7.6 Test av ein andel | Statistikk

Hypotesetest for ein andel, binomisk og med normaltilnærming.

45 min

7 oppgaver

Test av andel

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Test av ein andel

I kapittel 7.4 testa vi andelar med den binomiske fordelinga og rekna p-verdien som ein hale i henne. I kapittel 7.5 testa vi gjennomsnitt med normalfordelinga og ein testobservator $z$ .

For andelar har vi begge vegane opne, og dette kapittelet handlar om å velje rett:

metode	når	p-verdi
eksakt binomisk	alltid gyldig, men tungvint for hand ved stor $n$	hale i binomisk fordeling
normaltilnærming	når $np_0 \ge 5$ og $n(1-p_0) \ge 5$	hale i normalfordelinga

Den eksakte metoden er alltid rett. Normaltilnærminga er ein snarveg som blir god når utvalet er stort nok — og vi skal måle kor stor skilnaden faktisk er.
Merk deg allereie no eitt punkt: når vi testar, reknar vi standardfeilen med $p_0$ frå nullhypotesen, ikkje med

\hat{p}

frå dataa. Det er den einaste staden der testen skil seg frå konfidensintervallet i kapittel 7.3.

📜Testobservator for ein andel

Skal vi teste

H_0: p = p_0

ut frå

x

observasjonar i eit utval på

n

, set vi

\displaystyle \hat{p} = \frac{x}{n}

og reknar

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

Dette er den same testobservatoren som i kapittel 7.5 — observert minus påstått, delt på standardfeilen — berre med $\hat{p}$ der $\bar{x}$ stod. Standardfeilen er den frå kapittel 7.1, rekna med den verdien $H_0$ påstår.

Når $H_0$ er sann og $np_0 \ge 5$ og $n(1-p_0) \ge 5$ , er $z$ tilnærma standard normalfordelt. p-verdiane finn ein som i kapittel 7.5:

$H_1$	p-verdi
$p > p_0$	$P(Z \ge z)$
$p < p_0$	$P(Z \le z)$
$p \ne p_0$	$2 \cdot P(Z \ge \lvert z \rvert)$

Den eksakte binomiske p-verdien blir rekna direkte på talet

x

, under

H_0

P(X \ge x) \quad \text{eller} \quad P(X \le x)

NB — kvifor $p_0$ og ikkje $\hat{p}$ i nemnaren? Heile testen byggjer på spørsmålet «dersom

H_0

er sann, kor rart er dette?». Då må òg spreiinga reknast ut frå

H_0

. I konfidensintervallet finst det ingen

p_0

— der er

\hat{p}

det einaste vi har.

✏️Døme 1: Når utvalet er for lite for snarvegen

Eit apotek lovar at 90 % av kundane er ekspederte innan fem minutt. Ein kontroll av 30 tilfeldige kundar viser at 22 vart ekspederte i tide.

a) Set opp hypotesar.
b) Kontroller om normaltilnærminga kan brukast.
c) Finn den eksakte p-verdien og konkluder på 5 %-nivå.
d) Kor gale hadde det gått med normaltilnærminga?

Løysing:

a) Kontrollen er ute etter om lovnaden ikkje blir halden:

$H_0: p = 0{,}90 \qquad H_1: p < 0{,}90$

b) Under $H_0$ :

$np_0 = 30 \cdot 0{,}90 = 27 \ge 5 \quad \checkmark$

$n(1-p_0) = 30 \cdot 0{,}10 = 3 \quad \textbf{— under 5!}$

Det andre vilkåret sviktar. Normaltilnærminga kan altså ikkje brukast her, og vi må rekne eksakt.

c) Under $H_0$ er talet på kundar som blir ekspederte i tide, binomisk fordelt med $n = 30$ og $p = 0{,}90$ . Forventa tal er 27; vi observerte 22.

$p\text{-verdi} = P(X \le 22) = 0{,}0078$

rekneark:   =BINOM.FORDELING.N(22;30;0,9;SANN)     gir 0,0078

$0{,}0078 \le 0{,}05$

$H_0$ blir forkasta.

