7.3 Konfidensintervall for andel

Kva veit vi? $n = 1000$ spurde og $x = 234$ ja-svar. Kva skal vi finne? Intervallet for $p$.

a) Først estimatet:

$$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{234}{1000} = 0{,}234$$

Så kontrollen av føresetnaden:

$$n\hat{p} = 234 \ge 5 \qquad n(1-\hat{p}) = 766 \ge 5 \quad \checkmark$$

Standardfeilen — formelen tom først, så med tal:

$$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}234 \cdot 0{,}766}{1000}} = \sqrt{\frac{0{,}179244}{1000}} = \sqrt{0{,}000179} \approx 0{,}0134$$

Feilmarginen ved 95 %:

$$1{,}96 \cdot 0{,}0134 \approx 0{,}0262$$

Intervallet:

$$[0{,}234 - 0{,}0262,\ 0{,}234 + 0{,}0262] = [0{,}208,\ 0{,}260]$$

Altså frå 20,8 % til 26,0 %.

b) «Ein firedel» er 25 %, og 0,25 ligg inne i intervallet. Påstanden er altså sameinleg med målinga — vi kan ikkje avvise han.

c) Same standardfeil, ny $z$:

$$2{,}576 \cdot 0{,}0134 \approx 0{,}0345$$

$$[0{,}234 - 0{,}0345,\ 0{,}234 + 0{,}0345] = [0{,}200,\ 0{,}268]$$

Altså frå 20,0 % til 26,8 %.

Svar: a) $[0{,}208,\ 0{,}260]$, altså 20,8 % til 26,0 %. b) Ja — 25 % ligg inne i intervallet. c) $[0{,}200,\ 0{,}268]$, altså 20,0 % til 26,8 %.

NB — prosentpoeng igjen. Marginen på 0,0262 blir skriven som 2,6 prosentpoeng, ikkje 2,6 prosent. Han blir lagd til og trekt frå 23,4 %-talet.

a) Utan førehandskunnskap reknar vi verste fall, $\hat{p} = 0{,}5$. Kravet er

$$1{,}96\sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{n}} \le 0{,}02$$

Deler på 1,96 på begge sider:

$$\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \le \frac{0{,}02}{1{,}96} = 0{,}010204$$

Kvadrerer begge sider:

$$\frac{0{,}25}{n} \le 0{,}00010412$$

Gongar med $n$ og deler på det vesle talet:

$$n \ge \frac{0{,}25}{0{,}00010412} = 2401$$

Dei må spørje 2401 personar.

(Snarvegen er formelen $\displaystyle n \ge \left(\frac{z}{E}\right)^2 \hat{p}(1-\hat{p}) = \left(\frac{1{,}96}{0{,}02}\right)^2 \cdot 0{,}25 = 98^2 \cdot 0{,}25 = 2401$ — same rekning, færre linjer.)

b) Med $\hat{p} = 0{,}234$ er $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}179244$:

$$n \ge 98^2 \cdot 0{,}179244 = 9604 \cdot 0{,}179244 \approx 1721{,}5$$

Vi rundar opp: 1722 personar. (Kontroll: $n = 1722$ gir margin 1,9997 pp, $n = 1721$ gir 2,0003 pp — så 1722 er akkurat det minste som held.)

c) Fordi svaret i b) kviler på ein føresetnad om det vi skal måle. Blir andelen 45 % i staden for 23 %, held ikkje 1722 personar marginen. Reknar dei verste fall, er dei trygge same kva folk svarer. Prisen er eit større, dyrare utval.

Svar: a) 2401 personar. b) 1722 personar. c) Fordi verste fall held marginen same kva svaret blir, medan b) føreset at vi allereie kjenner svaret.

