7.2 Konfidensintervall for gjennomsnitt | Statistikk

Å rekne ut og tolke eit konfidensintervall for μ, og kva konfidensnivået tyder.

45 min

7 oppgaver

KonfidensintervallKonfidensnivå

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Konfidensintervall for gjennomsnitt

I kapittel 7.1 kom vi fram til to tal: estimatet $\bar{x}$ og standardfeilen $\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}$ . Å oppgi dei kvar for seg er upraktisk. Det vi vil ha, er eitt svar som seier både kvar parameteren ligg og kor sikre vi er:

«Gjennomsnittleg reisetid er mellom 25,7 og 31,1 minutt, med 95 % konfidens.»

Eit slikt intervall blir kalla eit konfidensintervall. Det er ikkje noko nytt reknestykke — det er estimatet med uvissa bygd inn.

Heile oppskrifta kjem frå sentralgrensesetninga i kapittel 6: gjennomsnittet $\bar{X}$ er tilnærma normalfordelt rundt $\mu$ , med standardavvik $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Veit vi korleis $\bar{X}$ oppfører seg rundt $\mu$ , kan vi snu det og seie korleis $\mu$ ligg i høve til $\bar{x}$ .

Kvar 1,96 kjem frå

Vi startar med noko vi allereie kan. For ein standard normalfordelt $Z$ veit vi frå kapittel 6 at

$P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}9750 - 0{,}0250 = 0{,}95$

Altså: 95 % av alt sannsyn ligg mellom $-1{,}96$ og $1{,}96$ . Dei to halane på 2,5 % kvar er det vi gir slepp på.

Så standardiserer vi gjennomsnittet, akkurat slik vi standardiserte einskildmålingar i kapittel 6 — men no med $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ i nemnaren, sidan det er standardavviket til $\bar{X}$ :

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Det tyder at

$P\left(-1{,}96 \le \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1{,}96\right) = 0{,}95$

No løyser vi ulikskapen inni for $\mu$ — éin operasjon på begge sider om gongen.

📜Konfidensintervall for forventingsverdien

Lat

\bar{x}

vere gjennomsnittet i eit tilfeldig utval på

n

målingar frå ei fordeling med standardavvik

\sigma

. Eit konfidensintervall for

\mu

med konfidensnivå

1 - \alpha

$\left[\ \bar{x} - z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \quad \bar{x} + z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\ \right]$

Talet $z$ blir lese av i normalfordelingstabellen:

konfidensnivå	$\alpha$	$z$
90 %	0,10	1,645
95 %	0,05	1,960
99 %	0,01	2,576

Storleiken

\displaystyle z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

blir kalla feilmarginen. Er

\sigma

ukjend, brukar vi

s

i staden (sjå merknaden under døme 2).

✏️Døme 1: Sandsekker med kjent standardavvik

Ein maskin fyller sekker med sand. Av lang røynsle veit bedrifta at standardavviket er $\sigma = 12$ gram, og at det ikkje endrar seg når maskinen blir justert. Dei veg 36 tilfeldige sekker og finn $\bar{x} = 497{,}4$ gram.

a) Finn eit 95 % konfidensintervall for $\mu$ .
b) Sekkene skal innehalde 500 gram. Gir målinga grunn til å seie at maskinen fyller for lite?

Løysing:

Kva veit vi? $\sigma = 12$ g, $n = 36$ , $\bar{x} = 497{,}4$ g. Kva skal vi finne? Intervallet for $\mu$ .

a) Først standardfeilen:

$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2 \text{ gram}$

Så feilmarginen. Konfidensnivået er 95 %, så $z = 1{,}96$ :

$z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}96 \cdot 2 = 3{,}92 \text{ gram}$

Og då er intervallet

$\left[\bar{x} - 3{,}92,\ \bar{x} + 3{,}92\right] = \left[497{,}4 - 3{,}92,\ 497{,}4 + 3{,}92\right] = \left[493{,}5,\ 501{,}3\right]$

b) Talet 500 ligg inne i intervallet. Det tyder at 500 gram er ein fullt mogleg verdi for $\mu$ — målinga på 497,4 er ikkje langt nok unna 500 til å utelukke han.