Her sviktar normaltilnærminga. Med $n = 30$ og $p_0 = 0{,}90$ er $n(1 - p_0) = 3$ , altså langt under 5, og fordelinga er pressa opp mot 30.

Normalkurva held fram forbi 30 og gir sannsyn til tal som ikkje finst.

Alt til venstre for den raude streken er $p$ -verdien: dei raude søylene frå 18 til 22 er så låge at dei berre kan sjåast som ei stripe langs aksen.

Konklusjon i kontekst: Kontrollen gir grunnlag for å seie at apoteket ekspederer færre enn 90 % av kundane innan fem minutt. Heldt lovnaden, ville 22 eller færre i tide ha førekome i under 1 av 100 kontrollar.

d) Reknar vi likevel med normaltilnærminga:

$\hat{p} = \frac{22}{30} \approx 0{,}7333$

$z = \frac{0{,}7333 - 0{,}90}{\sqrt{\frac{0{,}90 \cdot 0{,}10}{30}}} = \frac{-0{,}1667}{0{,}0548} \approx -3{,}04$

$p\text{-verdi} \approx P(Z \le -3{,}04) = 0{,}0012$

Det er 0,0012 mot 0,0078 — snarvegen gir ein p-verdi som er over seks gonger for liten. Konklusjonen blir riktignok den same her, men i eit grensetilfelle ville han vore feil.

Svar: a) $H_0: p = 0{,}90$ mot $H_1: p < 0{,}90$ . b) Nei — $n(1-p_0) = 3 < 5$ . c) $p\text{-verdi} = 0{,}0078$ , $H_0$ blir forkasta. d) Normaltilnærminga gir 0,0012, altså over seks gonger for lite.

NB: Vilkåret er ikkje ein formalitet ein kan hoppe over når tala er nesten store nok. Det er nettopp i halane — der p-verdiane bur — at tilnærminga er dårlegast.

📝Oppgave 1

Gjer den same utrekninga som i døme 1. Røynsle viser at 60 % av pasientane blir betre av ei standardbehandling. Ei ny behandling blir prøvd på 15 pasientar, og 13 blir betre.

Set opp $H_0$ og $H_1$ .

Kor mange ville vi venta under $H_0$ ?

Finn den eksakte p-verdien.

Konkluder på 5 %-nivå og på 1 %-nivå.

Rekn òg normaltilnærminga, og samanlikn. Kva for ein bør oppgivast?

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Syklar fleire i kommunen enn på landsbasis?

På landsbasis syklar 5 % av dei yrkesaktive til jobb. Ein kommune som har satsa på sykkelvegar, spør 600 tilfeldig valde yrkesaktive innbyggjarar, og 42 seier dei syklar til jobb.

a) Set opp hypotesar og kontroller føresetnaden.
b) Rekn ut $z$ og finn p-verdien.
c) Konkluder på 5 %-nivå og på 1 %-nivå.
d) Samanlikn med den eksakte binomiske p-verdien.

Løysing:

Kva veit vi? $p_0 = 0{,}05$ , $n = 600$ , $x = 42$ .

a) Kommunen vil vise at andelen er høgare:

$H_0: p = 0{,}05 \qquad H_1: p > 0{,}05$

Føresetnaden, rekna under $H_0$ :

$np_0 = 600 \cdot 0{,}05 = 30 \ge 5 \quad \checkmark$

$n(1-p_0) = 600 \cdot 0{,}95 = 570 \ge 5 \quad \checkmark$

Normaltilnærminga kan brukast.

b) Estimatet:

$\hat{p} = \frac{42}{600} = 0{,}07$

Standardfeilen under $H_0$ — altså med $p_0 = 0{,}05$ , ikkje med 0,07:

$\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}05 \cdot 0{,}95}{600}} = \sqrt{0{,}0000792} \approx 0{,}0089$

Testobservatoren:

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0{,}07 - 0{,}05}{0{,}0089} = \frac{0{,}02}{0{,}0089} \approx 2{,}25$

p-verdien:

$p = P(Z \ge 2{,}25) = 1 - 0{,}9878 = 0{,}0122$

c) På 5 %-nivå: $0{,}0122 \le 0{,}05$ — $H_0$ blir forkasta. På 1 %-nivå: $0{,}0122 > 0{,}01$ — $H_0$ blir behalden.

