7.7 Hypotesetesting i reelle datasett

a) Problemstilling: Er den gjennomsnittlege hushaldsstorleiken i kommunen høgare enn landsgjennomsnittet på 2,12?

Kommunen har ei klar retning i tankane, så testen er einsidig:

$$H_0: \mu = 2{,}12 \qquad H_1: \mu > 2{,}12$$

Signifikansnivå: $\alpha = 0{,}05$, vald på førehand.

b) Vi reknar frå frekvenstabellen. Summen av alle hushaldsstorleikane:

$$1 \cdot 7 + 2 \cdot 15 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 1 = 7 + 30 + 24 + 24 + 15 + 6 = 106$$

$$\bar{x} = \frac{106}{40} = 2{,}65 \text{ personar}$$

rekneark:   =SUMMERPRODUKT(A2:F2;A3:F3)/SUMMER(A3:F3)   gir 2,65
            =STDAV.S(...)  på dei 40 einskildverdiane     gir 1,29

$$s \approx 1{,}29 \text{ personar}$$

Først skildrar vi dataa. Dei 40 hushalda fordeler seg med toppen ved to personar og ein hale mot høgre.

Gjennomsnittet 2,65 ligg til høgre for typetalet, slik det som regel gjer i ei høgreskeiv fordeling — og skeivskapen er nettopp atterhaldet som må drøftast når testen byggjer på normaltilnærming.

c) Standardfeilen:

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1{,}29}{\sqrt{40}} \approx \frac{1{,}29}{6{,}325} \approx 0{,}204$$

Testobservatoren:

$$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{2{,}65 - 2{,}12}{0{,}204} = \frac{0{,}53}{0{,}204} \approx 2{,}59$$

p-verdien:

$$p = P(Z \ge 2{,}59) = 1 - 0{,}9952 = 0{,}0048$$

$$0{,}0048 \le 0{,}05$$

$H_0$ blir forkasta.

d) Konklusjon med atterhald:

Undersøkinga gir grunnlag for å seie at hushalda i kommunen i gjennomsnitt er større enn landsgjennomsnittet på 2,12 personar ($p = 0{,}005$). Anslaget vårt er 2,65 personar, med 95 % konfidensintervall $[2{,}25,\ 3{,}05]$.

Atterhald: (1) Konklusjonen gjeld berre dersom dei 40 hushalda verkeleg er trekte tilfeldig — er dei henta frå eitt bustadfelt, måler vi bustadfeltet og ikkje kommunen. (2) Einskildmålingane er langt frå normalfordelte (dei er heile tal frå 1 til 6, og fordelinga er skeiv), men det går fint: det er $\bar{X}$ som skal vere tilnærma normalfordelt, og med $n = 40$ syter sentralgrensesetninga for det. (3) Testen seier ingenting om kvifor hushalda er større.

Svar: a) $H_0: \mu = 2{,}12$ mot $H_1: \mu > 2{,}12$, $\alpha = 0{,}05$. b) $\bar{x} = 2{,}65$ og $s \approx 1{,}29$. c) $z \approx 2{,}59$, $p \approx 0{,}005$ — $H_0$ blir forkasta. d) Sjå konklusjonen over.

NB — atterhald nummer 2 er det viktigaste å forstå. Mange trur normalfordeling er eit krav til dataa. Det er det ikkje. Kravet gjeld fordelinga til gjennomsnittet, og ho blir normal av seg sjølv når $n$ er stor nok.

a) Standardfeilen:

$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = 2 \text{ ml}$$

Venstresidig test på 5 %-nivå gir kritisk $z = -1{,}645$:

$$\bar{x}_{\text{kritisk}} = 500 - 1{,}645 \cdot 2 = 500 - 3{,}29 = 496{,}71 \text{ ml}$$

Vi forkastar $H_0$ dersom $\bar{x} \le 496{,}71$ ml.

b) $P(\text{type I-feil}) = \alpha = 0{,}05$. Er maskinen rett innstilt, vil kontrollen likevel slå alarm i 5 % av tilfella — omtrent kvar tjuande gong.

c) No går vi ut frå at $\mu = 495$ er sann. Då er $\bar{X}$ normalfordelt om 495, framleis med standardavvik 2. Type II-feil tyder at vi ikkje forkastar, altså at $\bar{X}$ hamnar over grensa:

$$\beta = P(\bar{X} > 496{,}71 \ \lvert \ \mu = 495)$$

Vi standardiserer — no med 495 i midten:

$$z = \frac{496{,}71 - 495}{2} = \frac{1{,}71}{2} = 0{,}855$$

$$\beta = P(Z > 0{,}855) = 1 - 0{,}8037 = 0{,}196$$

$$\text{styrke} = 1 - \beta = 0{,}804$$

Fyller maskinen 495 ml, oppdagar kontrollen det altså i omtrent 80 % av tilfella — og overser det i 20 %.

d) Med $\mu = 498$:

$$z = \frac{496{,}71 - 498}{2} = \frac{-1{,}29}{2} = -0{,}645$$

$$\beta = P(Z > -0{,}645) = 0{,}741$$

$$\text{styrke} = 0{,}259$$

Eit avvik på 2 ml blir altså berre oppdaga i omtrent kvart fjerde tilfelle.

