7.5 Test av eit gjennomsnitt | Statistikk

Hypotesetest for μ med normalfordeling — einsidig og tosidig.

45 min

7 oppgaver

z-testEinsidig og tosidig test

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Test av eit gjennomsnitt

I kapittel 7.4 testa vi påstandar om andelar, og rekna p-verdiane med den binomiske fordelinga. No skal vi teste påstandar om eit gjennomsnitt: «pærene varer 1200 timar», «flaskene inneheld 500 ml», «reisetida er 32 minutt».

Heile tankegangen er den same — fem steg, p-verdi mot signifikansnivå. Det nye er at vi reknar med normalfordelinga, fordi vi veit frå kapittel 6 korleis $\bar{X}$ oppfører seg:

$E(\bar{X}) = \mu \qquad SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

og at $\bar{X}$ er tilnærma normalfordelt når $n$ er stor nok — same korleis einskildmålingane er fordelte. Det er sentralgrensesetninga som gjer denne testen mogleg i praksis.

Spørsmålet vi skal svare på, er kvar gong det same: kor mange standardfeil ligg det målte gjennomsnittet frå den påståtte verdien?

📜Testobservatoren z

Skal vi teste

H_0: \mu = \mu_0

ut frå eit utval med gjennomsnitt

\bar{x}

, reknar vi

$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Når $H_0$ er sann, er $z$ tilnærma standard normalfordelt. Talet $z$ seier kor mange standardfeil det målte gjennomsnittet ligg frå den påståtte verdien.

p-verdien er avhengig av kva alternativ hypotese vi har:

$H_1$	p-verdi
$\mu > \mu_0$	$P(Z \ge z)$
$\mu < \mu_0$	$P(Z \le z)$
$\mu \ne \mu_0$	$2 \cdot P(Z \ge \lvert z \rvert)$

Dei tilhøyrande kritiske verdiane er

$\alpha$	einsidig	tosidig
0,10	1,282	1,645
0,05	1,645	1,960
0,01	2,326	2,576

\sigma

ukjend, blir

s

brukt — forsvarleg når

n \ge 30

, akkurat som i kapittel 7.2.
Para målingar. Er det målt to gonger på kvar eining (til dømes før og etter), reknar vi differansen

d

for kvar eining og testar

H_0: \mu_d = 0

med denne testen, med

\bar{x}

s

rekna av differansane.

To uavhengige grupper blir ikkje samanlikna med denne testen, men på differansen mellom gruppene (regelen i kapittel 7.3).

✏️Døme 1: Varer pærene så lenge som lova?

Ein produsent oppgir at lyspærene deira varer i gjennomsnitt 1200 timar. Standardavviket er kjent frå produksjonen: $\sigma = 90$ timar. Eit forbrukarorgan testar 40 tilfeldige pærer og måler gjennomsnittet $\bar{x} = 1168$ timar. Dei mistenkjer at pærene varer kortare enn lova.

a) Set opp hypotesar.
b) Rekn ut $z$ .
c) Finn p-verdien og konkluder på 5 %-nivå.
d) Kva blir konklusjonen på 1 %-nivå?

Løysing:

Kva veit vi? $\mu_0 = 1200$ t, $\sigma = 90$ t, $n = 40$ , $\bar{x} = 1168$ t.

a) Mistanken er at levetida er kortare, så testen er venstresidig:

$H_0: \mu = 1200 \qquad H_1: \mu < 1200$

b) Først standardfeilen:

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{90}{\sqrt{40}} \approx \frac{90}{6{,}325} \approx 14{,}23$

Så testobservatoren — formelen tom først, så med tal:

$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{1168 - 1200}{14{,}23} = \frac{-32}{14{,}23} \approx -2{,}25$

Det målte gjennomsnittet ligg altså 2,25 standardfeil under den påståtte verdien. Minusteiknet tyder «under», og det skal vere der — det er sjølve retninga i testen.

c) Sidan $H_1$ peikar nedover, er p-verdien arealet i venstre hale:

$p = P(Z \le -2{,}25) = 0{,}0122$

Vi samanliknar:

$0{,}0122 \le 0{,}05$

$H_0$ blir forkasta.

