1.10 Potenser og potensregler

Potensreglene utledet fra definisjonen, negative og rasjonale eksponenter, forenkling, sammenlikning av tall, eksponentiallikninger med samme grunntall og potensmodeller.

55 min

15 oppgaver

PotensreglerNegative eksponenterRasjonale eksponenterEksponentiallikningerPotensmodeller

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Potenser

Potenser brukes overalt i S1: i vekstmodeller, i potensfunksjoner, i derivasjonsregelen for $x^n$ og som grunnlag for logaritmene. I dette delkapitlet utleder vi potensreglene, utvider dem til negative og rasjonale eksponenter og bruker dem til å forenkle uttrykk, sammenlikne tall og løse eksponentiallikninger med samme grunntall.

Potens

a

Utledning av produktregelen

Vi ganger sammen $a^3$ og $a^4$ og teller faktorene:

$a^3 \cdot a^4 = (a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a \cdot a) = a^7 = a^{3+4}$

Det samme gjelder for alle positive heltall $m$ og $n$ : $m$ faktorer og $n$ faktorer gir til sammen $m + n$ faktorer.

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Divisjon fungerer på samme måte. I $\dfrac{a^5}{a^2}$ kan vi forkorte bort to faktorer:

$\frac{a^5}{a^2} = \frac{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a} = a^3 = a^{5-2}$

Null, negative og rasjonale eksponenter

Vi vil at regelen $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ skal gjelde også når $m \le n$ . Det bestemmer hva $a^0$ og $a^{-n}$ må bety ( $a \neq 0$ ):

$a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = 1$

$a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$

På samme måte bestemmer regelen $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ hva en brøk i eksponenten må bety. For $a > 0$ er

$\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

$\displaystyle a^{\frac{1}{2}}$ er altså det positive tallet som gir $a$ når det kvadreres, det vil si $\sqrt{a}$ . Generelt er $\displaystyle a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ og $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ .

📜Potensreglene

Reglene følger av definisjonen av $a^n$ som gjentatt multiplikasjon. De to første er utledet over; de andre er oppgave 1.10.4 og 1.10.5. For $a, b > 0$ og alle rasjonale $m$ og $n$ :

Regel
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
$a^0 = 1$	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Ingen regel for summer

Potensreglene gjelder produkter og brøker, ikke summer. $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ og $a^m + a^n \neq a^{m+n}$ . Moteksempel: $(1 + 1)^2 = 4$ , men $1^2 + 1^2 = 2$ .

Forenkling av potensuttrykk

Når et uttrykk skal forenkles, skriver vi først hver parentes uten parentes med regelen $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , og samler deretter like grunntall. Negative eksponenter er tillatt underveis; svaret skrives med positive eksponenter.

✏️Eksempel 1: Forenkle et potensuttrykk

Forenkle uttrykket

$\frac{\left(3a^{-1}b^2\right)^2 \cdot \left(a^3 b\right)^{-1}}{3a^{-4}b}$

\frac{\left(3a^{-1}b^2\right)^2 \cdot \left(a^3 b\right)^{-1}}{3a^{-4}b} = \frac{9a^{-2}b^4 \cdot a^{-3}b^{-1}}{3a^{-4}b}

$= \frac{9a^{-5}b^3}{3a^{-4}b}$

$= 3a^{-5-(-4)}b^{3-1}$

$= 3a^{-1}b^2$

$= \frac{3b^2}{a}$

Svar: $\dfrac{3b^2}{a}$

✏️Eksempel 2: Røtter skrevet som potenser

Skriv som én potens.

a) $\displaystyle \dfrac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{6}}}$

b) $\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt{a}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{x^{\frac{1}{6}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = x^{\frac{3 + 4 - 1}{6}} = x^1 = x$

Svar: $x$

$\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{3}{4}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4} + \frac{2}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$

Svar: $\displaystyle a^{\frac{5}{4}}$

Sammenlikne tall uten hjelpemidler

To potenser kan sammenliknes når de har samme eksponent eller samme grunntall:

- Samme eksponent $n > 0$ : størst grunntall gir størst potens.
- Samme grunntall $a > 1$ : størst eksponent gir størst potens.

Ofte må vi skrive om med $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ først. Tall med logaritmer i eksponenten skrives om med $e^{\ln a} = a$ og $10^{\lg a} = a$ (se delkapittel 2.4 Logaritmefunksjoner).

✏️Eksempel 3: Sorter tallene

Sorter tallene i stigende rekkefølge uten hjelpemidler.

a) $2^{60}$ , $\;3^{36}$ , $\;5^{24}$

b) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$ , $\;e^{2\ln 3}$ , $\;\sqrt{17}$ , $\displaystyle \;16^{\frac{3}{4}}$

a) Eksponentene 60, 36 og 24 er alle delelige med 12.

