle$	$[6, 8\rangle$	$[8, 10\rangle$	$[10, 12\rangle$
Kumulativ	8	26	50	66	76	80

Etter klassen $[2, 4\rangle$ har vi kommet til $26$ elever — for få. Etter

$[4, 6\rangle$ er vi på $50$, altså forbi $40$. Medianen ligger derfor i klassen
$[4, 6\rangle$.
Svar b): Typeklassen og medianklassen er begge $[4, 6\rangle$.

a) Vi går inn på $50\ \%$ på den loddrette aksen, følger vannrett bort til
kurven, og ned til den vannrette aksen. Vi lander på omtrent $5{,}2$ timer.

b) Vi gjør det samme regnestykket algebraisk. Medianen er observasjon nr. $40$
av $80$. Etter klassen $[2, 4\rangle$ har vi $26$ observasjoner, så vi mangler

$$40 - 26 = 14 \text{ observasjoner}$$

Disse $14$ skal hentes fra klassen $[4, 6\rangle$, som inneholder $24$
observasjoner. Vi antar at de ligger jevnt fordelt over klassen (det er nøyaktig
det samme som å tegne en rett linje mellom punktene på summekurven). Da må vi gå

$$\frac{14}{24} \text{ av klassebredden } 2 = \frac{14}{24} \cdot 2 = 1{,}1666\ldots$$

inn i klassen, som starter på $4$:

$$\text{median} \approx 4 + 1{,}17 = 5{,}17 \approx 5{,}2 \text{ timer}$$

Svar b): $\approx 5{,}2$ timer — det samme som avlesningen i a). Avlesning og
utregning er to veier til det samme svaret, og den ene kontrollerer den andre.

c) «Mindre enn $8$ timer» er den øvre grensen til klassen $[6, 8\rangle$. Den
kumulative relative frekvensen der er $\displaystyle \frac{66}{80} = 0{,}825$.

Svar c): $82{,}5\ \%$ brukte mindre enn $8$ timer på lekser.

Steg 1 — gjennomsnittet.

$$\bar{x} = \frac{2 \cdot 0 + 7 \cdot 1 + 10 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 2 \cdot 4}{25} = \frac{47}{25} = 1{,}88$$

Steg 2 — avvikstabellen. Nå med en ekstra kolonne for frekvensen:

$x$	$f$	$x - \bar{x}$	$(x - \bar{x})^2$	$f(x - \bar{x})^2$
0	2	$-1{,}88$	3,5344	7,0688
1	7	$-0{,}88$	0,7744	5,4208
2	10	0,12	0,0144	0,1440
3	4	1,12	1,2544	5,0176
4	2	2,12	4,4944	8,9888
Sum	25	26,6400

Steg 3 — standardavviket. Borettslaget er hele materialet vi vil beskrive —
vi skal ikke si noe om andre borettslag — så vi deler på $n$ og bruker $\sigma$:
$$\sigma = \sqrt{\frac{26{,}64}{25}} = \sqrt{1{,}0656} = 1{,}0323\ldots \approx 1{,}03$$
Svar: Gjennomsnittet er $1{,}88$ barn og standardavviket $\approx 1{,}03$ barn.
(Hadde de $25$ familiene vært et utvalg fra hele kommunen, ville vi delt på
$n - 1 = 24$ og fått $\displaystyle s = \sqrt{\frac{26{,}64}{24}} \approx 1{,}05$ barn.)
NB: Rund av til slutt. Regner du med $\bar{x} = 1{,}9$ i avvikskolonnen, får

du et merkbart annet standardavvik.