6.5 Normaltilnærming til binomisk fordeling | Statistikk

Når og korleis binomiske sannsyn kan reknast med normalfordelinga.

45 min

7 oppgaver

NormaltilnærmingBinomisk

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Normaltilnærming til binomisk fordeling

I kapittel 5.4 og kapittel 5.5 rekna vi binomiske sannsyn. Det gjekk greitt så lenge $n$ var liten: tabellen dekte $n = 10$ , og formelen var til å leve med.

Men sjå på dette spørsmålet:

Eit parti har 40 % oppslutnad. I ei måling med 1000 spurde — kva er sannsynet for at høgst 380 svarer at dei røystar på partiet?

Med den binomiske formelen må vi rekne ut og leggje saman 381 ledd, kvart med ein binomialkoeffisient av typen $\binom{1000}{273}$ . Det lèt seg gjere i eit rekneark, men ikkje for hand — og lenge fanst det ingen rekneark.

Løysinga kom frå ein observasjon: når $n$ blir stor, ser den binomiske fordelinga ut som ei klokke. Og på ei klokke kan vi rekne.

Difor liknar binomisk fordeling på normalfordelinga

Dette er ikkje tilfeldig — det følgjer direkte av sentralgrensesetninga frå kapittel 6.4.

Tenk på ein binomisk situasjon: $n$ uavhengige forsøk, kvart med sannsyn $p$ for suksess. Lat

$X_i = \begin{cases} 1 & \text{dersom forsøk nr. } i \text{ er ein suksess} \\ 0 & \text{elles} \end{cases}$

Då er talet på suksessar rett og slett summen:

$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$

Og summen av mange uavhengige variablar er tilnærma normalfordelt. Det er nøyaktig det sentralgrensesetninga seier.

Den binomiske fordelinga er altså ikkje eit nytt tilfelle — ho er det same tilfellet som heisen med 50 passasjerar i kapittel 6.4, berre med den enklaste tenkjelege einskildvariabelen: ein som berre kan vere 0 eller 1.

Forventingsverdi og standardavvik har vi allereie frå kapittel 5.5:

$\mu = np \qquad \text{og} \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

📜Normaltilnærming til binomisk fordeling

Lat

X

vere binomisk fordelt med

n

forsøk og suksessannsyn

p

Dersom

$np \ge 5 \qquad \text{og} \qquad n(1-p) \ge 5$

kan $X$ reknast som tilnærma normalfordelt med

$\mu = np \qquad \text{og} \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Kva kriteriet tyder: begge halane må ha plass. Er $np$ lite, klumpar fordelinga seg opp mot 0 og blir skeiv — og ei skeiv fordeling kan ikkje vere ei klokke. Det same skjer i den andre enden når $n(1-p)$ er lite.

Kriteriet er ein tommelfingerregel på linje med $n \ge 30$ i kapittel 6.4. Nokre bøker krev 10 i staden for 5. Di nærare $p$ er 0,5, di raskare blir tilnærminga god: ved $p = 0{,}5$ er fordelinga symmetrisk frå første stund.

Heiltalskorreksjonen

No møter vi eit problem som ikkje fanst i kapittel 6.4: vi erstattar noko som tel med noko som måler.

$X$ er eit heilt tal — 45 pakkar, ikkje 45,3. Normalfordelinga kjenner inga slik avgrensing.

Sjå på figuren over. Søyla for $x = 20$ dekkjer strekninga frå 19,5 til 20,5 — ho er éi eining brei, med senter i 20. Skal vi finne arealet som svarer til $P(X \le 20)$ , må vi altså ta arealet under kurva fram til 20,5, ikkje til 20. Gjer vi det siste, mistar vi halve den siste søyla.