$2^{60} = \left(2^5\right)^{12} = 32^{12}$

$3^{36} = \left(3^3\right)^{12} = 27^{12}$

$5^{24} = \left(5^2\right)^{12} = 25^{12}$

$25 < 27 < 32$

Svar: $5^{24} < 3^{36} < 2^{60}$

$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$

$e^{2\ln 3} = \left(e^{\ln 3}\right)^2 = 3^2 = 9$

$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}, \text{ så } 4 < \sqrt{17} < 5$

$16^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{16}\right)^3 = 2^3 = 8$

Svar: $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} < \sqrt{17} < 16^{\frac{3}{4}} < e^{2\ln 3}$

Eksponentiallikninger med samme grunntall

For $a > 0$ og $a \neq 1$ er $a^x$ enten voksende ( $a > 1$ ) eller avtagende ( $0 < a < 1$ ). To ulike eksponenter gir derfor to ulike verdier:

$a^x = a^y \;\Rightarrow\; x = y \qquad (a > 0,\ a \neq 1)$

Kravet $a \neq 1$ er nødvendig: $1^2 = 1^5$ , men $2 \neq 5$ .

Kan begge sider skrives som potenser med samme grunntall, setter vi eksponentene like. Står $a^{2x}$ og $a^x$ i samme likning, setter vi $u = a^x$ og får en andregradslikning. Siden $a^x > 0$ , forkaster vi negative løsninger for $u$ . Andre eksponentiallikninger løses med logaritmer (delkapittel 2.4).

✏️Eksempel 4: Samme grunntall

Løs likningene uten hjelpemidler.

a) $5^{2x+1} + 4 = 129$

b) $4^x = 8^{x-1}$

$5^{2x+1} + 4 = 129$

$5^{2x+1} = 125$

$5^{2x+1} = 5^3$

$2x + 1 = 3$

$x = 1$

Svar: $x = 1$

$4^x = 8^{x-1}$

$\left(2^2\right)^x = \left(2^3\right)^{x-1}$

$2^{2x} = 2^{3x-3}$

$2x = 3x - 3$

$x = 3$

Svar: $x = 3$

✏️Eksempel 5: Substitusjon

Løs likningen $4^x - 2^{x+1} = 8$ uten hjelpemidler.

4^x = \left(2^x\right)^2 \quad \text{og} \quad 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x

Vi setter $u = 2^x$ .

$u^2 - 2u - 8 = 0$

$(u - 4)(u + 2) = 0$

$u = 4 \quad \text{eller} \quad u = -2$

$u = -2$ forkastes fordi $2^x > 0$ .

$2^x = 4 = 2^2$

$x = 2$

Kontroll: $4^2 - 2^3 = 16 - 8 = 8$

Svar: $x = 2$

Potensmodeller: hva skjer når $x$ dobles?

En potensmodell har formen $f(x) = a \cdot x^b$ . Når $x$ dobles, er

$f(2x) = a \cdot (2x)^b = 2^b \cdot a \cdot x^b = 2^b \cdot f(x)$

Funksjonsverdien multipliseres alltid med $2^b$ , uansett hvilken $x$ vi starter fra. På samme måte gir $x$ multiplisert med $k$ funksjonsverdien multiplisert med $k^b$ .

✏️Eksempel 6: Energibehov og kroppsvekt

Kleibers lov sier at energibehovet $E$ til et pattedyr i hvile er tilnærmet proporsjonalt med $m^{0{,}75}$ , der $m$ er kroppsmassen.

a) Hvor mange prosent større er energibehovet til et dyr som veier dobbelt så mye som et annet?

b) Hvor mange ganger tyngre må et dyr være for å ha dobbelt så stort energibehov?

$E = c \cdot m^{0{,}75}$

$\frac{E(2m)}{E(m)} = 2^{0{,}75} \approx 1{,}682$

Svar: Energibehovet er omtrent 68 % større.

$k^{0{,}75} = 2$

$k = 2^{\frac{1}{0{,}75}} = 2^{\frac{4}{3}} \approx 2{,}52$

Svar: Dyret må være omtrent 2,5 ganger så tungt.

I GeoGebra CAS kan du kontrollere en forenkling med Forenkle((3a^(-1) b^2)^2 (a^3 b)^(-1) / (3a^(-4) b)) og en likning med Løs(4^x - 2^(x+1) = 8). På Del 1 skal regningen vises for hånd.

Oppgaver

📝Oppgave 1.10.1

Regn ut uten hjelpemidler.

2^{-3}

\displaystyle 16^{\frac{1}{2}}

\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}

\displaystyle 8^{-\frac{2}{3}}

\displaystyle \left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.2

Skriv som én potens eller så enkelt som mulig.

\dfrac{a^3 \cdot a^5}{a^2}

\left(x^2\right)^3 \cdot x

\dfrac{(2a)^3}{4a}

b^{-2} \cdot b^5

📝Oppgave 1.10.3

Skriv som potens av $x$ .

\sqrt{x}

\sqrt[3]{x^2}

\dfrac{1}{\sqrt{x}}

x\sqrt{x}

📝Oppgave 1.10.4

Vis potensreglene ut fra definisjonen $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$ ( $n$ faktorer). La $m$ og $n$ være positive heltall.

