8.7 Programmering i S1

Python i S1: numerisk derivasjon og grensekostnad, søk etter toppunkt og når metoden svikter, simulering, opptelling av utfall og løkker som finner første verdi som oppfyller et krav.

60 min

16 oppgaver

PythonNumerisk derivasjonToppunktsøkSimuleringOpptelling

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.8Grenseverdier 5.1Kombinatorikk

Programmering på S1-eksamen

På eksamen i S1 møter du Python-program i både Del 1 og Del 2. Oppgavene handler om det samme som resten av faget: vekstfart og derivasjon, toppunkter, økonomi og sannsynlighet. Du skal kunne

- lese et program og forklare hva det regner ut, og hva utskriften betyr i sammenhengen
- vurdere om metoden i programmet alltid virker
- skrive et program som regner ut, simulerer eller teller opp

Dette delkapitlet bygger på grunnleggende Python: variabler, def og return, for med range, while og if.

Kort repetisjon

Python	Betyr
`x ** 2`	$x^2$
`def f(x):` og `return …`	definerer funksjonen $f$
`for i in range(1, 7):`	$i$ går gjennom 1, 2, 3, 4, 5, 6 (ikke 7)
`while betingelse:`	gjentar så lenge betingelsen er sann
`if a == b or a == c:`	`==` sammenlikner, `=` gir en variabel en verdi
`from random import randint` og `randint(1, 6)`	et tilfeldig helt tall fra og med 1 til og med 6

Python skriver desimaltall med punktum. I svaret skriver du desimalkomma.

Numerisk derivasjon

Den deriverte er grenseverdien av den gjennomsnittlige vekstfarten (delkapittel 2.8):

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Et program kan ikke regne ut en grenseverdi, men det kan regne ut brøken for en liten $h$ , for eksempel $h = 0{,}001$ . Resultatet er da en god tilnærming til $f'(x)$ . Med $h = 1$ blir brøken $f(x + 1) - f(x)$ : i økonomi er det kostnaden ved å produsere én enhet til, som er omtrent lik grensekostnaden.

✏️Eksempel 1: Hva regner programmet ut?

Kostnaden ved å produsere $x$ enheter av en vare er $K(x) = 0{,}02x^2 + 30x + 5000$ kroner. Forklar hva programmet regner ut, og hva utskriften betyr.

def K(x):
    return (
        0.02 * x**2
        + 30 * x
        + 5000
    )


x = 100
h = 0.001
print((K(x + h) - K(x)) / h)

Programmet regner ut den gjennomsnittlige vekstfarten til

K

fra

x = 100

til

x = 100{,}001

$\frac{K(100 + 0{,}001) - K(100)}{0{,}001}$

34.000020001258235

Kontroll: $K'(x) = 0{,}04x + 30$ gir $K'(100) = 34$ .

Svar: Programmet finner en tilnærmet verdi for $K'(100)$ . Grensekostnaden ved en produksjon på 100 enheter er omtrent 34 kr per enhet.

Søke etter et toppunkt

Et vanlig eksamensprogram starter i en $x$ -verdi og går ett steg til høyre så lenge funksjonsverdien øker. Løkka stopper første gang neste verdi ikke er større. Da står $x$ i (eller nær) et toppunkt.

Metoden finner bare det første toppunktet til høyre for startverdien, og bare med den nøyaktigheten steglengden gir. Er funksjonen avtagende ved start, stopper løkka med en gang.

✏️Eksempel 2: Største overskudd

Overskuddet ved salg av $x$ enheter er $O(x) = -0{,}5x^2 + 40x - 300$ kroner. Hva skriver programmet ut, og hva betyr svaret?

def O(x):
    return (
        -0.5 * x**2 + 40 * x - 300
    )


x = 0
while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1
print(x, O(x))

Løkka fortsetter så lenge

O(x + 1) > O(x)

$O(x + 1) - O(x) = -0{,}5(2x + 1) + 40 = 39{,}5 - x$

Dette er positivt for $x < 39{,}5$ , så løkka stopper når $x = 40$ .

$O(40) = -0{,}5 \cdot 1600 + 40 \cdot 40 - 300 = 500$

40 500.0

Kontroll: $O'(x) = -x + 40 = 0$ gir $x = 40$ .

Svar: Programmet skriver ut 40 500.0. Overskuddet er størst, 500 kr, når det selges 40 enheter.

Simulering

I en simulering gjentar programmet et tilfeldig forsøk mange ganger og teller hvor ofte en hendelse inntreffer. Den relative frekvensen

$\frac{\text{antall ganger hendelsen inntreffer}}{\text{antall forsøk}}$

nærmer seg sannsynligheten når antall forsøk blir stort. Svaret blir litt forskjellig fra kjøring til kjøring. Med $N = 100\,000$ forsøk er det vanligvis riktig på to desimaler.