Venstresidig test. Testobservatoren $z = -2{,}25$ ligg til venstre for den kritiske grensa $-1{,}645$ , altså inne i forkastingsområdet.

Samtidig er $p = 0{,}0122 < 0{,}05$ . Dei to måtane å avgjere på gir same svar, slik dei alltid gjer.

Konklusjon i kontekst: Testen gir grunnlag for å seie at pærene i gjennomsnitt varer kortare enn dei 1200 timane produsenten oppgir. Var påstanden rett, ville eit utval på 40 pærer gitt eit gjennomsnitt på 1168 timar eller lågare i berre omtrent 1 av 100 testar.

d) På 1 %-nivå: $0{,}0122 > 0{,}01$ , så $H_0$ blir behalden. Testen er signifikant på 5 %-nivå, men ikkje på 1 %-nivå.

Svar: a) $H_0: \mu = 1200$ mot $H_1: \mu < 1200$ . b) $z \approx -2{,}25$ . c) $p \approx 0{,}0122$ , $H_0$ blir forkasta på 5 %-nivå. d) På 1 %-nivå blir $H_0$ behalden.

NB — forteiknet på $z$ er informasjon. Ein negativ $z$ tyder at målinga ligg under $\mu_0$ .

Hadde vi fått $z = +2{,}25$ i denne oppgåva, ville p-verdien vore $P(Z \le 2{,}25) = 0{,}988$ — altså det motsette av signifikant. Pærene ville då ha vara lenger enn lova, og det er ikkje det vi testar.

📝Oppgave 1

Gjer den same utrekninga som i døme 1. Eit treningssenter hevdar at medlemene i gjennomsnitt trenar 60 minutt per økt. Standardavviket er kjent: $\sigma = 8$ minutt. Ei undersøking av 64 tilfeldige økter gir $\bar{x} = 62{,}1$ minutt. Senteret vil vise at snittet er høgare enn 60.

Set opp $H_0$ og $H_1$ .

Finn standardfeilen.

Rekn ut $z$ .

Finn p-verdien og konkluder på 5 %-nivå.

Kva gjennomsnitt måtte dei ha målt for akkurat å forkaste på 5 %-nivå?

Løs oppgaven

Tosidig test — når begge retningar tel

Ein fyllmaskin skal ikkje fylle for lite. Men han skal heller ikkje fylle for mykje — det kostar pengar, og kundane skal få det dei betaler for, verken meir eller mindre. Her er begge avvika eit problem, og testen blir tosidig:

$H_0: \mu = 500 \qquad H_1: \mu \ne 500$

Då må signifikansnivået delast på to, med $\displaystyle \frac{\alpha}{2}$ i kvar hale. Det er difor grensa blir flytt frå 1,645 til 1,96 når $\alpha = 0{,}05$ — og det er den same 1,96 som i konfidensintervallet i kapittel 7.2. Det er ingen tilfeldigheit; vi kjem tilbake til samanhengen i døme 3.

p-verdien blir rekna ved å ta halen på den sida observasjonen fall, og så gonge med 2:

$p = 2 \cdot P(Z \ge \lvert z \rvert)$

Absoluttverdien gjer at det ikkje spelar nokon rolle kva veg avviket gjekk — vi spør berre kor langt unna vi er.

✏️Døme 2: Fyller maskinen rett?

Ein maskin skal fylle 500 ml i kvar flaske. Kvalitetsavdelinga måler 30 tilfeldige flasker og finn $\bar{x} = 497{,}6$ ml og $s = 4{,}2$ ml. Både for lite og for mykje er uønskt.

a) Set opp hypotesar, og forklar kvifor testen er tosidig.
b) Rekn ut $z$ .
c) Finn p-verdien og konkluder på 1 %-nivå.
d) Rekn ut eit 95 % konfidensintervall, og samanlikn med konklusjonen.