Vis at $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ når $m > n$ .

Vis at $\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$ .

Vis at $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .

📝Oppgave 1.10.5

Regelen $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ skal også gjelde når $m \le n$ ( $a > 0$ ).

Bruk regelen med $m = n$ til å vise at $a^0 = 1$ .

Bruk regelen med $m = 0$ til å vise at $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Forklar ved hjelp av $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ hvorfor $\displaystyle a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$ .

📝Oppgave 1.10.6

Forenkle uttrykkene. Svaret skal ha positive eksponenter.

\left(2a^{-2}b^3\right)^2 \cdot \left(ab^2\right)^{-1}

\dfrac{\left(x^3y^{-1}\right)^2}{\left(x^{-1}y\right)^3}

\left(\dfrac{a}{2b}\right)^{-2} \cdot (ab)^2

📝Oppgave 1.10.7

Skriv som én potens.

\dfrac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}

\left(\sqrt[3]{a^2}\right)^3 \cdot a^{-1}

\sqrt{a^3 \cdot \sqrt{a}}

📝Oppgave 1.10.8

Sorter tallene i stigende rekkefølge uten hjelpemidler.

2^{45}

\;3^{30}

\;6^{15}

\displaystyle 32^{\frac{3}{5}}

\displaystyle \;81^{\frac{3}{4}}

\;e^{3\ln 2}

\;\sqrt[4]{3^3}

📝Oppgave 1.10.9

Løs likningene uten hjelpemidler.

2^{x+3} = 64

3^{2x-1} = \dfrac{1}{27}

25^x = 5^{x+4}

7 \cdot 2^x - 5 = 51

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.10

Regn ut uten hjelpemidler. Skriv svaret på standardform.

\left(3 \cdot 10^5\right) \cdot \left(4 \cdot 10^{-2}\right)

\dfrac{6 \cdot 10^8}{1{,}5 \cdot 10^{-3}}

Lyset går $3{,}0 \cdot 10^8$ m per sekund, og et år er omtrent $3{,}15 \cdot 10^7$ sekunder. Hvor langt går lyset på ett år?

📝Oppgave 1.10.11

En potensmodell er gitt ved $f(x) = a \cdot x^b$ .

Volumet av en kule er $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . Hvor mange ganger større blir volumet når radien dobles?

For en modell er $b = 1{,}5$ . Hvor mange prosent øker $f(x)$ når $x$ dobles?

Vis at $f(3x) = 3^b \cdot f(x)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.12

Løs likningene uten hjelpemidler.

9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0

4^x + 2^x - 6 = 0

e^{2x} - 3e^x + 2 = 0

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.13

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne. Begrunn svaret.

(a + b)^2 = a^2 + b^2

for alle

a

b

Når $a > 0$ , gir $a^x = a^y$ alltid $x = y$ .

\left(a^2\right)^3 = a^8

for alle

a

e^{k \ln x} = x^k

for alle

x > 0

📝Oppgave 1.10.14

Hjertefrekvensen $f$ til pattedyr i hvile er tilnærmet $\displaystyle f = c \cdot m^{-\frac{1}{4}}$ , der $m$ er kroppsmassen i kilogram og $c$ er en konstant.

Dyr A veier 16 ganger så mye som dyr B. Hvordan forholder hjertefrekvensene seg til hverandre? Løs uten hjelpemidler.

En mus på 0,02 kg har hjertefrekvens 600 slag per minutt. Bruk modellen til å anslå hjertefrekvensen til en elefant på 4000 kg.

Løs oppgaven

📝Oppgave 1.10.15

Løs uten hjelpemidler.

Bruk at $2^{10} = 1024$ til å vise at $2^{100} > 10^{30}$ .

Hvilket tall er størst, $3^{40}$ eller $4^{30}$ ?

Oppsummering

- Potensreglene følger av at $a^n$ er $n$ like faktorer: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , $(ab)^n = a^nb^n$ .
- $a^0 = 1$ , $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ og $\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ er valgt slik at reglene gjelder for alle eksponenter.
- Reglene gjelder produkter og brøker, ikke summer.
- Tall sammenliknes ved å skrive dem med samme eksponent eller samme grunntall.
- $a^x = a^y$ gir $x = y$ når $a > 0$ og $a \neq 1$ . Likninger med $a^{2x}$ og $a^x$ løses med $u = a^x$ .
- I en potensmodell $f(x) = ax^b$ gir dobbel $x$ funksjonsverdien multiplisert med $2^b$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

1.10 Potenser og potensregler

Potenser

Utledning av produktregelen

Null, negative og rasjonale eksponenter

Forenkling av potensuttrykk

Sammenlikne tall uten hjelpemidler

Eksponentiallikninger med samme grunntall

Potensmodeller: hva skjer når xxx dobles?

Oppgaver

Oppsummering

Potensmodeller: hva skjer når $x$ dobles?