Konklusjon i kontekst: På 5 %-nivå gir undersøkinga grunnlag for å seie at andelen som syklar til jobb, er høgare i kommunen enn dei 5 prosenta på landsbasis.

d) Den eksakte binomiske p-verdien er

$P(X \ge 42) = 0{,}0193$

mot 0,0122 for normaltilnærminga. Begge gir forkasting på 5 %-nivå, men den eksakte er nesten 60 % større. Tilnærminga er altså litt for rask til å forkaste — noko ho ofte er når $p_0$ ligg nær 0 eller 1.

Svar: a) $H_0: p = 0{,}05$ mot $H_1: p > 0{,}05$ ; føresetnaden er oppfylt. b) $z \approx 2{,}25$ og $p \approx 0{,}0122$ . c) Forkast på 5 %-nivå, behald på 1 %-nivå. d) Eksakt: 0,0193 — same konklusjon, men større p-verdi.

Den vanlegaste feilen: feil tal i nemnaren

Det er lett å skrive

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \qquad \textbf{(FEIL i ein test)}$

fordi det er akkurat den standardfeilen vi brukte i konfidensintervallet i kapittel 7.3. Men i ein test reknar vi under $H_0$ , og då høyrer òg spreiinga til $H_0$ .

standardfeil	kvifor
konfidensintervall	$\displaystyle \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	vi har ingen $p_0$ — berre dataa
hypotesetest	$\displaystyle \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}$	alt blir rekna som om $H_0$ var sann

I døme 2 ville feilen gitt

\displaystyle \sqrt{\frac{0{,}07 \cdot 0{,}93}{600}} \approx 0{,}0104

i staden for 0,0089, og dermed

z \approx 1{,}92

i staden for 2,25 — p-verdi 0,027 i staden for 0,012. Same konklusjon her, men feil tal, og i eit grensetilfelle feil svar.
Hugseregel: Testen låner alt frå nullhypotesen. Intervallet låner alt frå dataa.

📝Oppgave 2

Ein kommune har tidlegare målt at 60 % av innbyggjarane kjeldesorterer rett. Etter ein informasjonskampanje kontrollerer dei 400 tilfeldige hushald, og 268 sorterer rett.

Set opp $H_0$ og $H_1$ , og kontroller føresetnaden.

Finn $\hat{p}$ og standardfeilen under $H_0$ .

Rekn ut $z$ .

Finn p-verdien og konkluder på 1 %-nivå.

Finn den eksakte binomiske p-verdien og samanlikn.

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Forkastingsområdet i tal

Vi planlegg sykkelundersøkinga frå døme 2 på nytt: $n = 600$ og $H_0: p = 0{,}05$ mot $H_1: p > 0{,}05$ , på 5 %-nivå.

a) Finn forkastingsområdet uttrykt i $\hat{p}$ .
b) Gjer det om til talet på syklistar.
c) Finn det eksakte forkastingsområdet med den binomiske fordelinga, og samanlikn.

Løysing:

a) Kritisk $z$ for einsidig test på 5 %-nivå er 1,645. Då er grensa

$\hat{p} = p_0 + 1{,}645 \cdot \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = 0{,}05 + 1{,}645 \cdot 0{,}0089 = 0{,}05 + 0{,}0146 = 0{,}0646$

Forkastingsområdet er $\hat{p} \ge 0{,}0646$ , altså 6,46 % eller meir.

b) Vi gongar med $n$ :

$600 \cdot 0{,}0646 = 38{,}8$

Sidan talet på syklistar er eit heilt tal, blir $H_0$ forkasta ved 39 eller fleire syklistar.

c) Eksakt rekning gir

$k$	38	39	40	41
$P(X \ge k)$	0,0836	0,0599	0,0420	0,0288

Den minste

k

som gir sannsyn under 5 %, er 40. Det eksakte forkastingsområdet er altså

X \ge 40

, medan tilnærminga sa 39.
Skilnaden er éin person. Ved

k = 39

er det verkelege sannsynet 0,0599 — altså er den «5 %-testen» tilnærminga føreslår, i røynda ein 6 %-test.

