1.3 Spredningsmål | Statistikk

Variasjonsbredde, kvartiler og kvartilbredde, varians og standardavvik regnet for hånd og med regneark.

45 min

6 oppgaver

VariasjonsbreddeKvartilerStandardavvik

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Gjennomsnittet er ikke nok

To fotballag har spilt åtte kamper hver. Antall mål per kamp var

Gjennomsnitt
Lag A	2	3	2	3	2	3	2	3	2,5
Lag B	0	6	1	5	0	6	1	1	2,5

Begge lagene har nøyaktig samme gjennomsnitt,

2{,}5

mål per kamp. Likevel er
lagene helt forskjellige: lag A scorer to eller tre mål hver eneste kamp, mens
lag B enten scorer nesten ingenting eller renner over.

Forskjellen er spredningen — hvor mye observasjonene varierer rundt midten.
Et sentralmål alene er derfor aldri nok. Vi trenger alltid et spredningsmål
ved siden av.

I dette kapittelet møter du fire spredningsmål: variasjonsbredde, kvartilbredde,
varians og standardavvik.

Variasjonsbredde

\text{variasjonsbredde} = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}

✏️Eksempel 1 – Variasjonsbredde for de to lagene

Finn variasjonsbredden for lag A og lag B i tabellen over, og forklar hva
tallene forteller.

Lag A: Vi sorterer for å se ytterpunktene:

2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

$\text{variasjonsbredde} = x_{\text{maks}} - x_{\text{min}} = 3 - 2 = 1$

Lag B: Sortert: $0, 0, 1, 1, 1, 5, 6, 6$ .

$\text{variasjonsbredde} = 6 - 0 = 6$

Svar: Lag A har variasjonsbredde $1$ mål, lag B har $6$ mål.

Her ser vi at de to lagene, som hadde identisk gjennomsnitt, skiller seg
kraftig når vi ser på spredningen. Lag B er seks ganger så «uforutsigbart» målt
på denne måten.

NB: Variasjonsbredden bryr seg ikke om hva som skjer mellom ytterpunktene.
Bytter vi ut lag B sine åtte kamper med $0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 6$ , er
variasjonsbredden fortsatt $6$ — selv om laget nå er langt jevnere. Det er
grunnen til at vi trenger spredningsmål som bruker alle observasjonene.

📝Oppgave 1

Middagstemperaturen ble målt sju dager på rad i to byer (i $^\circ$ C):

By A	3	5	4	6	5	4	8
By B	$-4$	12	1	9	$-2$	10	9

Finn gjennomsnittstemperaturen i hver by.

Finn variasjonsbredden i hver by.

Hvilken by vil du si har det mest stabile været? Begrunn med tallene.

Hvorfor holder det ikke å oppgi gjennomsnittstemperaturen alene i en værmelding?

Løs oppgaven

Kvartiler og kvartilbredde

Q_1

✏️Eksempel 2 – Kvartiler for ventetid

Elleve pasienter ble spurt hvor mange minutter de ventet på legevakten:

$12,\quad 9,\quad 35,\quad 4,\quad 15,\quad 22,\quad 7,\quad 14,\quad 6,\quad 18,\quad 11$

Finn medianen, kvartilene, kvartilbredden og variasjonsbredden.

Steg 1 — sorter. Uten dette steget blir alt etterpå feil:

$4,\quad 6,\quad 7,\quad 9,\quad 11,\quad \mathbf{12},\quad 14,\quad 15,\quad 18,\quad 22,\quad 35$

Steg 2 — medianen. Her er $n = 11$ , et oddetall, så medianen ligger på plass

$\frac{n+1}{2} = \frac{11+1}{2} = 6$

Verdien på sjette plass er $Q_2 = 12$ minutter.

