1.11 Matematiske resonnementer og bevis

Påstander som er sanne eller usanne, moteksempler, implikasjon og ekvivalens, og direkte bevis med bokstaver.

50 min

16 oppgaver

PåstanderMoteksempelImplikasjon og ekvivalensDirekte bevis

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Påstander og begrunnelser

På eksamen i S1 møter du oppgaver av typen «Avgjør om påstanden er sann eller usann. Begrunn svaret.» Påstandene handler om alt i faget: potenser, logaritmer, funksjoner, derivasjon og kombinatorikk. Dette delkapitlet viser hvordan et slikt svar bygges opp, og hvordan du skriver et kort bevis med matematisk symbolspråk.

Påstand, bevis og moteksempel

n

Eksempler beviser ingenting generelt

At en påstand stemmer for $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ , viser ikke at den stemmer for alle $x$ . Vil du vise at påstanden er sann, trenger du et argument med bokstaver som gjelder alle tilfeller. Vil du vise at den er usann, er ett moteksempel nok.

Føring av påstandsoppgaver

Et fullstendig svar har tre deler:

- konklusjonen: «Påstanden er sann» eller «Påstanden er usann»
- begrunnelsen: et bevis (sann) eller et moteksempel med utregning (usann)
- utregningen skrevet med symboler, én overgang per linje

Er påstanden usann, kan du ofte i tillegg si hva som er riktig, for eksempel hvilken betingelse som mangler.

✏️Eksempel 1: Moteksempel

Avgjør om påstanden er sann eller usann: « $x^2 > x$ for alle reelle tall $x$ .»

Moteksempel:

x = \dfrac{1}{2}

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$

Svar: Påstanden er usann. Den svikter for alle $x$ mellom 0 og 1 og for $x = 0$ og $x = 1$ .

Implikasjon og ekvivalens

Symbol	Leses	Betyr
$A \Rightarrow B$	$A$ medfører $B$	Når $A$ er sann, er også $B$ sann.
$A \Leftarrow B$	$A$ følger av $B$	Når $B$ er sann, er også $A$ sann.
$A \Leftrightarrow B$	$A$ er ekvivalent med $B$	Begge pilene gjelder.

A \Rightarrow B

sier ingenting om den motsatte veien. Når vi løser likninger, skriver vi bare

\Leftrightarrow

mellom linjene hvis hver overgang kan gjøres begge veier. Kvadrering er ikke en slik overgang:

x = 3 \Rightarrow x^2 = 9

, men

x^2 = 9

gir også

x = -3

✏️Eksempel 2: Riktig pil

Sett inn $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene.

a) $x = 3 \quad \square \quad x^2 = 9$

b) $2x + 1 = 7 \quad \square \quad x = 3$

c) $x^2 = 4x \quad \square \quad x = 4$

a) $x^2 = 9$ gir $x = -3$ eller $x = 3$ , så bare den ene veien gjelder.

Svar: $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$

b) $2x + 1 = 7$ har bare løsningen $x = 3$ , og $x = 3$ oppfyller likningen.

Svar: $2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3$

c) $x^2 = 4x \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \lor x = 4$ . Likningen har også løsningen $x = 0$ .

Svar: $x^2 = 4x \Leftarrow x = 4$

Direkte bevis med bokstaver

I et direkte bevis skriver vi de tallene påstanden handler om, med bokstaver, og regner oss fram til det som skal vises.

Tall	Skrives
et partall	$2n$ , der $n$ er et helt tall
et oddetall	$2n + 1$
tre påfølgende hele tall	$n - 1$ , $\;n$ , $\;n + 1$
et tall delelig med 3	$3n$

To ulike tall skal ha ulike bokstaver: to partall er

2m

2n

, ikke

2n

2n

✏️Eksempel 3: Tre påfølgende tall

Vis at summen av tre påfølgende hele tall alltid er delelig med 3.

De tre tallene er

n - 1

n

n + 1

, der

n

er et helt tall.

$(n - 1) + n + (n + 1) = 3n$

$3n$ er delelig med 3 fordi $n$ er et helt tall.

Svar: Summen er $3n$ og dermed alltid delelig med 3.

✏️Eksempel 4: Påstand om vekstfart

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2 - 3x$ .

Påstand: «Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ mellom $x = a$ og $x = b$ er lik den momentane vekstfarten midt mellom $a$ og $b$ .»

Avgjør om påstanden er sann eller usann.

Gjennomsnittlig vekstfart:

$\begin{aligned} &\frac{f(b) - f(a)}{b - a} \\ = {}&\frac{b^2 - 3b - a^2 + 3a}{b - a} \\ = {}&\frac{(b - a)(b + a) - 3(b - a)}{b - a} \\ = {}&a + b - 3 \end{aligned}$

Momentan vekstfart i $x = \dfrac{a + b}{2}$ :

$f'(x) = 2x - 3$

$f'\left(\frac{a + b}{2}\right) = 2 \cdot \frac{a + b}{2} - 3 = a + b - 3$

Svar: Påstanden er sann for alle $a \neq b$ .

✏️Eksempel 5: Påstand om tredjegradsfunksjoner

Avgjør om påstanden er sann eller usann: «Grafen til en tredjegradsfunksjon har alltid et ekstremalpunkt.»