Et simuleringsprogram har nesten alltid denne formen: en ytre løkke over forsøkene, et forsøk inne i løkka, en if som sjekker hendelsen, og en teller.

✏️Eksempel 3: Minst én sekser

Lag et program som simulerer sannsynligheten for å få minst én sekser når du kaster fire terninger. Sammenlikn med den eksakte sannsynligheten.

from random import randint

N = 100000
treff = 0
for i in range(N):
    seksere = 0
    for kast in range(4):
        if randint(1, 6) == 6:
            seksere = seksere + 1
    if seksere >= 1:
        treff = treff + 1
print(treff / N)

Én kjøring ga:

0.51605

Eksakt, med komplementsetningen:

$P(\text{minst én sekser}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518$

Svar: Simuleringen gir omtrent $0{,}516$ , som stemmer godt med den eksakte verdien $0{,}518$ .

Telle opp alle utfall

Når alle utfall er like sannsynlige, kan et program finne den eksakte sannsynligheten ved å gå gjennom alle utfallene med én løkke per terning og telle de gunstige:

$P = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$

Med tre terninger er det $6^3 = 216$ utfall, med fire terninger $6^4 = 1296$ . Opptelling gir samme svar hver gang, i motsetning til simulering.

✏️Eksempel 4: Summen av tre terninger

Lag et program som finner den eksakte sannsynligheten for at summen av tre terninger er større enn 12.

antall = 0
gunstige = 0
for a in range(1, 7):
    for b in range(1, 7):
        for c in range(1, 7):
            antall = antall + 1
            if a + b + c > 12:
                gunstige = (
                    gunstige + 1
                )
print(
    gunstige,
    antall,
    gunstige / antall,
)

56 216 0.25925925925925924

$P(\text{sum} > 12) = \frac{56}{216} = \frac{7}{27} \approx 0{,}259$

Svar: Sannsynligheten er $\dfrac{7}{27} \approx 0{,}259$ .

Finne den første verdien som oppfyller et krav

Spørsmål av typen «Hvor mange kast må til?» eller «Hvor mange år tar det?» løses med en while-løkke: start med den minste verdien og øk med 1 så lenge kravet ikke er oppfylt. Når løkka stopper, er variabelen den minste verdien som oppfyller kravet.

Pass på betingelsen i while: den er det motsatte av kravet. Krav «større enn 0,9» gir while … <= 0.9.

✏️Eksempel 5: Hvor mange kast?

Hvor mange ganger må du minst kaste en terning for at sannsynligheten for minst én sekser skal være større enn 0,9? Løs med et program og kontroller med logaritmer.

n = 1
while 1 - (5 / 6) ** n <= 0.9:
    n = n + 1
print(n, 1 - (5 / 6) ** n)

13 0.9065361210128207

Kontroll:

$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n > 0{,}9$

$\left(\frac{5}{6}\right)^n < 0{,}1$

$n > \frac{\ln 0{,}1}{\ln \frac{5}{6}} \approx 12{,}6$

Ulikhetstegnet snur fordi $\displaystyle \ln \frac{5}{6} < 0$ .

Svar: Minst 13 kast.

✏️Eksempel 6: Sparing

Mia setter inn 20 000 kr på en konto ved slutten av hvert år. Renten er 4 % per år. Forklar hva programmet gjør, og hva utskriften forteller.

saldo = 0
ar = 0
while saldo < 500000:
    saldo = saldo * 1.04 + 20000
    ar = ar + 1
print(ar, round(saldo))

Hvert gjennomløp av løkka er ett år: saldoen får 4 % rente, og så settes 20 000 kr inn. Løkka stopper første gang saldoen er minst 500 000 kr.

18 512908

Svar: Etter 18 år har Mia for første gang minst 500 000 kr på kontoen. Da har hun 512 908 kr.

Oppgaver

📝Oppgave 8.7.1

Hva skriver programmet ut? Løs uten å kjøre programmet.

def f(x):
    return x ** 2 - 3 * x

print(f(4), f(-1))

📝Oppgave 8.7.2

Hva skriver programmet ut? Hva regner programmet ut?

s = 0
for i in range(1, 6):
    s = s + i ** 2
print(s)

📝Oppgave 8.7.3

Et beløp på 1000 kr vokser med 6 % per år.

x = 1000
n = 0
while x < 2000:
    x = x * 1.06
    n = n + 1
print(n, round(x, 2))

Hva skriver programmet ut?

Hva forteller utskriften?

📝Oppgave 8.7.4

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 2x^3 - x$ .

def f(x):
    return 2 * x ** 3 - x

h = 0.0001
print((f(1 + h) - f(1)) / h)

Forklar hva programmet regner ut.

Programmet skriver ut verdien under. Sammenlikn med $f'(1)$ regnet ved derivasjon.