NB: Rund alltid opp. Eit krav om «høgst 2 prosentpoeng» blir brote dersom du rundar 1721,5 ned.

a) Byrå A: $\displaystyle \hat{p}_A = \frac{82}{1000} = 0{,}082$

$$SE_A = \sqrt{\frac{0{,}082 \cdot 0{,}918}{1000}} \approx 0{,}00868$$

$$\text{margin}_A = 1{,}96 \cdot 0{,}00868 \approx 0{,}0170$$

$$\text{KI}_A = [0{,}065,\ 0{,}099]$$

Byrå B: $\displaystyle \hat{p}_B = \frac{104}{1000} = 0{,}104$

$$SE_B = \sqrt{\frac{0{,}104 \cdot 0{,}896}{1000}} \approx 0{,}00965$$

$$\text{margin}_B = 1{,}96 \cdot 0{,}00965 \approx 0{,}0189$$

$$\text{KI}_B = [0{,}085,\ 0{,}123]$$

b) Dei to intervalla overlappar frå 8,5 % til 9,9 %, men overlapp åleine avgjer ikkje saka. Vi vurderer differansen:

$$\hat{p}_B - \hat{p}_A = 0{,}104 - 0{,}082 = 0{,}022$$

$$SE_{\text{diff}} = \sqrt{0{,}00868^2 + 0{,}00965^2} \approx 0{,}01298$$

$$z = \frac{0{,}022}{0{,}01298} \approx 1{,}70$$

$1{,}70 < 1{,}96$, så skilnaden kan kome av tilfeldig utvalsvariasjon. Begge målingane er sameinlege med at den sanne oppslutnaden er til dømes 9 %.

Det er difor ikkje dekning for å seie at partiet har «stige». Vi har ikkje eingong målt to tidspunkt; vi har målt same veka to gonger.

c) Tilfeldig utvalsvariasjon. Skilnaden er 2,2 prosentpoeng, medan standardfeilen til differansen er 1,3 prosentpoeng. Skilnaden er altså 1,7 standardfeil — innanfor det to utval kan skilje seg.

Dei to målingane er ikkje usamde. Det gule feltet er verdiane begge intervalla rommar — begge er sameinlege med at den sanne oppslutnaden er til dømes 9 %. Rekna på differansen gir skilnaden $z \approx 1{,}70$, som er innanfor det utvalsvariasjon kan gi.

Svar: a) A: $[0{,}065,\ 0{,}099]$, B: $[0{,}085,\ 0{,}123]$. b) Nei — differansen gir $z \approx 1{,}70 < 1{,}96$. c) Tilfeldig variasjon mellom to utval.

NB — ein nyttig hugseregel for nyheitene: når to måltal skil seg mindre enn den største av dei to feilmarginane, er «endringa» støy. Er skilnaden større, blir han rekna ut på differansen. Aviser omtaler likevel slike rørsler som nyheiter.

a) Svara ligg i A2:A641.

=ANTALL.HVIS(A2:A641;"Ja")            gir 96        (talet x)
=ANTALLA(A2:A641)                     gir 640       (n)
=96/640                               gir 0,15      (p-hatt)
=ROT(0,15*(1-0,15)/640)               gir 0,014114  (SE)
=0,15 - 1,96*0,014114                 gir 0,12234   (nedre grense)
=0,15 + 1,96*0,014114                 gir 0,17766   (øvre grense)

b) Kontrollen først: $n\hat{p} = 96$ og $n(1-\hat{p}) = 544$, begge godt over 5.

$$\hat{p} = \frac{96}{640} = 0{,}15$$

$$SE = \sqrt{\frac{0{,}15 \cdot 0{,}85}{640}} = \sqrt{0{,}000199} \approx 0{,}0141$$

$$\text{margin} = 1{,}96 \cdot 0{,}0141 \approx 0{,}0277$$

$$\text{KI} = [0{,}122,\ 0{,}178]$$

Altså frå 12,2 % til 17,8 %.

c) Halvert margin tyder firedobla utval:

$$4 \cdot 640 = 2560 \text{ personar}$$

(Kontroll med formelen: $\displaystyle n \ge \left(\frac{1{,}96}{0{,}01383}\right)^2 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85 \approx 2560$.)

Svar: a) ANTALL.HVIS, ROT og dei to grenseformlane over. b) $[0{,}122,\ 0{,}178]$, altså 12,2 % til 17,8 %. c) 2560 personar.

Tolking: Kommunen kan seie at mellom 12 og 18 prosent av innbyggjarane brukte dei digitale tenestene førre månad. Skal dei kunne skilje 15 % frå 16 % i ei seinare måling, må utvalet opp i mange tusen — og då er spørsmålet om skilnaden er verd prisen.