Eit søylediagram over talet på syklistar, merkt k, frå 10 til 55 på den vassrette aksen. Fordelinga har toppen rundt 30 og er nesten symmetrisk. Søylene til og med 38 er blå, søylene frå 39 og oppover er raude. Ein grå stipla loddrett strek står mellom 38 og 39, merkt grensa 38,8. Teksten forkast frå og med 39 står ved dei raude søylene.

Grensa $\mu + 1{,}645\sigma = 38{,}8$ ligg mellom to heile tal. Talet kan berre vere eit heilt tal, så forkastingsområdet etter normaltilnærminga startar ved 39.

Då er det verkelege sannsynet for å forkaste $P(X \ge 39) \approx 0{,}060$ , altså 6,0 % — litt over 5 %. Den eksakte grensa 40 gir $P(X \ge 40) \approx 0{,}042$ , altså 4,2 %.

Det er difor ein test på eit diskret tal sjeldan treffer signifikansnivået eksakt.

Svar: a) $\hat{p} \ge 0{,}0646$ . b) 39 eller fleire syklistar. c) Eksakt: 40 eller fleire. Tilnærminga bommar med éin observasjon, og gir eit faktisk signifikansnivå på 6,0 % i staden for 5 %.

NB: Sprang som dette er uunngåelege med ei diskret fordeling. Talet på syklistar er eit heilt tal, og då finst det sjeldan ei grense som treffer akkurat 5 %. Det faktiske signifikansnivået blir difor ofte litt lågare enn det vi bad om — her 4,2 % i staden for 5 %.

📝Oppgave 3

Ein nettbutikk vil undersøkje om andelen kundar som vel eit abonnement framfor eit eingongskjøp, har endra seg frå dei vanlege 50 %. Dei ser på 400 tilfeldige kjøp, og 176 er abonnement.

Set opp $H_0$ og $H_1$ , og sei om testen er einsidig eller tosidig.

Finn $\hat{p}$ og standardfeilen under $H_0$ .

Rekn ut $z$ og finn den tosidige p-verdien.

Konkluder på 5 %-nivå, i kontekst.

Rekn 95 % konfidensintervallet for $p$ , og vis at det gir same konklusjon. Legg merke til kva standardfeil du brukar her.

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Begge metodane i verktøya

Vi brukar tala frå døme 2: $n = 600$ , $x = 42$ , $H_0: p = 0{,}05$ mot $H_1: p > 0{,}05$ .

a) Set opp reknearket som gir begge p-verdiane.
b) Gjer det same i GeoGebra.
c) Kva p-verdi bør rapporterast?

Løysing:

a) Vi legg inn dei tre tala og byggjer vidare:

A1: 600       (n)
A2: 42        (x)
A3: 0,05      (p0)

A4: =A2/A1                       gir 0,07       (p-hatt)
A5: =ROT(A3*(1-A3)/A1)           gir 0,008898   (SE under H0)
A6: =(A4-A3)/A5                  gir 2,2478     (z)
A7: =1-NORM.S.FORDELING.N(A6;SANN) gir 0,01229    (normaltilnærming)
A8: =1-BINOM.FORDELING.N(A2-1;A1;A3;SANN)
                                 gir 0,01933    (eksakt binomisk)

Legg merke til A2-1 i den siste: BINOM.FORDELING.N(...;SANN) gir $P(X \le k)$ , så $P(X \ge 42)$ er $1 - P(X \le 41)$ .

b) I GeoGebra:

FordelingBinomial(600, 0.05, 41, true)     gir 0.98067
1 - 0.98067                                gir 0.01933

c) Den eksakte verdien 0,0193. Han er rett same kva utvalsstorleiken er, og verktøyet reknar han like raskt som tilnærminga. Normaltilnærminga høyrer heime på Del 1, der vi berre har tabellen — og der er $z$ -vegen den einaste farbare.

Svar: a) NORM.S.FORDELING for tilnærminga, BINOM.FORDELING.N for den eksakte. b) FordelingBinomial(600, 0.05, 41, true) og trekk frå 1. c) Den eksakte, 0,0193.

NB — ein god vane: oppgi alltid kva metode du har brukt.