Denne halve eininga blir kalla heiltalskorreksjonen, og ho skal alltid med:

Binomisk spørsmål	Blir rekna som
$P(X \le k)$	$P(Y \le k + 0{,}5)$
$P(X < k)$	$P(Y \le k - 0{,}5)$
$P(X \ge k)$	$P(Y \ge k - 0{,}5)$
$P(X > k)$	$P(Y \ge k + 0{,}5)$
$P(X = k)$	$P(k - 0{,}5 \le Y \le k + 0{,}5)$
$P(a \le X \le b)$	$P(a - 0{,}5 \le Y \le b + 0{,}5)$

Hugseregelen: flytt grensa slik at heile søyla kjem med i det du spør om. Spør du om «høgst 45», skal søyle nummer 45 vere med — altså ut til 45,5. Spør du om «minst 50», skal søyle nummer 50 med — altså frå 49,5.
NB: Den siste rada i tabellen er verdt å merke seg spesielt. For ein kontinuerleg variabel er

P(Y = 40) = 0

(kapittel 5.6), så utan korreksjonen ville normaltilnærminga svart 0 på kvart einaste «kor sannsynleg er akkurat

k

?»-spørsmål. Med korreksjonen blir svaret arealet av eit smalt band — og det stemmer godt.

✏️Døme 1: Med og utan korreksjon

Ei bedrift veit at 40 % av kundane som får eit tilbod, takkar ja. Tilbodet blir sendt til 100 kundar. Lat $X$ vere talet på kundar som takkar ja.

a) Vis at normaltilnærminga kan brukast, og finn $\mu$ og $\sigma$ .
b) Finn $P(X \le 45)$ med normaltilnærminga.
c) Samanlikn med den eksakte binomiske verdien 0,8689.

Løysing:

a) Kva veit vi? Fordelinga er binomisk med $n = 100$ og $p = 0{,}40$ .

Vi sjekkar kriteriet:

$np = 100 \cdot 0{,}40 = 40 \ge 5 \quad \checkmark$

$n(1-p) = 100 \cdot 0{,}60 = 60 \ge 5 \quad \checkmark$

Begge er godt over 5, så tilnærminga kan brukast.

$\mu = np = 100 \cdot 0{,}40 = 40$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}60} = \sqrt{24} \approx 4{,}90$

b) Vi skriv om med heiltalskorreksjonen. «Høgst 45» tyder at søyle nummer 45 skal vere med:

$P(X \le 45) \approx P(Y \le 45{,}5)$

Så standardiserer vi, som i kapittel 6.2:

$z = \frac{45{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{5{,}5}{4{,}899} = 1{,}12$

$P(Y \le 45{,}5) = P(Z \le 1{,}12) = 0{,}8686$

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(45,5; 40; ROT(24); SANN)

gir 0,8692.

c) Den eksakte verdien er 0,8689. Avviket er

$|0{,}8692 - 0{,}8689| = 0{,}0003$

Kva om vi hadde gløymt korreksjonen? Då hadde vi rekna

$z = \frac{45 - 40}{4{,}899} = 1{,}02 \quad \Longrightarrow \quad P(Y \le 45) = 0{,}8463$

og bomma med $0{,}0226$ — nesten hundre gonger så mykje.

Svar: a) $np = 40$ og $n(1-p) = 60$ , begge over 5; $\mu = 40$ og $\sigma \approx 4{,}90$ . b) $\approx 0{,}869$ . c) Avviket er 0,0003 med korreksjon, mot 0,0226 utan.

NB: Legg merke til at halveininga ikkje er ein detalj. Her flytte ho svaret med over to prosentpoeng. Di mindre $\sigma$ er, di meir betyr ho — for då er éi eining ein stor del av spreiinga.

📝Oppgave 1

Gjer den same. I ein produksjon er 30 % av einingane i høgaste kvalitetsklasse. Det blir produsert 200 einingar. Lat

X

vere talet på einingar i høgaste klasse. Bruk normaltilnærminga med heiltalskorreksjon.

Vis at tilnærminga kan brukast, og finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn $P(X \le 70)$ .

Finn $P(X \ge 50)$ .

Finn $P(X = 60)$ .

Finn $P(54 \le X \le 66)$ .

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Minst, og nøyaktig

Same situasjon som i døme 1: $n = 100$ og $p = 0{,}40$ , altså $\mu = 40$ og $\sigma \approx 4{,}90$ .

a) Finn $P(X \ge 50)$ .
b) Finn $P(X = 40)$ .