Vi kan altså ikkje seie at maskinen fyller for lite. Det tyder ikkje at han fyller rett; det tyder at 36 sekker ikkje er nok til å avgjere spørsmålet.

Svar: a) $[493{,}5,\ 501{,}3]$ gram. b) Nei — 500 gram ligg inne i intervallet, så målinga gir ikkje grunnlag for å seie at maskinen fyller for lite.

NB: Legg merke til kvar intervallet ligg: midt på $\bar{x} = 497{,}4$ , ikkje midt på 500. Intervallet blir bygt rundt det vi målte, og så sjekkar vi etterpå om verdien vi lurte på, hamna innanfor.

📝Oppgave 1

Gjer den same utrekninga som i døme 1. Ein maskin fyller posar med frø. Standardavviket er kjent: $\sigma = 0{,}8$ kg. Eit utval på 64 posar gir $\bar{x} = 24{,}8$ kg. Posane skal vege 25,0 kg.

Finn $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .

Finn feilmarginen ved 95 % konfidens.

Set opp konfidensintervallet.

Ligg 25,0 kg inne i intervallet?

Kor breitt er intervallet, og kor breitt ville det vore med 256 posar?

Løs oppgaven

Kva «95 % konfidens» faktisk tyder

Det er freistande å seie:

«Det er 95 % sannsyn for at $\mu$ ligg mellom 493,5 og 501,3.» (upresist)

Problemet er at $\mu$ ikkje er tilfeldig. Maskinen har den fyllmengda han har — anten ligg 500 gram inne i intervallet vårt, eller så gjer det ikkje det. Det er ikkje noko å setje sannsyn på etter at vi har rekna.

Det som er tilfeldig, er intervallet. Eit nytt utval gir ein ny $\bar{x}$ , og dermed eit nytt intervall. Difor:

Metoden treffer $\mu$ i 95 % av alle utval. Trekkjer vi 100 utval og lagar 100 intervall, vil omtrent 95 av dei innehalde den sanne $\mu$ — og omtrent 5 vil bomme. Vi veit berre ikkje kva for nokre.

Det er dette som ligg i ordet konfidens i staden for sannsyn: tilliten gjeld metoden, ikkje det einskilde svaret.

Til dagleg bruk er formuleringa «vi er 95 % sikre på at $\mu$ ligg mellom … og …» grei nok, så lenge du veit kva ho eigentleg kviler på. På ein eksamen skal tolkinga skrivast på metodeforma.

✏️Døme 2: Reisetid til jobb, ukjent standardavvik

Ein kommune vil vite kor lang tid innbyggjarane brukar på å kome seg til jobb. Dei spør 50 tilfeldig valde yrkesaktive og får $\bar{x} = 28{,}4$ minutt og $s = 9{,}6$ minutt.

a) Finn eit 95 % konfidensintervall for $\mu$ .
b) Ein nabokommune har målt 30,0 minutt. Er tala sameinlege?
c) Kan kommunen seie at reisetida er under 25 minutt?

Løysing:

Kva veit vi? $n = 50$ , $\bar{x} = 28{,}4$ min, $s = 9{,}6$ min. Her er $\sigma$ ukjend, så vi brukar $s$ i staden.

a) Standardfeilen:

$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{9{,}6}{\sqrt{50}} \approx \frac{9{,}6}{7{,}071} \approx 1{,}358 \text{ minutt}$

Feilmarginen ved 95 %:

$1{,}96 \cdot 1{,}358 \approx 2{,}66 \text{ minutt}$

Intervallet:

$[28{,}4 - 2{,}66,\ 28{,}4 + 2{,}66] = [25{,}7,\ 31{,}1]$

b) 30,0 minutt ligg inne i intervallet. Målingane er altså fullt sameinlege — skilnaden mellom 28,4 og 30,0 er mindre enn uvissa i vår eiga måling.

c) Nei. Nedre grense er 25,7 minutt, så 25 minutt ligg utanfor intervallet. Tvert imot talar tala for at reisetida er over 25 minutt.

