6.4 Sentralgrensesetninga | Statistikk

Kvifor gjennomsnitt av mange målingar blir normalfordelt, og fordelinga til X̄.

45 min

7 oppgaver

SentralgrensesetningaFordelinga til gjennomsnittet

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Sentralgrensesetninga

I kapittel 6.1 sa vi at det finst ein grunn til at klokkekurva dukkar opp overalt. No skal vi sjå kva den grunnen er.

Frå kapittel 5.7 veit vi allereie to ting om gjennomsnittet $\bar{X}$ av $n$ uavhengige målingar:

$E(\bar{X}) = \mu \qquad \text{og} \qquad SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Midtpunktet flyttar seg ikkje, og spreiinga krympar med $\sqrt{n}$ .

Men det manglar noko. Vi veit kvar fordelinga til $\bar{X}$ ligg og kor brei ho er — vi veit ikkje kva form ho har. Og utan forma kan vi ikkje rekne ut eitt einaste sannsyn.

Svaret er det mest overraskande resultatet i heile statistikken: forma blir ei klokke. Nesten same kva vi starta med.

Terningeksperimentet

Vi byrjar med noko som slett ikkje er klokkeforma: éin terning.

Kastar vi éin terning, er alle seks utfalla like sannsynlege. Fordelinga er flat — seks like høge søyler, kvar med sannsyn $\displaystyle \frac{1}{6}$ . Så langt frå ei klokke som det går an å kome.

Kast no to terningar og rekn gjennomsnittet av dei:

Gjennomsnitt	Sannsyn	Desimaltal
1	$\displaystyle \frac{1}{36}$	0,0278
1,5	$\displaystyle \frac{2}{36}$	0,0556
2	$\displaystyle \frac{3}{36}$	0,0833
2,5	$\displaystyle \frac{4}{36}$	0,1111
3	$\displaystyle \frac{5}{36}$	0,1389
3,5	$\displaystyle \frac{6}{36}$	0,1667
4	$\displaystyle \frac{5}{36}$	0,1389
4,5	$\displaystyle \frac{4}{36}$	0,1111
5	$\displaystyle \frac{3}{36}$	0,0833
5,5	$\displaystyle \frac{2}{36}$	0,0556
6	$\displaystyle \frac{1}{36}$	0,0278

Fordelinga er ikkje flat lenger. Ho er ein trekant med topp i 3,5. Grunnen er lett å sjå: gjennomsnittet 1 krev at begge terningane viser 1 — det er éin kombinasjon av 36. Gjennomsnittet 3,5 kan derimot skje på seks måtar (1 og 6, 2 og 5, 3 og 4, og dei same tre omvendt).
Det er heile mekanismen bak klokkeforma, i si enklaste form: midten kan nåast på mange måtar, ytterpunkta berre på éin.
Kast fire terningar, og trekanten byrjar å bli ei klokke. Kast tretti, og du får ikkje auge på skilnaden frå ei normalkurve i det heile.

📜Sentralgrensesetninga

Lat

X_1, X_2, \ldots, X_n

vere uavhengige målingar frå same fordeling, med forventingsverdi

\mu

og standardavvik

\sigma

Når $n$ er stor, er gjennomsnittet

$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

tilnærma normalfordelt, med

$E(\bar{X}) = \mu \qquad \text{og} \qquad SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Det same gjeld summen $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ , som er tilnærma normalfordelt med

$E(S) = n \cdot \mu \qquad \text{og} \qquad SD(S) = \sigma \cdot \sqrt{n}$

Det som gjer setninga så kraftig: ho seier ingenting om kva fordeling målingane kjem frå. Ho kan vere flat, skeiv, toppa eller hakkete. Gjennomsnittet blir klokkeforma uansett.

Tommelfingerregelen er $n \ge 30$ . Er den opphavlege fordelinga sjølv rimeleg symmetrisk, held det med langt færre — og er $X$ allereie normalfordelt, er $\bar{X}$ eksakt normalfordelt for kva $n$ som helst, òg $n = 2$ .

✏️Døme 1: Gjennomsnittet av 15 målingar

Bremselengda $X$ i meter for ein bilmodell er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m.

Eit testsenter måler bremselengda 15 gonger og reknar gjennomsnittet $\bar{X}$ .

a) Finn $E(\bar{X})$ og $SD(\bar{X})$ .
b) Finn sannsynet for at gjennomsnittet av dei 15 målingane blir mindre enn 84 meter.
c) Samanlikn med sannsynet for at éi måling blir mindre enn 84 meter.

Løysing:

a) Kva veit vi? $\mu = 83$ , $\sigma = 3$ og $n = 15$ .

Midtpunktet flyttar seg ikkje:

$E(\bar{X}) = \mu = 83 \text{ m}$

Spreiinga krympar med $\sqrt{n}$ :

$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{15}} \approx 0{,}77 \text{ m}$

b) Målingane kjem frå ei normalfordeling, så $\bar{X}$ er normalfordelt — eksakt, ikkje berre tilnærma.

