1.2 Sentralmål

Hva vet vi? Åtte observasjoner. Hva må vi finne? Gjennomsnittet $\bar{x}$.

Vi skriver formelen først, tom:

$$\bar{x} = \frac{\text{summen av observasjonene}}{\text{antall observasjoner}}$$

Så setter vi inn. Hele plusstykket står over brøkstreken før vi regner det ut —
da ser vi at ingen observasjon er glemt:

$$\bar{x} = \frac{12 + 25 + 18 + 32 + 15 + 22 + 40 + 20}{8}$$

Vi deler på $8$ fordi det er $8$ elever. Så legger vi sammen over brøkstreken:

$$\bar{x} = \frac{184}{8} = 23$$

Svar: Gjennomsnittlig reisetid er $23$ minutter.

Kontroll som har et poeng: Den korteste reisetiden er $12$ og den lengste er
$40$. Gjennomsnittet må ligge mellom disse to — og $23$ gjør det. Et gjennomsnitt
utenfor $[12, 40]$ ville vært en regnefeil, uansett hvor pent det så ut.

a) Først sorterer vi. Dette steget hopper mange over, og da blir svaret feil:

$$3,\quad 4,\quad 4,\quad \mathbf{5},\quad 7,\quad 8,\quad 9$$

Her er $n = 7$, som er et oddetall. Medianen ligger på plass nummer

$$\frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Verdien på fjerde plass er $5$.

Svar: Medianen er $5$ treninger.

(Kontroll: det står tre verdier foran og tre bak — like mange på hver side.)

b) Vi sorterer:

$$12,\quad 15,\quad 18,\quad \mathbf{20},\quad \mathbf{22},\quad 25,\quad 32,\quad 40$$

Her er $n = 8$, som er et partall. Da finnes det ingen midterste verdi — det er
to av dem, på plass $\displaystyle \frac{8}{2} = 4$ og plass $5$. Medianen er gjennomsnittet av
disse to:

$$\text{median} = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Svar: Medianen er $21$ minutter.

Her ser vi at medianen ($21$) og gjennomsnittet ($23$) ikke er like. De svarer
på ulike spørsmål: gjennomsnittet deler alt likt, medianen står midt i køen.

a) Gjennomsnittet:

$$\bar{x} = \frac{420 + 440 + 455 + 460 + 470 + 485 + 500 + 520 + 1450}{9} = \frac{5200}{9} = 577{,}7\ldots \approx 577{,}8$$

Vi deler på $9$ fordi det er $9$ ansatte.

Medianen: materialet er allerede sortert, og $n = 9$ er et oddetall. Medianen
ligger på plass $\displaystyle \frac{9+1}{2} = 5$, altså

$$\text{median} = 470$$

Materialet har ikke noe typetall — alle ni lønningene er forskjellige.

Svar a): Gjennomsnittet er $\approx 577{,}8$ tusen kroner, medianen er $470$
tusen kroner.

b) Påstanden er sann: regnestykket stemmer. Men den er ikke dekkende.

Her ser vi hvorfor: $8$ av de $9$ ansatte tjener mindre enn gjennomsnittet.
Den ene lønnen på $1450$ trekker gjennomsnittet kraftig opp, fordi gjennomsnittet
regner med selve tallverdien til hver observasjon. En slik observasjon, som ligger
langt fra resten, kaller vi en uteligger (ekstremverdi).

Medianen merker knapt uteliggeren: bytter vi $1450$ mot $2450$, blir medianen
fortsatt $470$, mens gjennomsnittet stiger til over $688$. Vi sier at medianen er
robust mot uteliggere.

Én uteligger flytter gjennomsnittet, men nesten ikke medianen. Gjennomsnittet havner til høyre for åtte av de ni lønningene — påstanden i stillingsannonsen er sann, men ikke dekkende.

Svar b): Sann, men ikke dekkende. En søker som vil vite hva hun kan forvente
å tjene, er bedre tjent med medianen $470$ tusen kroner.

Andre muligheter: Firmaet kunne oppgitt begge tallene, eller oppgitt
gjennomsnittet uten lederlønnen — $468{,}75$ tusen kroner — så lenge det står
tydelig hvem som er tatt med.

a) Fordelingen er høyreskjev: de fleste ligger mellom $400$ og $600$
tusen, men noen få ligger helt ute på $1100$ og $1300$ tusen. Gjennomsnittet
regner med selve tallverdiene, og de store verdiene drar summen opp. Medianen
teller bare hvor mange som ligger på hver side, og flytter seg derfor knapt.

b) Vi leser av søylene til venstre for den røde linjen ved $603{,}75$:
søylene $400$–$500$ og $500$–$600$ gir $14 + 12 = 26$ ansatte, og i søylen
$600$–$700$ ligger én ansatt like under $603{,}75$ (lønnen $600$). Til sammen

$$26 + 1 = 27 \text{ ansatte}$$

$$\frac{27}{40} = 0{,}675 = 67{,}5\ \% \approx 68\ \%$$

Svar b): $27$ av $40$ ansatte, altså nesten $7$ av $10$, tjener mindre enn
gjennomsnittet.

c) For medianen taler at den beskriver den typiske ansatte: halvparten
tjener mer, halvparten mindre. For gjennomsnittet taler at det er det eneste
målet som henger sammen med den samlede lønnsutbetalingen — gjennomsnittet ganget
med $40$ gir akkurat hele lønnsbudsjettet, og det gjør medianen ikke.

Svar c): Begge tallene er riktige. De svarer på ulike spørsmål: «hva tjener en
vanlig ansatt?» (median) og «hva koster de ansatte til sammen?» (gjennomsnitt).
Den ærlige framstillingen oppgir begge.