Svar: a) $[25{,}7,\ 31{,}1]$ minutt. b) Ja, 30,0 ligg inne i intervallet. c) Nei — heile intervallet ligg over 25 minutt.

rekneark:   =GJENNOMSNITT(A1:A50)               gir 28,4
            =STDAV.S(A1:A50)                    gir 9,6
            =KONFIDENS.NORM(0,05; 9,6; 50)      gir 2,661   (feilmarginen)

GeoGebra:   InversNormalfordeling(0, 1, 0.975)   gir 1.96   (z-verdien)

Å byte ut $\sigma$ med $s$ er ikkje gratis. Vi gjettar då på to storleikar i staden for éin, og intervallet blir i røynda litt for smalt.

Når $n$ er stor, er $s$ eit godt estimat, og feilen er utan betydning. Tommelfingerregelen er $n \ge 30$ — då kan vi trygt bruke $z$ -verdiane frå tabellen sjølv om $\sigma$ er ukjend.

Er $n$ liten og $\sigma$ ukjend, trengst ei litt breiare fordeling (ho blir kalla $t$ -fordelinga). Ho ligg utanfor dette faget, og oppgåvene her vil difor anten oppgi $\sigma$ , eller ha $n \ge 30$ .

Praktisk regel for oppgåver:

oppgåva oppgir	bruk
$\sigma$ (kjent)	$\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ — same kva $n$ er
berre $s$ , og $n \ge 30$	$\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}$
berre $s$ , og $n < 30$	sei frå at metoden er usikker her

📝Oppgave 2

Ein idrettsklubb måler hopplengda i lengde hos 40 tilfeldig valde deltakarar på eit stemne og finn $\bar{x} = 156{,}5$ cm og $s = 18{,}2$ cm. Rund av til éin desimal.

Er det rett å bruke $z$ -verdiane her, når $\sigma$ er ukjend?

Finn standardfeilen.

Finn eit 95 % konfidensintervall for $\mu$ .

Finn eit 99 % konfidensintervall.

Ein trenar påstår at gjennomsnittet i klubben er 165 cm. Kva seier dei to intervalla om påstanden?

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Kva kostar høg konfidens?

Vi brukar dei same reisetidsdataa som i døme 2: $n = 50$ , $\bar{x} = 28{,}4$ min, $s = 9{,}6$ min.

a) Finn konfidensintervall på nivåa 90 %, 95 % og 99 %.
b) Samanlikn breidda på dei tre.
c) Kvifor brukar ein ikkje berre 99,99 % alltid?

Løysing:

a) Standardfeilen er den same heile vegen:

$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{9{,}6}{\sqrt{50}} \approx 1{,}358$

Det einaste som endrar seg, er $z$ :

nivå	$z$	feilmargin	intervall
90 %	1,645	$1{,}645 \cdot 1{,}358 \approx 2{,}23$	$[26{,}2,\ 30{,}6]$
95 %	1,960	$1{,}960 \cdot 1{,}358 \approx 2{,}66$	$[25{,}7,\ 31{,}1]$
99 %	2,576	$2{,}576 \cdot 1{,}358 \approx 3{,}50$	$[24{,}9,\ 31{,}9]$

b) Breidda er dobbelt så stor som feilmarginen: 4,47 min, 5,32 min og 6,99 min. Frå 90 % til 99 % blir intervallet

\frac{6{,}99}{4{,}47} \approx 1{,}57

gonger så breitt — altså over halvanna gong.
c) Fordi høg konfidens blir kjøpt med breidd, og eit breitt intervall seier lite. Eit 99,99 %-intervall her ville kravt

z \approx 3{,}891

og blitt omtrent

[23{,}1,\ 33{,}7]

— nesten sikkert rett, men nesten utan informasjon. Ytterpunktet er tydeleg: intervallet «reisetida er mellom 0 og 24 timar» er 100 % sikkert og fullstendig ubrukeleg.

