8.1 Problemstilling og plan

a) Skjermtid seier verken kven, kva eller når. Vi bestemmer alle tre:

Er gjennomsnittleg skjermtid på telefonen ein vanleg skoledag høgare enn $180$ minutt blant elevane på VG2 ved skolen vår?

Populasjonen er elevane på VG2 ved éin bestemd skole. Variabelen er skjermtid på telefonen, målt i minutt, avlesen i den eigne skjermtidsloggen til telefonen. Tidsrommet er éin bestemd skoledag. Og svaret kan bli nei.

b) Dyrare må gjerast til eit tal, og straum til eit bestemt prisomgrep:

Kor mykje har gjennomsnittleg spotpris på straum i prisområde NO1 endra seg frå 2015 til 2025, målt i øre per kWh?

Her er populasjonen alle timane i tidsrommet, variabelen er spotprisen i øre per kWh, og kjelda er offentleg tilgjengeleg.

c) Gjer det betre og trenar må begge målast:

Er det ein samanheng mellom talet på dagar med trening siste veka og karaktersnittet ved førre terminoppgjer blant elevane på VG2 ved skolen vår?

Legg merke til at vi skriv samanheng, ikkje fører til. Grunnen står i kapittel 2.4 Korrelasjon og årsak: eit spreiingsplott kan aldri vise kva som er årsak.

Svar: Dei tre problemstillingane over. Kvar av dei seier kven, kva, korleis målt og når — og ingen av svara er gitt på førehand. a) og c) kan få svaret nei; b) har eit tal som svar, og det talet kan bli både større og mindre enn vi ventar.

b) Samanlikne. Vi treng ventetid i minutt, registrert for kvar pasient, og eit felt som seier kva vekedag det var. To uavhengige grupper (måndag og fredag), og analysen blir ei samanlikning av dei to gjennomsnitta på differansen:

$$z = \frac{\bar{x}_{\text{mån}} - \bar{x}_{\text{fre}}}{\sqrt{SE_{\text{mån}}^2 + SE_{\text{fre}}^2}}$$

(regelen i kapittel 7.3).

Her ser vi kvifor typen må avgjerast først: gløymer vi å registrere vekedagen, har vi eit stort og godt målt datamateriale som ikkje kan svare på problemstillinga i det heile.

c) Samanheng. Vi treng to tal for kvar elev: timar deltidsjobb siste veka og talet på fråværsdagar i terminen. Analysen blir spreiingsplott, korrelasjonskoeffisient og regresjonslinje (kapittel 2.1–2.3).

Svar: a) skildre, éin kategorisk variabel; b) samanlikne, ventetid pluss gruppetilhøyrsle; c) samanheng, to numeriske variablar på kvar elev.

a) Problemstillinga samanliknar eitt gjennomsnitt med ein oppgitt verdi ($200$ minutt). Det er typen samanlikne, og analysen blir ein hypotesetest for $\mu$ (kapittel 7.5).

b) Vi må bestemme fem ting, og skrive dei ned:

Opne Skjermtid på telefonen din og finn totalen for måndag 15. september. Skriv talet i minutt, avrunda til næraste fem minutt. Døme: 2 timar 12 minutt blir skrive som 130.

Vi brukar det verste tilfellet, $p = 0{,}5$, for då blir $p(1-p)$ størst:

$$E = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$

Vi set inn:

$$0{,}05 = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{n}}$$

Vi løyser for $n$. Først deler vi på $1{,}96$ på begge sider:

$$\frac{0{,}05}{1{,}96} = \sqrt{\frac{0{,}25}{n}}$$

Så kvadrerer vi begge sider:

$$\left(\frac{0{,}05}{1{,}96}\right)^2 = \frac{0{,}25}{n}$$

og gongar med $n$ og deler på venstresida:

$$n = \frac{0{,}25}{\left(\frac{0{,}05}{1{,}96}\right)^2} = \frac{0{,}25 \cdot 1{,}96^2}{0{,}05^2} = \frac{0{,}9604}{0{,}0025} = 384{,}16$$

Vi rundar opp, for $384$ ville gitt litt for stor feilmargin:

$$n = 385$$

Det er difor så mange meiningsmålingar har omtrent tusen svar: skal feilmarginen ned i $3$ prosentpoeng, trengst $n = 1\,068$.

b) Kva veit vi? $\sigma \approx 55$ minutt og $n = 40$.

$$E_{\bar{x}} = 1{,}96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$$E_{\bar{x}} = 1{,}96 \cdot \frac{55}{\sqrt{40}} = \frac{107{,}8}{6{,}3246} \approx 17{,}0$$

Feilmarginen blir omtrent $17$ minutt. Anslaget for gjennomsnittet kjem altså til å vere noko slikt som «$219$ minutt, pluss/minus $17$ minutt».

c) Vi set $E = 10$ og løyser for $n$:

$$10 = 1{,}96 \cdot \frac{55}{\sqrt{n}}$$

$$\sqrt{n} = \frac{1{,}96 \cdot 55}{10} = \frac{107{,}8}{10} = 10{,}78$$

$$n = 10{,}78^2 = 116{,}2 \approx 117$$

Kommentar: $117$ av $184$ elevar er nesten to av tre. Då er vi så nær ei totalteljing at det er enklare å spørje alle. Det er ein viktig lærdom om små populasjonar: der løner det seg ofte å slutte å trekkje utval og heller prøve å nå alle.

Svar: a) $385$ personar, b) omtrent $17$ minutt, c) $117$ elevar — så mange at elevrådet like gjerne kan freiste ei totalteljing.

Problemstilling

Er gjennomsnittleg skjermtid på telefonen ein vanleg skoledag høgare enn $200$ minutt blant elevane på VG2 ved Fjordbyen vidaregåande skole?

Type: samanlikne (eitt gjennomsnitt mot ein oppgitt verdi).

Tilleggsspørsmål (type samanheng): Er det ein samanheng mellom skjermtida på skoledagen og talet på timar søvn natta etter?

Populasjon

Dei $184$ elevane på VG2-lista per 15. september.

Variablar

Med $\sigma \approx 55$ minutt frå piloten og $n = 40$:

$$E = 1{,}96 \cdot \frac{55}{\sqrt{40}} \approx 17 \text{ minutt}$$

Vi kan altså ikkje oppdage små skilnader — berre skilnader i storleiksorden ein halvtime.

Kjende feilkjelder, vurderte på førehand

Analyseplan (bestemd før vi ser dataa)

$\bar{x}$, $s$, median, histogram og boksplott (kapittel 1.2–1.5); $95\ \%$ konfidensintervall for $\mu$ (kapittel 7.2); hypotesetest med $H_0$: $\mu = 200$ mot $H_1$: $\mu > 200$ på $5\ \%$ signifikansnivå (kapittel 7.5); spreiingsplott og korrelasjonskoeffisient for søvn mot skjermtid (kapittel 2.1–2.3).

Personvern
Skjemaet er anonymt. Ingen namn, ingen klasse.
NB: Legg merke til analyseplanen. Analysen er vald før dataa er sette. Det er ikkje ein formalitet. Vel du test etter at du har sett tala, kan du alltid finne ein test som gir det svaret du håpa på — og då måler undersøkinga deg, ikkje røynda.
Svar: Planen over, i åtte punkt.