Løysing:

Kva veit vi? $\mu_0 = 500$ ml, $n = 30$ , $\bar{x} = 497{,}6$ ml, $s = 4{,}2$ ml. Her er $\sigma$ ukjend, men $n = 30$ , så vi brukar $s$ .

a) Avvik i begge retningar er eit problem:

$H_0: \mu = 500 \qquad H_1: \mu \ne 500$

b) Standardfeilen:

$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4{,}2}{\sqrt{30}} \approx \frac{4{,}2}{5{,}477} \approx 0{,}767 \text{ ml}$

Testobservatoren:

$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{497{,}6 - 500}{0{,}767} = \frac{-2{,}4}{0{,}767} \approx -3{,}13$

Avviket er altså over tre standardfeil.

c) Tosidig p-verdi:

$p = 2 \cdot P(Z \ge 3{,}13) = 2 \cdot 0{,}00087 = 0{,}0017$

$0{,}0017 \le 0{,}01$

$H_0$ blir forkasta, òg på 1 %-nivå.

Konklusjon i kontekst: Maskinen fyller ikkje 500 ml i gjennomsnitt. Avviket er så stort at det ikkje med rimelegheit kan forklarast av tilfeldig variasjon mellom flasker — maskinen bør justerast.

d) Konfidensintervallet:

$497{,}6 \pm 1{,}96 \cdot 0{,}767 = 497{,}6 \pm 1{,}50$

$[496{,}1,\ 499{,}1]$

Verdien 500 ligg utanfor intervallet — same konklusjon som testen gav.

Svar: a) $H_0: \mu = 500$ mot $H_1: \mu \ne 500$ , tosidig fordi begge avvika er uønskte. b) $z \approx -3{,}13$ . c) $p \approx 0{,}0017$ , $H_0$ blir forkasta òg på 1 %-nivå. d) $[496{,}1,\ 499{,}1]$ — 500 ligg utanfor, i tråd med testen.

NB: Intervallet gir i tillegg noko testen ikkje gir: ein storleik på avviket. Maskinen fyller truleg mellom 1 og 4 ml for lite. Det er den opplysninga produksjonssjefen treng for å avgjere om det hastar.

📝Oppgave 2

Ein pakkemaskin skal leggje 250 gram i kvar pakke. Eit utval på 40 pakkar gir $\bar{x} = 252{,}3$ gram og $s = 6{,}4$ gram. Både under- og overvekt er uønskt.

Set opp $H_0$ og $H_1$ .

Finn standardfeilen.

Rekn ut $z$ .

Finn den tosidige p-verdien og konkluder på 5 %-nivå og 1 %-nivå.

Finn 95 %- og 99 %-konfidensintervalla, og vis at dei gir same svar som testane i d).

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Konfidensintervall og tosidig test er same sak

Eit utval på 36 målingar gir $\bar{x} = 104{,}8$ og $s = 12{,}0$ .

a) Finn 95 % konfidensintervallet for $\mu$ .
b) Test $H_0: \mu = 100$ mot $H_1: \mu \ne 100$ på 5 %-nivå.
c) Test $H_0: \mu = 101$ på same måte.
d) Formuler samanhengen du ser.

Løysing:

a) Standardfeilen:

$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{12{,}0}{\sqrt{36}} = \frac{12{,}0}{6} = 2{,}0$

$104{,}8 \pm 1{,}96 \cdot 2{,}0 = 104{,}8 \pm 3{,}92$

$[100{,}88,\ 108{,}72]$

b) Med $\mu_0 = 100$ :

$z = \frac{104{,}8 - 100}{2{,}0} = 2{,}40$

$p = 2 \cdot P(Z \ge 2{,}40) = 2 \cdot 0{,}0082 = 0{,}0164 \le 0{,}05$

$H_0$ blir forkasta. Og legg merke til: 100 ligg utanfor intervallet i a).

c) Med $\mu_0 = 101$ :

$z = \frac{104{,}8 - 101}{2{,}0} = 1{,}90$

$p = 2 \cdot P(Z \ge 1{,}90) = 2 \cdot 0{,}0287 = 0{,}0574 > 0{,}05$

$H_0$ blir behalden. Og 101 ligg innanfor intervallet.

d) Samanhengen er eksakt:

Ein tosidig test på 5 %-nivå forkastar $H_0: \mu = \mu_0$ nøyaktig når $\mu_0$ ligg utanfor 95 % konfidensintervallet.

Det er ikkje to metodar, men to måtar å skrive den same rekninga på. Konfidensintervallet er heile mengda av $\mu_0$ -verdiar som ikkje ville blitt forkasta.