5.000600019997581

Løs oppgaven

📝Oppgave 8.7.5

Kostnaden ved å produsere $x$ enheter er $K(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 800$ kroner.

def K(x):
    return (
        0.5 * x**2 + 20 * x + 800
    )

print(K(101) - K(100))

Hva skriver programmet ut, og hva betyr tallet?

Sammenlikn med grensekostnaden $K'(100)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 8.7.6

Hva skriver programmet ut? Løs uten å kjøre programmet.

def f(x):
    return -x ** 2 + 6 * x + 2

x = 0
while f(x + 0.5) > f(x):
    x = x + 0.5
print(x, f(x))

📝Oppgave 8.7.7

Overskuddet ved salg av $x$ enheter er $O(x) = -0{,}04x^2 + 60x - 12\,000$ kroner. Lag et program som finner hvor mange enheter som gir størst overskudd, og hvor stort overskuddet da er. Kontroller ved derivasjon.

📝Oppgave 8.7.8

Lag et program som simulerer sannsynligheten for at summen av to terninger er 7. Sammenlikn med den eksakte sannsynligheten.

📝Oppgave 8.7.9

Vi kaster to terninger og ganger tallene sammen. Lag et program som finner den eksakte sannsynligheten for at produktet er større enn 12.

📝Oppgave 8.7.10

Programmet under simulerer et forsøk med tre terninger.

from random import randint

N = 100000
treff = 0
for i in range(N):
    a = randint(1, 6)
    b = randint(1, 6)
    c = randint(1, 6)
    if a == b or a == c or b == c:
        treff = treff + 1
print(treff / N)

Hvilken sannsynlighet anslår programmet?

Én kjøring ga utskriften under. Regn ut den eksakte sannsynligheten og sammenlikn.

0.44657

📝Oppgave 8.7.11

Hver uke er det 4 % sannsynlighet for å vinne i et lotteri. Lag et program som finner hvor mange uker du minst må spille for at sannsynligheten for minst én gevinst skal være 50 % eller mer. Kontroller med logaritmer.

📝Oppgave 8.7.12

I en eske ligger 3 hvite kuler og $n$ svarte kuler. Du trekker to kuler uten tilbakelegging.

Vis at sannsynligheten for to svarte kuler er $P(n) = \dfrac{n(n - 1)}{(n + 3)(n + 2)}$ .

Lag et program som finner det minste antallet svarte kuler som gir minst 50 % sannsynlighet for to svarte.

Løs oppgaven

📝Oppgave 8.7.13

Jonas vil finne den største verdien til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ for $x \in [0, 5]$ og skriver programmet under. Det skriver ut 1.0 5.0.

def f(x):
    return (
        x**3
        - 6 * x**2
        + 9 * x
        + 1
    )

x = 0
while f(x + 0.1) > f(x):
    x = x + 0.1
print(round(x, 1), round(f(x), 3))

Vis at svaret til programmet ikke er den største verdien på intervallet.

Hva skriver programmet ut hvis funksjonen byttes med $g(x) = x^2 - 4x$ ? Forklar.

def g(x):
    return x ** 2 - 4 * x

x = 0
while g(x + 0.1) > g(x):
    x = x + 0.1
print(x, g(x))

Hva må være oppfylt for at metoden skal gi den største verdien?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8.7.14

Lag et program som finner den eksakte sannsynligheten for at summen av fire terninger er minst 20.

📝Oppgave 8.7.15

I et spill kaster du en terning og legger sammen poengene til summen er minst 20.

from random import randint

N = 100000
totalt = 0
for i in range(N):
    poeng = 0
    kast = 0
    while poeng < 20:
        poeng = poeng + randint(
            1, 6
        )
        kast = kast + 1
    totalt = totalt + kast
print(totalt / N)

Forklar hva programmet regner ut.

Én kjøring ga utskriften under. Er resultatet rimelig?

6.19202

📝Oppgave 8.7.16

Sara sparer 30 000 kr ved slutten av hvert år på en konto med 5 % rente per år. Lag et program som finner hvor mange år det tar før hun har minst 1 000 000 kr. Kontroller med CAS.

Oppsummering

- (f(x + h) - f(x)) / h med liten h gir en tilnærmet verdi for $f'(x)$ . Med h = 1 er det endringen ved én enhet til.
- En løkke som går til høyre så lenge f(x + steg) > f(x), stopper i det første toppunktet. Den finner ikke en større verdi lenger ut, og stopper med en gang hvis $f$ er avtagende ved start.
- Simulering: tell hvor ofte hendelsen inntreffer i $N$ forsøk. Svaret varierer litt og er tilnærmet.
- Opptelling: én løkke per terning gir eksakt sannsynlighet som gunstige delt på mulige.
- «Hvor mange må til?»: while med det motsatte av kravet, og øk telleren med 1.
- Forklar alltid hva utskriften betyr i sammenhengen, og kontroller gjerne med regning.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.