2.8 Grenseverdier

Grenseverdier med tabell og CAS, faktorisering og konjugatsetningen, ensidige grenseverdier, grenseverdier mot uendelig og den deriverte som grenseverdi.

55 min

15 oppgaver

GrenseverdiEnsidige grenseverdierFaktorisering og konjugatsetningenGrenseverdi mot uendeligAsymptoter

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Rasjonale funksjoner

Brukes videre i

8.7Programmering i S1

Hva er en grenseverdi?

Funksjonen $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ er ikke definert for $x = 3$ , fordi nevneren da er null. Likevel kan vi spørre hva $f(x)$ nærmer seg når $x$ kommer nær 3. Svaret kalles en grenseverdi. Grenseverdier brukes til å finne asymptoter, til å beskrive hva en modell gir på lang sikt og til å definere den deriverte.

Grenseverdi

\lim_{x \to a} f(x) = L

Utforske med tabell og digitale verktøy

Vi kan anslå en grenseverdi ved å regne ut funksjonsverdier for $x$ stadig nærmere $a$ , fra begge sider. En tabell gir et godt anslag, men ikke et bevis. I GeoGebra CAS gir Grenseverdi(f, a) grenseverdien, og GrenseUnder(f, a) og GrenseOver(f, a) gir de ensidige grenseverdiene fra venstre og høyre.

✏️Eksempel 1: Tabell

Bruk en tabell til å anslå $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ . Kontroller med CAS.

$x$	$\dfrac{e^x - 1}{x}$
$-0{,}1$	$0{,}951626$
$-0{,}01$	$0{,}995017$
$-0{,}001$	$0{,}999500$
$0{,}001$	$1{,}000500$
$0{,}01$	$1{,}005017$
$0{,}1$	$1{,}051709$

Verdiene nærmer seg 1 fra begge sider.
Grenseverdi((e^x - 1) / x, 0) gir

1

.
Svar:

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

Regne ut grenseverdier

Første forsøk er alltid å sette inn $x = a$ .

- Gir innsettingen et tall, er det grenseverdien (funksjonen er kontinuerlig der, se delkapittel 2.7).
- Gir innsettingen $\dfrac{0}{0}$ , har teller og nevner en felles faktor $(x - a)$ . Faktoriser og forkort, eller bruk konjugatsetningen når det står en rot. Sett inn på nytt.
- Gir innsettingen $\dfrac{c}{0}$ med $c \neq 0$ , vokser $|f(x)|$ over alle grenser. Grenseverdien finnes ikke, og grafen har en vertikal asymptote $x = a$ .

0/0 er ikke et svar

\dfrac{0}{0}

betyr bare at innsetting ikke virker ennå. Grenseverdien kan være et hvilket som helst tall, eller ikke finnes. Du må forkorte før du kan si noe.

✏️Eksempel 2: Faktorisering

Bestem $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6}$ uten hjelpemidler.

Innsetting gir

\dfrac{0}{0}

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{x + 2}$

$= \frac{3 + 3}{3 + 2} = \frac{6}{5}$

Svar: $\dfrac{6}{5}$

✏️Eksempel 3: Konjugatsetningen

Bestem $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ uten hjelpemidler.

Innsetting gir

\dfrac{0}{0}

. Med konjugatsetningen er

x - 9 = \left(\sqrt{x} - 3\right)\left(\sqrt{x} + 3\right)

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{\left(\sqrt{x} - 3\right)\left(\sqrt{x} + 3\right)}$

$= \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$

$= \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

Svar: $\dfrac{1}{6}$

✏️Eksempel 4: Grenseverdien finnes ikke

Avgjør om $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x - 1}$ finnes.

Innsetting gir

\dfrac{3}{0}

. Telleren nærmer seg 3, og nevneren nærmer seg 0.

For $x < 1$ er $x - 1 < 0$ :

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{x - 1} = -\infty$

For $x > 1$ er $x - 1 > 0$ :

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1} = \infty$

Svar: Grenseverdien finnes ikke. Grafen har den vertikale asymptoten $x = 1$ .

✏️Eksempel 5: Bestem en konstant

Bestem $a$ slik at $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax - 6}{x - 2}$ finnes, og regn ut grenseverdien.

Nevneren er null for

x = 2

. Grenseverdien kan bare finnes hvis også telleren er null der.

$2^2 + 2a - 6 = 0$

$a = 1$

$\begin{aligned} &\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} \\ = {}&\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 3)}{x - 2} \\ = {}&\lim_{x \to 2} (x + 3) = 5 \end{aligned}$

Svar: $a = 1$ , og grenseverdien er $5$ .

Grenseverdier når $x$ går mot uendelig

For en brøk med polynomer i teller og nevner deler vi med den høyeste potensen av $x$ i nevneren. Vi bruker at

$\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0 \qquad (n > 0)$

- Samme grad i teller og nevner: grenseverdien er forholdet mellom koeffisientene foran de høyeste potensene.
- Lavere grad i telleren: grenseverdien er 0.
- Høyere grad i telleren: grenseverdien finnes ikke.

For eksponentialfunksjoner bruker vi at $e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} \to 0$ når $x \to \infty$ .

Finnes $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ , er $y = L$ en horisontal asymptote for grafen.

✏️Eksempel 6: Mot uendelig

Bestem grenseverdiene uten hjelpemidler.

a) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 1}{6x^2 + 5}$

b) $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 1}$

$\begin{aligned} &\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 1}{6x^2 + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{6 + \frac{5}{x^2}} \\ = {}&\frac{3 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Svar: $\dfrac{1}{2}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$

Svar: $0$

✏️Eksempel 7: Modell på lang sikt

Konsentrasjonen av et stoff i en tank er $C(t) = 40\left(1 - e^{-0{,}2t}\right)$ gram per liter etter $t$ timer. Hva nærmer konsentrasjonen seg på lang sikt?