No reknar vi som i kapittel 6.2 og kapittel 6.3, men med $\mu = 83$ og $\sigma = 0{,}77$ i staden for 3:

$z = \frac{84 - 83}{0{,}7746} = \frac{1}{0{,}7746} = 1{,}29$

$P(\bar{X} < 84) = P(Z < 1{,}29) = 0{,}9015$

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(84; 83; 3/ROT(15); SANN)
GeoGebra:   FordelingNormal(83, 3/sqrt(15), 84)

gir 0,9016.

c) For éi einskild måling er $\sigma = 3$ :

$z = \frac{84 - 83}{3} = 0{,}33 \qquad P(X < 84) = 0{,}6306$

Svar: a) $E(\bar{X}) = 83$ m og $SD(\bar{X}) \approx 0{,}77$ m. b) $\approx 0{,}90$ . c) $\approx 0{,}63$ .

Tolking: Éi tilfeldig måling hamnar under 84 meter i omtrent 6 av 10 tilfelle. Gjennomsnittet av 15 målingar gjer det i 9 av 10. Grunnen er ikkje at bilen bremsar betre — $\mu$ er den same — men at gjennomsnittet svingar mindre. Det ligg tettare inntil 83, og då skal det meir til for å kome over 84.

NB: Legg merke til kva som er den einaste skilnaden på denne rekninga og rekninga i kapittel 6.3: vi bytte ut $\sigma$ med $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Alt anna er likt. Den vanlegaste feilen i dette kapittelet er å gløyme å dele på $\sqrt{n}$ — og han gir alltid eit svar som er for nær 0,5.

📝Oppgave 1

Gjer den same. Vekta

X

i gram til pakkar frå ein maskin er normalfordelt med

\mu = 250

g og

\sigma = 4

g. Det blir teke ut 16 pakkar, og gjennomsnittsvekta

\bar{X}

blir rekna ut.

Finn $E(\bar{X})$ og $SD(\bar{X})$ .

Finn $P(\bar{X} > 251)$ .

Finn $P(\bar{X} < 248{,}5)$ .

Finn sannsynet for at éin tilfeldig pakke veg meir enn 251 g, og samanlikn med b).

Kva blir $SD(\bar{X})$ dersom det blir teke ut 64 pakkar i staden, og kva blir då $P(\bar{X} > 251)$ ?

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Summen i staden for gjennomsnittet

Vekta til vaksne passasjerar kan modellerast med $\mu = 80$ kg og $\sigma = 15$ kg.

Ein heis er merkt «maks 4200 kg» og tek 50 personar.

a) Finn forventingsverdien og standardavviket til den samla vekta $S$ av 50 tilfeldige passasjerar.
b) Finn sannsynet for at 50 passasjerar til saman veg meir enn 4200 kg.
c) Kva grense måtte stått på skiltet for at sannsynet skulle vore 1 promille?

Løysing:

a) Kva veit vi? $\mu = 80$ , $\sigma = 15$ og $n = 50$ . Her spør oppgåva om summen, ikkje gjennomsnittet, så vi brukar den andre halvdelen av setninga:

$E(S) = n \cdot \mu = 50 \cdot 80 = 4000 \text{ kg}$

$SD(S) = \sigma \cdot \sqrt{n} = 15 \cdot \sqrt{50} \approx 106{,}1 \text{ kg}$

(Merk skilnaden: gjennomsnittet får $\sigma$ delt på $\sqrt{n}$ , summen får $\sigma$ gonga med $\sqrt{n}$ . Summen av mange svingar meir i kilo, gjennomsnittet svingar mindre.)

b) Vekta til éin person er neppe normalfordelt — ho er litt høgreskeiv. Men $n = 50$ er godt over tommelfingerregelen på 30, så sentralgrensesetninga gir oss at $S$ er tilnærma normalfordelt:

$z = \frac{4200 - 4000}{106{,}1} = \frac{200}{106{,}1} = 1{,}89$

$P(S > 4200) = 1 - P(Z \le 1{,}89) \approx 1 - 0{,}9706 = 0{,}0294$

Rekneark:   =1 - NORM.FORDELING.N(4200; 4000; 15*ROT(50); SANN)

gir 0,0297.

c) No er sannsynet kjent og grensa ukjend — altså ein kvantil. Vi skriv om først: $P(S > g) = 0{,}001$ tyder $P(S \le g) = 0{,}999$ .

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,999; 4000; 15*ROT(50))

$g \approx 4328 \text{ kg}$

Svar: a) $E(S) = 4000$ kg og $SD(S) \approx 106$ kg. b) $\approx 0{,}03$ . c) Omtrent 4330 kg.

Tolking: Med 50 tilfeldige vaksne om bord blir 4200 kg overskride i omtrent 3 % av turane. Det høyrest lite ut, men ein heis som går 200 gonger i døgnet, vil då vere overlasta fleire gonger dagleg. Difor blir heisar ikkje dimensjonerte etter gjennomsnittet, men etter ei grense langt ute i halen — som i c).