Høgare konfidens kostar breidd. Alle tre intervalla er sentrerte i det same gjennomsnittet; det einaste som endrar seg, er $z$ . Frå 90 % til 99 % blir intervallet 1,57 gonger så breitt — og eit breitt intervall seier mindre.

Svar: a) Sjå tabellen. b) 4,47, 5,32 og 6,99 minutt — 99 %-intervallet er 1,57 gonger så breitt som 90 %-intervallet. c) Fordi tryggleik og presisjon dreg mot kvar sin kant; 95 % er kompromisset som har festa seg.

NB: Det finst berre éin måte å få både høgare konfidens og smalare intervall: fleire målingar. Alt anna er ein bytehandel.

📝Oppgave 3

Ein straumleverandør har registrert prisen (i øre per kWh) i 100 tilfeldig valde timar gjennom eit år, og finn $\bar{x} = 87{,}4$ øre og $s = 21{,}0$ øre. Rund av til éin desimal.

Finn standardfeilen.

Finn eit 90 % konfidensintervall.

Finn eit 95 % konfidensintervall.

Finn eit 99 % konfidensintervall.

Kor mange timar måtte registrerast for at 95 %-marginen skulle bli under 2 øre?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Kor mange må vi spørje?

Kommunen frå døme 2 vil gjenta undersøkinga, og denne gongen skal 95 %-marginen vere høgst 1,5 minutt. Dei reknar med at $s$ framleis blir omtrent 9,6 minutt.

a) Kor mange må dei spørje?
b) Kontroller svaret.
c) Kor mange hadde halde med 90 % konfidens i staden?

Løysing:

a) Vi set opp kravet med $n$ som ukjend:

$1{,}96 \cdot \frac{9{,}6}{\sqrt{n}} \le 1{,}5$

Gongar med $\sqrt{n}$ på begge sider:

$1{,}96 \cdot 9{,}6 \le 1{,}5\sqrt{n}$

$18{,}816 \le 1{,}5\sqrt{n}$

Deler på 1,5 på begge sider:

$12{,}544 \le \sqrt{n}$

Kvadrerer begge sider:

$157{,}35 \le n$

Talet på personar må vere eit heilt tal, og kravet er «minst», så vi rundar opp:

$n = 158$

b) Kontroll med $n = 158$ :

$1{,}96 \cdot \frac{9{,}6}{\sqrt{158}} \approx 1{,}96 \cdot \frac{9{,}6}{12{,}570} \approx 1{,}497 \le 1{,}5 \quad \checkmark$

Med $n = 157$ blir marginen 1,502 — så vidt for stor. 158 er altså det minste talet som held.

c) Same rekning med $z = 1{,}645$ :

$n \ge \left(\frac{1{,}645 \cdot 9{,}6}{1{,}5}\right)^2 = \left(\frac{15{,}792}{1{,}5}\right)^2 = 10{,}528^2 \approx 110{,}8$

Altså 111 personar.

Svar: a) Minst 158 personar. b) $n = 158$ gir margin 1,497 min, $n = 157$ gir 1,502 min. c) 111 personar.

NB — rund alltid OPP. Krav av typen «marginen skal vere høgst …» blir strengare di mindre $n$ er. Rundar du 157,35 ned til 157, bryt du kravet. Dette er ein av dei vanlegaste bomma på eksamen.

📝Oppgave 4

Ei undersøking gir 95 %-intervallet $[42{,}1,\ 47{,}9]$ for gjennomsnittsalderen $\mu$ blant medlemene i ei foreining. Avgjer om kvar utsegn er rett eller gal, og grunngi.