« $p = 0{,}019$ (eksakt binomisk)» og « $p = 0{,}012$ (normaltilnærming)» er to ulike opplysningar om dei same dataa, og lesaren har krav på å vite kva for ei av dei ho ser.

📝Oppgave 4

Avgjer for kvart tilfelle om normaltilnærminga kan brukast, eller om testen må gjerast eksakt binomisk. Rekn $np_0$ og $n(1-p_0)$ kvar gong.

n = 40

H_0: p = 0{,}02

n = 300

H_0: p = 0{,}02

n = 25

H_0: p = 0{,}5

n = 1000

H_0: p = 0{,}004

Formuler med eigne ord når normaltilnærminga sviktar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Ei kinokjede har røynt at 25 % av gjestene kjøper mat i kiosken. Etter ein ny meny vil dei teste $H_0: p = 0{,}25$ mot $H_1: p > 0{,}25$ på 5 %-nivå, med $n = 200$ gjester.

Kor mange kjøp ville vi venta under $H_0$ ?

Finn standardfeilen under $H_0$ .

Finn forkastingsområdet uttrykt i $\hat{p}$ , og gjer det om til tal.

Kontroller grensa eksakt: rekn $P(X \ge 60)$ og $P(X \ge 61)$ .

Kjeda observerer 58 kjøp. Kva blir konklusjonen, og kva ville du rådd dei til?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Testobservator for ein andel:

$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$

- Standardfeilen blir rekna med $p_0$ , ikkje med $\hat{p}$ — alt i ein test blir rekna som om $H_0$ var sann. Konfidensintervallet brukar derimot $\hat{p}$ .
- Føresetnad for normaltilnærming: $np_0 \ge 5$ og $n(1-p_0) \ge 5$ . Det er det minste av dei som avgjer, og stor $n$ reddar ikkje ein $p_0$ nær 0 eller 1.
- Eksakt binomisk p-verdi er alltid rett: $P(X \ge x)$ eller $P(X \le x)$ under $H_0$ , rekna med BINOM.FORDELING.N.
- Tilnærminga gir for små p-verdiar når fordelinga er skeiv — i døme 1 var det 0,0012 mot eksakte 0,0078.
- Forkastingsområdet kan skrivast i $\hat{p}$ eller i tal. Fordi talet er eit heilt tal, treffer testen sjeldan signifikansnivået eksakt.
- p-verdiar blir oppgitte med metoden: « $p = 0{,}019$ (eksakt binomisk)».

I kapittel 7.7 set vi alt saman på eit reelt datasett, og ser på dei to feila ein test kan gjere.

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Ved førre kommunestyreval var valdeltakinga i ein kommune 64,0 %. Etter valet i år spør kommunen 1500 tilfeldig valde røysteføre, og 992 seier dei røysta. Kommunen vil vite om deltakinga har endra seg.

Set opp hypotesane, og grunngi einsidig eller tosidig.

Finn $\hat{p}$ , standardfeilen under $H_0$ og $z$ .

Finn den tosidige p-verdien og konkluder på 5 %-nivå.

Rekn 95 % konfidensintervallet for $p$ , og vis at det stemmer med konklusjonen i c).

Kor stort måtte utvalet ha vore for at det same avviket (2,13 prosentpoeng) skulle blitt signifikant på 5 %-nivå? Drøft om kommunen bør spørje så mange.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder situasjonane under.

Eit avvik på eitt prosentpoeng frå $p_0 = 0{,}50$ . Rekn $z$ og tosidig p-verdi for $n = 100$ , $n = 1000$ og $n = 10\,000$ .

Kor stor må $n$ vere for at eitt prosentpoeng skal bli signifikant (tosidig, 5 %)?

«Vi testa med $n = 12$ og fekk ikkje signifikans, så det er ingen skilnad.» Kva er feilen?

Ei bedrift testar $H_0: p = 0{,}05$ (andel defekte) med $n = 60$ . Er testen brukande?

To aviser melder om same undersøkinga. Den eine skriv «signifikant auke ( $p = 0{,}03$ )», den andre «auken var på 1,2 prosentpoeng, frå 23,0 % til 24,2 %». Kva opplysning er mest nyttig, og kvifor?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.