Steg 3 — nedre kvartil. Den nedre halvdelen er de fem verdiene foran
medianen (medianen selv holdes utenfor):

$4,\quad 6,\quad \mathbf{7},\quad 9,\quad 11 \qquad \Rightarrow \qquad Q_1 = 7$

Steg 4 — øvre kvartil. Den øvre halvdelen er de fem verdiene etter medianen:

$14,\quad 15,\quad \mathbf{18},\quad 22,\quad 35 \qquad \Rightarrow \qquad Q_3 = 18$

Steg 5 — bredder.

$\text{kvartilbredde} = Q_3 - Q_1 = 18 - 7 = 11$

$\text{variasjonsbredde} = 35 - 4 = 31$

En tallinje merket ventetid i minutter fra 0 til 36. De elleve sorterte ventetidene 4, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 22 og 35 er markert som svarte prikker. Tre loddrette streker er merket Q1 lik 7 og Q3 lik 18 i blått og Q2 lik 12 i grønt. Under tallinja ligger to måletreker: en blå fra 7 til 18 merket 11 og merket kvartilbredde, og en grå fra 4 til 35 merket 31 og merket variasjonsbredde.

Kvartilene deler materialet i fire. Den ene lange ventetiden på 35 minutter blåser opp variasjonsbredden til 31 minutter, mens kvartilbredden på 11 minutter knapt merker den.

Svar: $Q_1 = 7$ , $Q_2 = 12$ , $Q_3 = 18$ minutter. Kvartilbredden er $11$
minutter og variasjonsbredden $31$ minutter.

Tolkning: Halvparten av pasientene ventet mellom $7$ og $18$ minutter. Den
store variasjonsbredden skyldes i hovedsak den ene som ventet $35$ minutter —
kvartilbredden merker knapt den observasjonen.

NB: Verktøy kan gi andre kvartiler enn du gjør for hånd

Det finnes flere måter å plassere kvartilene på når $n$ ikke er delelig med
fire. Metoden over er den vi bruker for hånd. Regneark (KVARTIL) og GeoGebra
bruker en metode som regner seg fram til en verdi mellom to observasjoner, og
kan derfor gi et litt annet tall: for ventetidene over gir regnearket
$Q_1 = 8$ og $Q_3 = 16{,}5$ , mens vi for hånd fikk $7$ og $18$ .

Ingen av delene er feil — det er to ulike definisjoner. Du må bare si hvilken
du har brukt, og bruke den samme hele veien når du sammenligner
datamaterialer.

📝Oppgave 2

Tolv elever fikk disse poengsummene på en prøve:

$21,\quad 33,\quad 15,\quad 24,\quad 45,\quad 19,\quad 27,\quad 12,\quad 30,\quad 22,\quad 25,\quad 18$

Gjør den samme oppgaven som i eksempel 2. Bruk metoden for hånd.

Sorter materialet og finn medianen.

Finn $Q_1$ .

Finn $Q_3$ .

Finn kvartilbredden og variasjonsbredden.

Forklar hvorfor de to breddene er så ulike her.

Løs oppgaven

Varians og standardavvik

Variasjonsbredden bruker to observasjoner, kvartilbredden bruker to kvartiler.
Nå vil vi ha et spredningsmål som bruker alle observasjonene.

Tanken er enkel: mål hvor langt hver observasjon ligger fra gjennomsnittet, og
finn den typiske avstanden. Avstanden fra gjennomsnittet kaller vi avviket:

$\text{avvik} = x_i - \bar{x}$

Men her møter vi et problem. Legger vi sammen avvikene, blir summen alltid $0$ —
de negative avvikene spiser opp de positive. (Det er faktisk en av definisjonene
på gjennomsnittet: det er punktet der avvikene veier hverandre opp.)

Løsningen er å kvadrere avvikene før vi summerer. Da blir alle ledd positive,
og store avvik teller ekstra mye. Til slutt tar vi kvadratroten, slik at svaret
får samme enhet som observasjonene igjen.