Moteksempel:

f(x) = x^3

$f'(x) = 3x^2$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f'(x) > 0$ på begge sider av $x = 0$ , så $f'$ skifter ikke fortegn. $(0, 0)$ er et terrassepunkt, ikke et ekstremalpunkt.

Svar: Påstanden er usann.

✏️Eksempel 6: Påstand om grupper

I en klasse er det 9 elever. Påstand: «Det kan lages flere ulike grupper med 5 elever enn med 4 elever.»

\binom{9}{5} = 126 \quad \text{og} \quad \binom{9}{4} = 126

Hver gruppe på 5 svarer til nøyaktig én gruppe på 4, nemlig de 4 elevene som ikke er med. Derfor er $\binom{n}{k} = \binom{n}{n - k}$ .

Svar: Påstanden er usann. Det er like mange grupper, 126 av hver.

Oppgaver

📝Oppgave 1.11.1

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne. Gi et moteksempel når påstanden er usann.

x^2 \ge 0

for alle reelle tall

x

\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

for alle

a, b \ge 0

2x > x

for alle reelle tall

x

(ab)^2 = a^2b^2

for alle

a

b

📝Oppgave 1.11.2

Sett inn $\Rightarrow$ , $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene.

x = -2 \quad \square \quad x^2 = 4

3x - 2 = 10 \quad \square \quad x = 4

x(x - 1) = 0 \quad \square \quad x = 1

x > 3 \quad \square \quad x > 1

📝Oppgave 1.11.3

Bruk bokstaver og vis påstandene.

Vis at summen av to partall er et partall.

Vis at summen av et partall og et oddetall er et oddetall.

📝Oppgave 1.11.4

Kvadrattall som følger etter hverandre.

Vis at $(n + 1)^2 - n^2$ alltid er et oddetall når $n$ er et helt tall.

Bruk resultatet til å regne ut $50^2 - 49^2$ uten hjelpemidler.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.11.5

Vis at $n^2 + n$ er et partall for alle hele tall $n$ .

📝Oppgave 1.11.6

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne for alle $x > 0$ og alle $a, b > 0$ . Begrunn svaret.

\lg\left(x^3\right) = 3\lg x

\lg\left(x^3\right) = (\lg x)^3

\ln(a + b) = \ln a + \ln b

📝Oppgave 1.11.7

Avgjør om påstanden er sann eller usann: «Hvis $f(2) = g(2)$ , så er $f'(2) = g'(2)$ .»

📝Oppgave 1.11.8

Avgjør om påstanden er sann eller usann: «Grafen til en andregradsfunksjon $f(x) = ax^2 + bx + c$ , $a \neq 0$ , har nøyaktig ett ekstremalpunkt.»

📝Oppgave 1.11.9

Avgjør om påstanden er sann eller usann: «Grafen til en femtegradsfunksjon har alltid et ekstremalpunkt.»

📝Oppgave 1.11.10

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne.

Når en pris øker med 10 % to år på rad, har den til sammen økt med 20 %.

Når en pris først øker med 20 % og deretter synker med 20 %, er den tilbake der den startet.

📝Oppgave 1.11.11

Påstand: «For alle $n \ge 3$ er det flere måter å velge 3 av $n$ personer på enn å velge 2 av $n$ personer.»

Avgjør om påstanden er sann eller usann.

For hvilke $n$ er $\binom{n}{3} > \binom{n}{2}$ ?

📝Oppgave 1.11.12

Vis at $x^2 - 4x + 5 > 0$ for alle reelle tall $x$ .

📝Oppgave 1.11.13

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = ax^2 + bx + c$ , der $a \neq 0$ . Vis at den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ mellom $x = p$ og $x = q$ er lik $f'\left(\dfrac{p + q}{2}\right)$ .

📝Oppgave 1.11.14

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - k}$ , der $k$ er en konstant.

Avgjør om påstanden er sann eller usann: «Grafen til $f$ har den vertikale asymptoten $x = k$ for alle verdier av $k$ .»

For hvilke verdier av $k$ har grafen den vertikale asymptoten $x = k$ ?

📝Oppgave 1.11.15

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x + 2$ .

Bestem $x$ -koordinaten til vendepunktet.

Påstand: « $f'(2 - h) = f'(2 + h)$ for alle $h$ .» Vis at påstanden er sann.

Vis at det samme gjelder for alle tredjegradsfunksjoner $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ : Er $x_0$ vendepunktet, er $g'(x_0 - h) = g'(x_0 + h)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.11.16

Vis at $\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$ for alle $a, b \ge 0$ , og at likhet gjelder bare når $a = b$ .

Oppsummering

- Svar alltid med konklusjon (sann eller usann) og begrunnelse.
- En påstand om alle tilfeller vises med et generelt argument med bokstaver.
- En påstand om alle tilfeller tilbakevises med ett moteksempel, regnet ut.
- $A \Rightarrow B$ betyr at $B$ følger av $A$ . $\Leftrightarrow$ krever at begge veier gjelder.
- Partall skrives $2n$ , oddetall $2n + 1$ og påfølgende tall $n - 1$ , $n$ , $n + 1$ .
- Vanlige moteksempler: $x^3$ (terrassepunkt, ingen ekstremalpunkter), $a = 1$ i potenser, tall mellom 0 og 1, negative tall.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.