Løysing:

a) «Minst 50» tyder at søyle nummer 50 skal vere med. Søyla startar i 49,5:

$P(X \ge 50) \approx P(Y \ge 49{,}5)$

$z = \frac{49{,}5 - 40}{4{,}899} = \frac{9{,}5}{4{,}899} = 1{,}94$

$P(Y \ge 49{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}94) = 1 - 0{,}9738 = 0{,}0262$

(Eksakt binomisk: 0,0271. Utan korreksjon ville vi fått 0,0206 — altså 24 % for lågt.)

b) Her spør vi om nøyaktig 40. For normalfordelinga er sannsynet for éin einskild verdi 0, så utan korreksjonen ville svaret blitt 0. Med korreksjonen blir det arealet av søyla frå 39,5 til 40,5:

$P(X = 40) \approx P(39{,}5 \le Y \le 40{,}5)$

$z_1 = \frac{39{,}5 - 40}{4{,}899} = -0{,}10 \qquad z_2 = \frac{40{,}5 - 40}{4{,}899} = 0{,}10$

$P = 0{,}5398 - 0{,}4602 = 0{,}0796$

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(40,5; 40; ROT(24); SANN)
            - NORM.FORDELING.N(39,5; 40; ROT(24); SANN)

gir 0,0813.

Svar: a) $\approx 0{,}026$ . b) $\approx 0{,}081$ .

Kontroll mot det eksakte: den binomiske formelen gir

$P(X = 40) = \binom{100}{40} \cdot 0{,}40^{40} \cdot 0{,}60^{60} = 0{,}0812$

Tilnærminga bommar altså i fjerde desimal. For eit reknestykke som elles ville kravt ein binomialkoeffisient med 100 i, er det ikkje verst.

NB: Skilnaden mellom tabelloppslag og verktøy gir her eit lite avvik (0,0796 mot 0,0813), fordi $z$ -verdiane $\pm 0{,}10$ er kraftig avrunda. Når bandet er smalt, er tabellen med to desimalar for grov — bruk verktøy på denne typen.

📝Oppgave 2

Gjer den same. I ein kommune er 85 % av innbyggjarane vaksinerte. Det blir trekt ut 800 tilfeldige innbyggjarar. Lat

X

vere talet på vaksinerte blant dei. Bruk verktøy og normaltilnærming med heiltalskorreksjon.

Vis at tilnærminga kan brukast, og finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn $P(X \ge 700)$ .

Finn $P(X \le 660)$ .

Finn $P(670 \le X \le 690)$ .

Finn grensa som berre 5 % av utvala kjem under.

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Meiningsmåling

Gå ut frå at halvparten av veljarane, altså $p = 0{,}50$ , er for eit forslag. Eit byrå spør 1000 tilfeldige veljarar. Lat $X$ vere talet på dei som seier ja.

a) Finn $\mu$ og $\sigma$ .
b) Finn sannsynet for at minst 540 av dei spurde seier ja.
c) Finn sannsynet for at minst 520 seier ja.
d) Kva fortel svara om kor mykje vi kan stole på éi einskild måling?

Løysing:

a) $\mu = np = 1000 \cdot 0{,}50 = 500$

$\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1000 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{250} \approx 15{,}81$

(Kriteriet: $np = 500$ og $n(1-p) = 500$ , begge langt over 5.)

b) «Minst 540» startar på 539,5:

$z = \frac{539{,}5 - 500}{15{,}811} = \frac{39{,}5}{15{,}811} = 2{,}50$

$P(X \ge 540) \approx 1 - P(Z \le 2{,}50) = 1 - 0{,}9938 = 0{,}0062$

c) «Minst 520» startar på 519,5:

$z = \frac{519{,}5 - 500}{15{,}811} = 1{,}23$

$P(X \ge 520) \approx 1 - 0{,}8907 = 0{,}1093$

(Med verktøy: 0,1087. Eksakt binomisk: 0,1087.)

d) Sjå på kva tala seier. Den sanne oppslutnaden er nøyaktig 50 %. Likevel:

- I omtrent 11 % av målingane vil minst 52 % svare ja.
- I omtrent 0,6 % vil minst 54 % svare ja.

Svar: a) $\mu = 500$ og $\sigma \approx 15{,}8$ . b) $\approx 0{,}006$ . c) $\approx 0{,}109$ . d) Sjå under.

Tolking: Ei måling som viser 52 % er ikkje noko prov for fleirtal. Ho kan like gjerne vere eit tilfeldig utslag av at 1000 menneske vart spurde i staden for alle. Standardavviket på 15,8 personar svarer til 1,6 prosentpoeng, og to standardavvik — det som skal til før vi byrjar å bli overraska — er over 3 prosentpoeng.