Konfidensintervallet er mengda av nullhypotesar som ikkje blir forkasta.

$\mu_0 = 100$ ligg utanfor, og testen forkastar. $\mu_0 = 101$ og $\mu_0 = 105$ ligg innanfor, og testen beheld.

Svar: a) $[100{,}88,\ 108{,}72]$ . b) $z = 2{,}40$ , $p \approx 0{,}0164$ — forkast. c) $z = 1{,}90$ , $p \approx 0{,}0574$ — behald. d) Tosidig test på nivå $\alpha$ og konfidensintervall på nivå $1 - \alpha$ gir alltid same svar.

NB: Samanhengen gjeld tosidig test. Ein einsidig test på 5 %-nivå svarer til eit einsidig intervall, og der passar ikkje 1,96 lenger, men 1,645.

📝Oppgave 3

Ein kommune har lenge hatt ei gjennomsnittleg reisetid til jobb på 32 minutt, med kjent standardavvik $\sigma = 7{,}5$ minutt. Etter at ein ny veg opna, måler dei 45 tilfeldige reiser og finn $\bar{x} = 30{,}1$ minutt. Dei vil vise at reisetida har gått ned.

Set opp $H_0$ og $H_1$ .

Rekn ut $z$ .

Finn p-verdien og konkluder på 5 %-nivå.

Finn forkastingsområdet uttrykt i minutt.

Kva ville konklusjonen blitt dersom testen var tosidig?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Testen i rekneark og GeoGebra

Vi brukar tala frå døme 1: $\mu_0 = 1200$ , $\sigma = 90$ , $n = 40$ , $\bar{x} = 1168$ .

a) Set opp reknearket som reknar $z$ og p-verdien.
b) Gjer det same i GeoGebra.
c) Kor stort måtte utvalet ha vore for at det same avviket skulle gitt forkasting på 1 %-nivå?

Løysing:

a) Vi legg inn dei fire tala og reknar vidare på dei:

A1: 1200      (mu0)
A2: 90        (sigma)
A3: 40        (n)
A4: 1168      (xbar)

A5: =A2/ROT(A3)              gir 14,2302     (standardfeilen)
A6: =(A4-A1)/A5              gir -2,2487     (z)
A7: =NORM.S.FORDELING.N(A6;SANN)   gir 0,01227 (p-verdi, venstresidig)

For ein høgresidig test brukar vi =1-NORM.S.FORDELING.N(A6;SANN), og for ein tosidig =2*(1-NORM.S.FORDELING.N(ABS(A6);SANN)).

b) I GeoGebra kan vi gå direkte på fordelinga til $\bar{X}$ , utan å standardisere:

FordelingNormal(1200, 90/sqrt(40), 1168)      gir 0.0123

Kommandoen gir $P(\bar{X} \le 1168)$ når forventingsverdien er 1200 og standardavviket er $\displaystyle \frac{90}{\sqrt{40}}$ — altså p-verdien direkte.

c) Vi treng $\lvert z \rvert \ge 2{,}326$ med same avvik $\bar{x} - \mu_0 = -32$ :

$\frac{32}{\frac{90}{\sqrt{n}}} \ge 2{,}326$

$\frac{32\sqrt{n}}{90} \ge 2{,}326$

$\sqrt{n} \ge \frac{2{,}326 \cdot 90}{32} = 6{,}542$

$n \ge 42{,}8$

Altså 43 pærer.

Svar: a) =NORM.S.FORDELING.N(z;SANN) gir venstresidig p-verdi. b) FordelingNormal(1200, 90/sqrt(40), 1168). c) 43 pærer.

NB — same data, sterkare konklusjon. Legg merke til kva c) eigentleg seier: avviket på 32 timar er nøyaktig like stort som før. Det som endrar seg med fleire målingar, er kor sikre vi er på at avviket er ekte. Signifikans er ikkje eit mål på storleiken av effekten, men på kor godt vi har målt han.

📝Oppgave 4

Ei bedrift testar $H_0: \mu = 250$ mot $H_1: \mu \ne 250$ med $n = 36$ og kjent $\sigma = 12$ .

Finn standardfeilen.

Finn forkastingsområdet på 5 %-nivå, uttrykt i $\bar{x}$ .