«95 % av medlemene er mellom 42,1 og 47,9 år.»

«Gjennomsnittsalderen i utvalet var 45,0 år.»

«Feilmarginen var 2,9 år.»

«Det er 95 % sannsyn for at $\mu$ ligg mellom 42,1 og 47,9.»

«Eit 99 %-intervall frå dei same dataa ville vore smalare.»

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Ei bedrift planlegg ein måleserie. Standardavviket er kjent frå før: $\sigma = 15$ einingar. Dei vil ha eit 95 % konfidensintervall for $\mu$ , og lurer på kor mange målingar som trengst.

Kor mange målingar for margin høgst 5?

Kor mange for margin høgst 3?

Kor mange for margin høgst 1?

Kor mange for margin høgst 3 dersom dei nøyer seg med 90 % konfidens?

Samanlikn a) og c). Marginen vart fem gonger mindre — kor mange gonger fleire målingar kosta det?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Eit konfidensintervall for $\mu$ er estimatet med uvissa bygd inn:

$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

- $z$ kjem frå normalfordelinga: 1,645 ved 90 %, 1,96 ved 95 %, 2,576 ved 99 %.
- Feilmarginen er $\displaystyle z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , og breidda på intervallet er det dobbelte.
- Er $\sigma$ ukjend, blir $s$ brukt — forsvarleg når $n \ge 30$ .
- Tolking: metoden treffer $\mu$ i 95 % av alle utval. Sannsynet gjeld intervallet, ikkje $\mu$ .
- Ligg ein påstått verdi utanfor intervallet, talar dataa mot påstanden. Ligg han innanfor, kan vi ikkje utelukke han — det er ikkje det same som at han er rett.
- Høgare konfidens gir breiare intervall. Smalare og sikrare får ein berre ved fleire målingar, og talet veks med kvadratet av forbetringa.
- Krav om «margin høgst $E$ » blir løyst som $\displaystyle n \ge \left(\frac{z\sigma}{E}\right)^2$ , og svaret blir alltid runda opp.

I kapittel 7.3 gjer vi det same for ein andel — same oppskrift, ny standardfeil.

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Ein kaffiprodusent skal kontrollere at pakkane held 500 gram. Kvalitetsavdelinga veg 30 tilfeldige pakkar (i gram):

498,2	501,5	496,8	503,1	499,4	500,7
497,3	502,6	498,9	501,1	495,6	504,2
499,8	500,3	497,9	502,0	496,4	503,7
500,1	498,5	501,8	499,0	502,9	497,1
500,9	498,7	503,3	496,2	501,3	499,6

Legg tala i rekneark. Rund av til to desimalar.

Finn $\bar{x}$ og $s$ , og oppgi funksjonane du brukte.

Finn standardfeilen og 95 %-feilmarginen.

Set opp 95 %-intervallet, og avgjer om 500 gram ligg innanfor.

Set opp 99 %-intervallet. Endrar konklusjonen seg?

Produsenten vil ha 95 %-marginen under 0,5 gram. Kor mange pakkar må vegast, og kva ville du rådd dei til?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane under. Hugs at eitt moteksempel er nok til å motprove ein påstand.

Ein klasse reknar kvart sitt 95 % konfidensintervall frå kvart sitt utval — 20 intervall i alt. Kor mange bør bomme, og kva er sannsynet for at alle 20 treffer?

«Sidan 500 låg inne i intervallet, er maskinen rett innstilt.» Kva er feilen?

«Vi kunne fått eit smalare intervall ved å velje 99 % i staden for 95 %.» Drøft.

Finst det eit 100 % konfidensintervall?

To kommunar måler reisetid. Kommune A får $[25{,}7,\ 31{,}1]$ og kommune B får $[30{,}2,\ 34{,}0]$ . Ei avis skriv at «reisetida i B er lengre enn i A». Er det forsvarleg?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.