Det er difor målingar blir oppgitte med feilmargin. Korleis han blir rekna ut, tek vi i kapittel 7.3.

📝Oppgave 3

Del 2. Eit parti har ein oppslutnad på 25 %. Eit byrå spør 600 tilfeldige veljarar, og

X

er talet på dei som seier dei vil røyste på partiet.

Finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn sannsynet for at minst 170 svarer at dei vil røyste på partiet.

Finn sannsynet for at høgst 135 svarer det.

Finn $P(140 \le X \le 160)$ .

Målinga viser 170 av 600. Kva oppslutnad i prosent er det, og er resultatet overraskande?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Den andre vegen — finn talet

Vi held fram med meiningsmålinga frå døme 3: $n = 1000$ , $p = 0{,}50$ , altså $\mu = 500$ og $\sigma \approx 15{,}81$ .

Finn det minste talet $k$ slik at $P(X \ge k) \le 0{,}05$ .

Med andre ord: kor mange ja-svar skal til før resultatet er blant dei 5 % mest ekstreme, gitt at den sanne oppslutnaden er 50 %?

Løysing:

Kva veit vi? At arealet til høgre skal vere høgst 0,05. Kva må vi finne? Grensa — altså ein kvantil, som i kapittel 6.3.

Skriv om til «frå venstre». $P(X \ge k) \le 0{,}05$ tyder at arealet til venstre er minst 0,95:

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,95; 500; ROT(250))

$y = 526{,}0$

Ta omsyn til heiltalskorreksjonen. Grensa 526,0 er ei grense for den kontinuerlege variabelen $Y$ . For den binomiske gjeld $P(X \ge k) \approx P(Y \ge k - 0{,}5)$ , så vi må ha

$k - 0{,}5 \ge 526{,}0 \quad \Longrightarrow \quad k \ge 526{,}5$

Rund av til eit heilt tal. $X$ tel menneske, så $k$ må vere eit heilt tal. Det minste heile talet over 526,5 er

$k = 527$

Kontroll (eksakt binomisk):

$P(X \ge 527) = 0{,}0468 \le 0{,}05 \quad \checkmark$

$P(X \ge 526) = 0{,}0534 > 0{,}05$

Altså er 527 rett, og 526 ville vore for lågt.

Svar: $k = 527$ , altså minst 52,7 % ja-svar i utvalet.

Tolking: Får byrået 527 ja-svar eller fleire, er det eit resultat som inntreffer i under 5 % av målingane dersom folket i røynda er delt på midten. Då byrjar vi å tvile på at det er det.

Dette er hypotesetesting. Vi har nettopp rekna ut eit forkastingsområde utan å kalle det det. I kapittel 7.6 får framgangsmåten namn — men reknestykket er nøyaktig dette.

NB: Rund alltid av i den retninga som gjer at kravet blir oppfylt. Her måtte vi oppover, fordi 526 ville gitt eit for stort sannsyn. Rundar du feil veg, bryt svaret det kravet oppgåva stiller.

Når tilnærminga sviktar — målt

Kriteriet er ikkje ein formalitet. Her er kva som skjer når det blir brote.

Lat $n = 40$ og $p = 0{,}05$ — til dømes talet på defekte i ei sending på 40, når 5 % er defekte. Då er

$np = 40 \cdot 0{,}05 = 2 \qquad \text{(under 5 — kriteriet er brote)}$

$\mu = 2 \qquad \sigma = \sqrt{40 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 1{,}38$

Vi reknar $P(X \le 1)$ på begge måtar:

Metode	Svar
Eksakt binomisk	0,3991
Normal med heiltalskorreksjon	0,3584

Tilnærminga bommar med 4 prosentpoeng — over 10 % relativt. Og det blir verre: normalmodellen gir

P(Y < 0) = 0{,}073

Han påstår altså at det er 7 % sannsyn for eit negativt tal på defekte. Det er umogleg, og det er sjølve symptomet: kurva er for brei for eit område som startar i 0. Fordelinga er skeiv, ikkje klokkeforma.

Regelen: er $np$ eller $n(1-p)$ under 5, skal du rekne eksakt binomisk. Det er dessutan den enklaste vegen i dag — =BINOM.FORDELING.N(...) i eit rekneark gjer det med eitt tastetrykk.