Varians og standardavvik

n

Spør hva tallene dine er:

- «Dette er alle jeg vil si noe om» — de $28$ elevene i klassen, alle $24$
timene i døgnet: bruk $\sigma$ (del på $n$ ).
- «Dette er et utvalg, og jeg vil si noe om alle» — $80$ av $640$ elever,
$200$ av landets husstander: bruk $s$ (del på $n - 1$ ).

Oppgaveteksten sier som regel hvilken situasjon du er i. Er den uklar, skriver
du hvilken du har valgt og hvorfor. Er $n$ stor, betyr valget lite: for
$n = 100$ skiller $\sigma$ og $s$ seg med en halv prosent.

✏️Eksempel 3 – Standardavvik for hånd

Fem laksefileter fra samme parti ble veid. Vektene var (i gram)

$48,\quad 52,\quad 50,\quad 46,\quad 54$

a) Finn standardavviket $\sigma$ når vi ser på disse fem som hele materialet.

b) Finn utvalgsstandardavviket $s$ når de fem er et utvalg fra hele partiet.

Steg 1 — gjennomsnittet. Standardavviket måler avstand fra gjennomsnittet,
så det må vi ha først:

$\bar{x} = \frac{48 + 52 + 50 + 46 + 54}{5} = \frac{250}{5} = 50$

Vi deler på $5$ fordi det er $5$ fileter.

Steg 2 — avvikstabellen. Vi setter opp én rad per observasjon, og fyller
kolonne for kolonne:

$x_i$	$x_i - \bar{x}$	$(x_i - \bar{x})^2$
48	$48 - 50 = -2$	$(-2)^2 = 4$
52	$52 - 50 = 2$	$2^2 = 4$
50	$50 - 50 = 0$	$0^2 = 0$
46	$46 - 50 = -4$	$(-4)^2 = 16$
54	$54 - 50 = 4$	$4^2 = 16$
Sum	0	40

(Kontroll som har et poeng: summen i midtkolonnen skal alltid bli $0$ . Blir den
ikke det, har vi regnet feil gjennomsnitt eller feil avvik — og da er det ingen
vits i å gå videre.)

En tallinje merket vekt i gram fra 44 til 56, med de fem filetvektene 46, 48, 50, 52 og 54 markert som blå prikker. En rød stiplet loddrett linje står ved gjennomsnittet 50 gram. Over tallinja går fire røde piler ut fra den stiplede linja, én til hver av de fire prikkene som ikke ligger i 50, merket minus 4, minus 2, pluss 2 og pluss 4. Pilene står parvis i samme høyde — minus 4 og pluss 4 øverst, minus 2 og pluss 2 under — så hvert par ser ut som én dobbeltpil gjennom gjennomsnittslinja. Under tallinja er avvikene tegnet som kvadrater med sidekant lik avviket: to store blå kvadrater med side 4 og areal 16, og inni dem to mindre oransje kvadrater med side 2 og areal 4. Arealene 16, 4, 4 og 16 er skrevet inn. Nederst står: avvikene summerer til 0, arealene til 40.

Avviket er avstanden fra gjennomsnittet, og kvadratet har avviket som sidekant. Avvikene selv summerer til null — arealene gjør det ikke, og det er derfor vi kvadrerer før vi summerer.
Steg 3 a) — standardavviket $\sigma$ . Formelen først, tom:

\sigma = \sqrt{\frac{\text{summen av kvadrerte avvik}}{n}}

og så med tall:
$\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} = 2{,}828\ldots \approx 2{,}83$
Svar a): $\sigma \approx 2{,}83$ gram.

Steg 3 b) — utvalgsstandardavviket $s$ . Samme sum over brøkstreken, men vi

deler på $n - 1 = 4$ :

$s = \sqrt{\frac{40}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{40}{4}} = \sqrt{10} = 3{,}162\ldots \approx 3{,}16$

Svar b): $s \approx 3{,}16$ gram.