Utvalet gir $\bar{x} = 254{,}5$ . Kva blir konklusjonen?

Finn forkastingsområdet på 1 %-nivå, og avgjer om $\bar{x} = 254{,}5$ framleis gir forkasting.

Forklar med éi setning kvifor forkastingsområdet blir mindre når $\alpha$ blir mindre.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Eit utval gir 95 % konfidensintervallet $[100{,}88,\ 108{,}72]$ for $\mu$ . Bruk samanhengen mellom intervall og tosidig test.

Ville $H_0: \mu = 100$ blitt forkasta på 5 %-nivå?

Ville $H_0: \mu = 105$ blitt forkasta?

Ville $H_0: \mu = 108$ blitt forkasta?

For kva verdiar av $\mu_0$ ville $H_0$ blitt behalden?

Eit 99 %-intervall frå dei same dataa blir $[99{,}65,\ 109{,}95]$ . Kva for nokre av testane i a)–c) ville endra svar på 1 %-nivå?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Testobservatoren for eit gjennomsnitt:

$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Han seier kor mange standardfeil målinga ligg frå den påståtte verdien.
- p-verdien: $P(Z \ge z)$ ved $H_1: \mu > \mu_0$ , $P(Z \le z)$ ved $\mu < \mu_0$ , og $2 \cdot P(Z \ge \lvert z \rvert)$ ved $\mu \ne \mu_0$ .
- Kritiske verdiar på 5 %-nivå: 1,645 einsidig og 1,96 tosidig. Ved tosidig test blir $\alpha$ delt i to halar.
- Forkastingsområdet i originaleiningar: $\displaystyle \mu_0 \pm z_{\text{kritisk}} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
- Er $\sigma$ ukjend, blir $s$ brukt når $n \ge 30$ .
- Ein tosidig test på nivå $\alpha$ forkastar nøyaktig når $\mu_0$ ligg utanfor konfidensintervallet på nivå $1 - \alpha$ . Intervallet er mengda av nullhypotesar som ikkje blir forkasta.
- Konklusjonen blir skriven i kontekst, og p-verdien blir oppgitt som tal.
- Same avvik gir mindre p-verdi når $n$ veks. Signifikans måler kor godt vi har målt, ikkje kor stor effekten er.

I kapittel 7.6 gjer vi testen for ein andel, der vi kan velje mellom eksakt binomisk rekning og normaltilnærming.

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Ein pakkemaskin skal fylle 250 gram. Kvalitetsavdelinga veg 36 tilfeldige pakkar (i gram):

248,6	251,2	247,9	252,4	249,8	250,6
246,7	253,1	249,1	251,8	248,2	252,7
250,4	247,3	251,5	249,5	253,6	246,9
250,8	248,9	252,1	249,2	247,6	251,1
250,2	248,4	252,9	249,9	247,1	251,7
250,5	248,8	253,4	246,4	251,3	249,4

Test på 5 %-nivå om maskinen fyller rett. Rund av til to desimalar.

Set opp hypotesane, og grunngi einsidig eller tosidig.

Finn $\bar{x}$ og $s$ med rekneark.

Rekn ut standardfeilen og $z$ .

Finn p-verdien og konkluder i kontekst.

Finn 95 %-intervallet, og forklar kva det legg til utover testen. Kva ville konklusjonen vore dersom kravet var at maskinen skal treffe innanfor 0,2 gram?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Ei bedrift måler eit gjennomsnitt som ligg 1,0 eining over

\mu_0 = 250

. Standardavviket er

\sigma = 12

Rekn ut $z$ og tosidig p-verdi for $n = 25$ , $n = 100$ og $n = 2500$ .

Kor stor må $n$ vere for at avviket på 1,0 skal bli signifikant på 5 %-nivå (tosidig)?

Avviket er 1,0 gram på ein pakke som skal vege 250 gram. Er det praktisk viktig?

«Testen var ikkje signifikant, så maskinen fyller rett.» Kva er feilen, og kva burde bedrifta sjå på i staden?

Bedrifta testar kvar veke gjennom eit heilt år på 5 %-nivå, og maskinen er heile tida rett innstilt. Kor mange gonger vil dei i gjennomsnitt få «signifikant avvik»?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.