📝Oppgave 4

Omsetjing. Lat

X

vere binomisk fordelt med

n = 100

p = 0{,}40

, og lat

Y

vere den normalfordelte variabelen med

\mu = 40

\sigma \approx 4{,}90

. Skriv om kvart uttrykk med heiltalskorreksjon. Du skal ikkje rekne ut tala.

P(X \le 45)

P(X \ge 50)

P(X = 40)

P(35 \le X \le 45)

P(X < 50)

📝Oppgave 5

Kan tilnærminga brukast? Rekn ut

np

n(1-p)

, og avgjer om normaltilnærminga kan brukast.

n = 30

p = 0{,}50

n = 60

p = 0{,}05

n = 400

p = 0{,}01

n = 80

p = 0{,}95

I b): rekn $P(X \le 2)$ både eksakt og med tilnærminga, og mål avviket. Eksakt binomisk gir 0,4174.

Løs oppgaven

Oppsummering

- Ein binomisk variabel er ein sum av $n$ uavhengige 0/1-variablar. Difor gjeld sentralgrensesetninga, og difor liknar den binomiske fordelinga ei klokke når $n$ er stor.
- Tilnærminga: $X$ blir rekna som normalfordelt med $\mu = np$ og $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ .
- Kriteriet: $np \ge 5$ og $n(1-p) \ge 5$ . Det er det minste av dei to som avgjer — stor $n$ hjelper ikkje åleine.
- Heiltalskorreksjonen skal alltid med: flytt grensa ei halv eining slik at heile søyla kjem med. «Høgst $k$ » blir $k + 0{,}5$ , «minst $k$ » blir $k - 0{,}5$ , og «nøyaktig $k$ » blir bandet frå $k - 0{,}5$ til $k + 0{,}5$ .
- Utan korreksjonen bommar svaret systematisk — i døme 1 med 0,023 i staden for 0,0003.
- Blir kriteriet brote, blir fordelinga skeiv og tilnærminga dårleg. Då reknar vi eksakt binomisk.
- Rekninga etterpå er nøyaktig som i kapittel 6.2 og kapittel 6.3: standardiser, eller bruk NORM.FORDELING.N direkte.

Kvifor lærer vi dette når reknearket kan rekne eksakt binomisk? Fordi tilnærminga er brua til resten av faget. Konfidensintervall for ein andel (kapittel 7.3) og hypotesetest for ein andel (kapittel 7.6) byggjer begge på at talet på suksessar er tilnærma normalfordelt. Utan den koplinga ville ei meiningsmåling ikkje kunne oppgi nokon feilmargin i det heile.

Med dette er seksjon 6 ferdig. Vi har ein modell for einskildverdiar (normalfordelinga), for gjennomsnitt (sentralgrensesetninga) og for andelar (normaltilnærminga) — og i kapittel 7 snur vi heile apparatet: der er det fordelinga som er ukjend, og dataa som skal fortelje oss om henne.

📝Oppgave 6

Samleoppgåve, Del 2. I ein by reiser 12 % av innbyggjarane kollektivt til jobb. Eit transportselskap spør 2500 tilfeldige yrkesaktive. Lat

X

vere talet på dei som reiser kollektivt.

Vis at normaltilnærminga kan brukast, og finn $\mu$ og $\sigma$ .

Finn sannsynet for at minst 330 svarer at dei reiser kollektivt.

Finn $P(280 \le X \le 320)$ .

Finn talet som berre 1 % av undersøkingane kjem over.

Undersøkinga viser 330 av 2500. Selskapet melder at «andelen kollektivreisande har auka frå 12 % til 13,2 %». Vurder påstanden.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane under.

«Heiltalskorreksjonen er ein detalj som ikkje betyr noko i praksis.» Drøft.

«Sidan rekneark kan rekne eksakt binomisk, er normaltilnærminga overflødig.» Drøft.

Kvifor krev kriteriet begge produkta, og ikkje berre at $n$ er stor?

Eit byrå spør 1000 veljarar og finn 52 % oppslutnad for eit forslag. Ei avis skriv «fleirtal for forslaget». Drøft.

Kvifor er $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ størst når $p = 0{,}5$ , og kva tyder det for meiningsmålingar?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.