Her ser vi at $s > \sigma$ , slik det alltid er: vi deler den samme summen på

et mindre tall. Forskjellen er stor her fordi $n$ bare er $5$ .

Alle kalkulatorer med statistikkmeny og alle regneark har egne funksjoner for
standardavvik — og de har to av dem, én for hver formel:

Regneark	GeoGebra
$\sigma$ (del på $n$ )	`=STDAV.P(område)`	`sd(liste)`
$s$ (del på $n-1$ )	`=STDAV.S(område)`	`stdevsample(liste)`

Bokstaven P står for populasjon og S for stikkprøve (utvalg). Velger du feil
funksjon, får du et tall som ser riktig ut, men som svarer på et annet spørsmål.
Skriv likevel opp formelen og avvikstabellen når oppgaven ber om utregning —

verktøyet gir svaret, føringen viser at du vet hva svaret betyr.

📝Oppgave 3

Seks elever i en klasse har skostørrelsene

$38,\quad 40,\quad 41,\quad 39,\quad 42,\quad 40$

Gjør den samme utregningen som i eksempel 3. Sett opp avvikstabellen.

Finn gjennomsnittet.

Sett opp avvikstabellen og finn summen av de kvadrerte avvikene.

Finn $\sigma$ når de seks er hele materialet. Rund av til to desimaler.

Finn $s$ når de seks er et utvalg fra hele skolen. Rund av til to desimaler.

Hvorfor skal summen i midtkolonnen bli null?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4 – Å sammenligne to datamaterialer

To butikker i samme kjede talte antall kunder hver dag i én uke:

man	tir	ons	tor	fre	lør	søn
Butikk A	102	98	105	101	99	103	100
Butikk B	70	135	88	150	62	120	83

Begge butikkene hadde

708

kunder i løpet av uka.
a) Finn gjennomsnitt og standardavvik

\sigma

for hver butikk.
b) Hvilke konsekvenser har forskjellen for hvordan butikkene bør bemannes?

a) Gjennomsnittet er det samme for begge, siden begge hadde

708

kunder på
sju dager:

$\bar{x} = \frac{708}{7} = 101{,}14\ldots \approx 101{,}1 \text{ kunder per dag}$

Standardavvikene regner vi med STDAV.P i regneark (vi ser på uka som hele
materialet vi vil beskrive):

$\sigma_A \approx 2{,}23 \qquad \sigma_B \approx 31{,}38$

Svar a): Begge butikkene har $\approx 101{,}1$ kunder per dag i gjennomsnitt.
Standardavviket er $\approx 2{,}2$ kunder i butikk A og $\approx 31{,}4$ kunder i
butikk B.

b) Vi forklarer konklusjonen med tallene:

I butikk A ligger alle dagene innenfor $98$ – $105$ kunder — et spenn på bare $7$
kunder. To standardavvik er $2 \cdot 2{,}23 = 4{,}46$ , så alle sju dagene ligger
innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet ( $101{,}1 \pm 4{,}5$ , altså fra
$96{,}7$ til $105{,}6$ ). Bemanningen kan være den samme hver dag.

I butikk B svinger dagene fra $62$ til $150$ kunder. Standardavviket på $31{,}4$
er nesten en tredjedel av gjennomsnittet. Setter butikk B opp samme bemanning
hver dag, står de med for mange ansatte på mandag og fredag og for få på tirsdag
og torsdag.

Samme gjennomsnitt, helt ulikt bemanningsbehov. Butikk A holder seg innenfor et bånd på ni kunder, butikk B innenfor et på 125 — og det er båndbredden, ikke gjennomsnittet, som avgjør hvor mange som må være på jobb.

Svar b): Butikk A kan bemanne likt hver dag; butikk B må bemanne etter
ukedag. Gjennomsnittet alene ville skjult hele forskjellen.