\lim_{t \to \infty} e^{-0{,}2t} = 0

$\lim_{t \to \infty} C(t) = 40(1 - 0) = 40$

Svar: Konsentrasjonen nærmer seg 40 gram per liter, men når aldri helt dit.

Den deriverte som grenseverdi

Den gjennomsnittlige vekstfarten mellom $x = a$ og $x = a + h$ er $\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ . Når $h \to 0$ , blir sekanten til tangenten, og vi får den momentane vekstfarten:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Innsetting av $h = 0$ gir alltid $\dfrac{0}{0}$ , så vi må forenkle først.

✏️Eksempel 8: Derivasjon fra definisjonen

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 + 3x$ . Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(2)$ .

f(2 + h) = (2 + h)^2 + 3(2 + h) = h^2 + 7h + 10

$f(2) = 4 + 6 = 10$

$\begin{aligned} f'(2) &= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 7h + 10 - 10}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(h + 7)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} (h + 7) = 7 \end{aligned}$

Kontroll: $f'(x) = 2x + 3$ gir $f'(2) = 7$ .

Svar: $f'(2) = 7$

Oppgaver

📝Oppgave 2.8.1

Bestem grenseverdiene uten hjelpemidler.

\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(x^2 + 1\right)

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{3x - 4}{x + 2}

\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{2x}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.2

Funksjonen $g$ er gitt ved $g(x) = \dfrac{2^x - 1}{x}$ .

Lag en tabell med $x = \pm 0{,}1$ , $\pm 0{,}01$ og $\pm 0{,}001$ , og anslå $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x)$ med tre desimaler.

Kontroller med CAS.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.3

Bestem grenseverdiene uten hjelpemidler.

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x - 3}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.4

Bestem grenseverdiene uten hjelpemidler.

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 16} \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x + 5} - 3}{x - 4}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.5

Bestem grenseverdiene uten hjelpemidler.

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{4x - 1}{2x + 3}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - 2}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3}{x^3 + x}

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x + 1}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.6

Bestem grenseverdiene uten hjelpemidler.

\displaystyle\lim_{x \to \infty} e^{-x + 2}

\displaystyle\lim_{x \to -\infty} e^{-x + 2}

\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(3 + 2e^{-0{,}5x}\right)

\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{10}{1 + 4e^{-x}}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.7

Bestem de ensidige grenseverdiene, og avgjør om grenseverdien finnes.

f(x) = \dfrac{|x - 2|}{x - 2}

når

x \to 2

g(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

når

x \to 1

📝Oppgave 2.8.8

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{6x - 2}{3x + 1}$ .

Bestem den vertikale asymptoten. Begrunn med ensidige grenseverdier.

Bestem den horisontale asymptoten.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.9

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 - 4x$ . Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(1)$ .

📝Oppgave 2.8.10

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{1}{x}$ . Bruk definisjonen av den deriverte til å bestemme $f'(2)$ .

📝Oppgave 2.8.11

Bestem $k$ slik at $\displaystyle \displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + kx + 3}{x + 1}$ finnes, og regn ut grenseverdien.

📝Oppgave 2.8.12

En bedrift har kostnadene $K(x) = 2000 + 15x$ kroner ved produksjon av $x$ enheter. Enhetskostnaden er $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$ .

Bestem $\displaystyle\lim_{x \to \infty} E(x)$ , og forklar hva svaret betyr.

Hvor mange enheter må produseres for at enhetskostnaden skal være under 16 kr?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.13

Det totale salget av en ny app er modellert ved $S(t) = 12\,000\left(1 - e^{-0{,}3t}\right)$ , der $t$ er antall uker etter lansering.

Bestem $\displaystyle\lim_{t \to \infty} S(t)$ . Hva forteller svaret?

Når har salget nådd 95 % av denne verdien?

Løs oppgaven

📝Oppgave 2.8.14

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ og $g(x) = x + 2$ .

Vis at $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} g(x)$ .

Avgjør om påstanden er sann eller usann: «Når to funksjoner har samme grenseverdi i et punkt, er de like.»

📝Oppgave 2.8.15

Utforsk uttrykket $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$ når $n$ blir stor.

Regn ut uttrykket for $n = 10$ , $100$ , $1000$ , $10\,000$ og $100\,000$ med seks desimaler.

Hvilket kjent tall ser verdiene ut til å nærme seg? Sammenlikn med kalkulatoren.

Oppsummering

- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ : $f(x)$ kommer vilkårlig nær $L$ når $x$ nærmer seg $a$ fra begge sider. $f(a)$ spiller ingen rolle.
- Sett inn først. $\dfrac{0}{0}$ : faktoriser og forkort, eller bruk konjugatsetningen. $\dfrac{c}{0}$ med $c \neq 0$ : grenseverdien finnes ikke (vertikal asymptote).
- Grenseverdien finnes bare når venstre og høyre grenseverdi er like.
- Mot uendelig: del med den høyeste potensen i nevneren; $e^{-x} \to 0$ .
- $\displaystyle f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .
- CAS: Grenseverdi, GrenseUnder, GrenseOver.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

2.8 Grenseverdier

Hva er en grenseverdi?

Utforske med tabell og digitale verktøy

Regne ut grenseverdier

Grenseverdier når xxx går mot uendelig

Den deriverte som grenseverdi

Oppgaver

Oppsummering

Grenseverdier når $x$ går mot uendelig