Dei to feiltypane i same bilete. Aksen måler standardfeil frå 500 ml, så forkastingsgrensa 496,7 ml står som $-1{,}645$. Gult areal er $\alpha$: sannsynet for å slå alarm når maskinen er rett innstilt. Turkist areal er $\beta$: sannsynet for å oversjå at maskinen fyller 495 ml. Flyttar vi linja mot venstre, krympar $\alpha$ og veks $\beta$ — dei to kan ikkje reduserast samtidig utan å måle fleire flasker.

Svar: a) $\bar{x} \le 496{,}71$ ml. b) 0,05. c) $\beta \approx 0{,}196$, styrke $\approx 0{,}80$. d) $\beta \approx 0{,}741$, styrke $\approx 0{,}26$.

Kva dette tyder i praksis: testen er god til å oppdage store avvik og nesten blind for små. Det er difor «testen fann ingen feil» aldri tyder «maskinen er rett innstilt» — det kan like gjerne tyde at avviket var for lite for denne testen å sjå.

a) For kvar $n$ reknar vi først grensa $\displaystyle \bar{x}_{\text{kritisk}} = 500 - 1{,}645 \cdot \frac{12}{\sqrt{n}}$, og deretter $1 - \beta$ for kvar sanne $\mu$:

$$\beta = P(\bar{X} > 495{,}35 \ \lvert \ \mu = 496) = P\!\left(Z > \frac{495{,}35 - 496}{2}\right) = P(Z > -0{,}325) = 0{,}628$$

Styrken fell frå 0,64 til 0,37. Å gjere $\alpha$ mindre gjer $\beta$ større.

c) Styrken er avhengig av tre ting:

- Effektstorleiken — kor langt den sanne verdien er frå $\mu_0$. Store avvik er lette å sjå.

- Utvalsstorleiken $n$ — fleire målingar krympar $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ og skil fordelingane betre.

- Signifikansnivået $\alpha$ — strengare krav mot falsk alarm gir fleire oversette effektar.

Styrken $1 - \beta$ mot den sanne $\mu$. Styrken veks når avviket frå 500 blir større (til venstre), og han veks med $n$.
Alle tre kurvene endar i $\alpha = 0{,}05$ når $\mu$ faktisk er 500. Punkta på den blå kurva er tala i tabellen over.
Kurvene for $n = 100$ og $n = 400$ er teikna frå det punktet der dei skil seg frå 1,00 — lenger til venstre ligg dei pikselvis oppå kvarandre.

Svar: a) Sjå tabellen. b) $\beta$ veks frå 0,36 til 0,63, styrken fell frå 0,64 til 0,37. c) Effektstorleik, utvalsstorleik og $\alpha$.

NB: Berre éin av dei tre gir forbetring utan motyting, og det er $n$. $\alpha$ og $\beta$ er ein bytehandel; fleire målingar er den einaste måten å redusere begge på samtidig.

a) Brannalarm. $H_0$: det brenn ikkje.

- Type I-feil: alarmen går utan brann. Irriterande, men ufarleg.
- Type II-feil: det brenn, og alarmen teier. Katastrofalt.

Her vil vi ha svært liten $\beta$, og godtek ein stor $\alpha$. Difor er brannalarmar stilte inn så følsamt at dei går av når nokon brenn brødskiver.

b) Legemiddel. $H_0$: medisinen verkar ikkje betre enn dagens behandling.

- Type I-feil: vi godkjenner ein medisin som ikkje verkar. Pasientar får biverknader utan nytte, og ei verksam behandling kan bli erstatta.
- Type II-feil: vi avviser ein medisin som faktisk verkar. Òg alvorleg, men han kan prøvast på nytt seinare.

Her blir $\alpha$ sett lågt, ofte 0,01 eller lågare, og ein kompenserer for den auka $\beta$ ved å krevje store studiar.

c) Knappefarge. $H_0$: fargen har ingen effekt.

- Type I-feil: dei byter farge utan grunn. Kostar nesten ingenting.
- Type II-feil: dei beheld ein dårlegare farge. Kostar òg lite.

Her kan $\alpha = 0{,}10$ vere heilt forsvarleg. Ingen kjem til skade av ein knapp.

Svar: a) Type II er verst — vel stor $\alpha$ (følsam alarm). b) Type I er alvorlegast — vel liten $\alpha$, og kompenser med stort utval. c) Begge feila er billege — $\alpha = 0{,}10$ er greitt.

Regelen bak alle tre: set $\alpha$ lågt når falsk alarm er dyrt, og syt for stort nok utval når det å oversjå noko er dyrt. Statistikken gir deg tala; kva dei er verde, må du avgjere sjølv.

Ein siste ting å leggje merke til: i alle tre tilfella er $H_0$ sett til «det skjer ingenting». Det er ikkje tilfeldig. Testen er bygd slik at det krevst haldepunkt for å påstå at noko skjer — den som hevdar noko nytt, har provbyrda.