Andre muligheter: Butikk B kunne også beskrives med kvartilbredden
( $Q_3 - Q_1 = 135 - 70 = 65$ kunder), eller med to gjennomsnitt — ett for
hverdager og ett for helg — hvis mønsteret gjentar seg fra uke til uke.

📝Oppgave 4

Et datamateriale består av tallene

$10,\quad 12,\quad 14,\quad 16,\quad 18$

Gjennomsnittet er $14$ og standardavviket er $\sigma = 2{,}83$ (avrundet).

Legg $5$ til hver verdi. Hva blir det nye gjennomsnittet?

Hva blir standardavviket etter at du har lagt til $5$ ? Forklar uten å regne alt på nytt.

Gang i stedet hver verdi med $2$ . Hva blir gjennomsnittet og standardavviket?

En elev sier: «Standardavviket kan aldri bli negativt.» Har eleven rett?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Del 2 (digitale verktøy). En nettbutikk har registrert leveringstiden i
dager for

20

bestillinger:

$2,\ 3,\ 2,\ 4,\ 3,\ 2,\ 5,\ 3,\ 4,\ 2,\ 3,\ 6,\ 4,\ 3,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 14$

De $20$ bestillingene er et utvalg fra alle bestillingene i året.

Finn gjennomsnitt, median og kvartilbredde med regneark.

Finn standardavviket. Hvilken av funksjonene STDAV.P og STDAV.S skal du bruke her, og hvorfor?

Fjern observasjonen $14$ og regn ut gjennomsnitt, median og $s$ på nytt. Hvilke av målene endrer seg mest?

Butikken lover «levering innen $5$ dager». Hvor stor andel av bestillingene i utvalget holdt løftet?

Butikken vil oppgi ett tall for leveringstiden på nettsiden. Hva bør de oppgi, og hva bør de eventuelt si i tillegg?

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Drøftingsoppgave. To bedrifter tilbyr deg jobb. Du får se årslønnen (i tusen
kroner) til fem ansatte i hver bedrift:

Bedrift 1	480	490	500	510	520
Bedrift 2	380	420	500	580	620

Finn gjennomsnitt og median i hver bedrift.

Finn $\sigma$ for hver bedrift (de fem er alle vi har tall for). Rund av til to desimaler.

Hva forteller standardavvikene om de to bedriftene?

Hvilken bedrift ville du valgt, og hvilken tilleggsinformasjon ville du bedt om først?

Bedrift 2 skriver i annonsen: «Hos oss tjener de ansatte i gjennomsnitt $500\ 000$ kroner — akkurat som hos konkurrenten.» Er det en dekkende beskrivelse?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

Spredningsmål	Formel	Bruker	Robust mot uteliggere?
Variasjonsbredde	$x_{\text{maks}} - x_{\text{min}}$	2 observasjoner	Nei
Kvartilbredde	$Q_3 - Q_1$	midterste $50\ \%$	Ja
Varians	$\displaystyle \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2$	alle	Nei
Standardavvik	$\sqrt{\text{varians}}$	alle	Nei

- Kvartilene deler et sortert materiale i fire like store deler.

Q_1

er
medianen i nedre halvdel,

Q_3

er medianen i øvre halvdel.
- Avvikene

x_i - \bar{x}

summerer seg alltid til

0

. Derfor kvadrerer vi
dem før vi summerer — og tar kvadratroten til slutt, så enheten stemmer igjen.
- $\sigma$ deler på $n$ (hele materialet), $s$ deler på $n - 1$ (utvalg

som skal si noe om en større populasjon). $s$ er alltid størst. I regneark:
STDAV.P og STDAV.S.
- Å sammenligne to materialer: oppgi alltid både et sentralmål og et
spredningsmål, og forklar konklusjonen med tallene.

Husk

- Sjekk at avvikene summerer seg til

0

før du går videre.
- Standardavviket er aldri negativt. Er

\sigma = 0

, er alle observasjonene like.
- Å legge det samme tallet til alle observasjonene endrer ikke spredningen.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.