📝Oppgave 2

Gjer den same. Ein pall blir lasta med 36 sekker sement. Vekta til éin sekk har

\mu = 25

kg og

\sigma = 0{,}6

kg. Lat

S

vere den samla vekta.

Finn $E(S)$ og $SD(S)$ .

Finn $P(S > 905)$ .

Finn $P(S < 895)$ .

Finn $P(895 \le S \le 905)$ .

Finn grensa som berre 1 % av pallane kjem over.

Løs oppgaven

Sentralgrensesetninga seier at $\bar{X}$ blir «tilnærma» normalfordelt. Kor god er den tilnærminga eigentleg?

Vi kan måle det. Ta leveringstida for ein pakke, som er sterkt høgreskeiv — dei fleste kjem fort, nokre få brukar svært lang tid (same type fordeling som ventetida i kapittel 5.6). Lat $\mu = 2{,}5$ dagar og $\sigma = 2{,}5$ dagar.

Vi reknar $P(\bar{X} < 3{,}0)$ på to måtar: med normaltilnærminga, og eksakt.

$n$	Normaltilnærminga	Eksakt	Avvik
5	0,6726	0,7149	0,042
40	0,8970	0,8927	0,004

Med berre 5 målingar bommar tilnærminga med over 4 prosentpoeng — for unøyaktig til å stole på. Med 40 målingar er avviket nede i 0,4 prosentpoeng.
Det er dette tommelfingerregelen $n \ge 30$ handlar om. Han er ikkje ei grense der noko plutseleg skjer; tilnærminga blir jamt og trutt betre. Og di skeivare fordelinga er, di større

n

trengst. For ei symmetrisk startfordeling — som terningen — er ho god allereie ved

n = 10

✏️Døme 3: Når startfordelinga ikkje er normal

Leveringstida $X$ for pakkar frå ein nettbutikk er sterkt høgreskeiv, med $\mu = 2{,}5$ dagar og $\sigma = 2{,}5$ dagar.

Forbrukarrådet måler leveringstida for 40 tilfeldige pakkar og reknar gjennomsnittet.

a) Kan vi rekne med normalfordelinga her, når $X$ sjølv slett ikkje er normalfordelt?
b) Finn sannsynet for at gjennomsnittet blir mindre enn 3,0 dagar.
c) Butikken lovar «gjennomsnittleg leveringstid under 3,2 dagar». Finn sannsynet for at målinga viser meir enn 3,2 dagar, sjølv om butikken har rett.

Løysing:

a) Spørsmålet er kva variabel vi spør om. Om éin pakke kan vi ikkje bruke normalfordelinga — fordelinga er skeiv, og ein normalmodell ville gitt positivt sannsyn for negativ leveringstid.

Men vi spør ikkje om éin pakke. Vi spør om gjennomsnittet av 40. Då gjeld sentralgrensesetninga, og $40 \ge 30$ :

$\bar{X} \text{ er tilnærma normalfordelt med } \mu = 2{,}5 \text{ og } SD(\bar{X}) = \frac{2{,}5}{\sqrt{40}} \approx 0{,}395$

b) Vi reknar som før, med 0,395 som standardavvik:

$z = \frac{3{,}0 - 2{,}5}{0{,}3953} = \frac{0{,}5}{0{,}3953} = 1{,}26$

$P(\bar{X} < 3{,}0) = P(Z < 1{,}26) \approx 0{,}8962$

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(3; 2,5; 2,5/ROT(40); SANN)

gir 0,8970.

c) «Meir enn 3,2 dagar» er høgre hale:

$z = \frac{3{,}2 - 2{,}5}{0{,}3953} = 1{,}77$

$P(\bar{X} > 3{,}2) = 1 - 0{,}9616 = 0{,}0384$

Sentralgrensesetninga gjeld gjennomsnittet, ikkje einskildpakken.

Leveringstida for éin pakke (A) er sterkt høgreskeiv og blir aldri normalfordelt same kor mange pakkar du sender.

Gjennomsnittet av 40 (B) er tilnærma normalfordelt med same $\mu$ og $\displaystyle \text{SD} = \frac{2{,}5}{\sqrt{40}} \approx 0{,}40$ .

Panela har same vassrette og loddrette skala.

Svar: a) Ja — for gjennomsnittet, ikkje for einskildpakkar. b) $\approx 0{,}897$ . c) $\approx 0{,}038$ .

Tolking av c): Sjølv om butikken faktisk har ei sann gjennomsnittleg leveringstid på 2,5 dagar, vil ei måling av 40 pakkar vise over 3,2 dagar i omtrent 4 % av tilfella — reint på grunn av tilfeldig variasjon. Det er akkurat denne tankegangen heile kapittel 7 byggjer på: eit måleresultat som ser dårleg ut, kan kome av tilfeldigheit, og vi treng eit reknestykke for å avgjere om det gjer det.

📝Oppgave 3

Gjer den same. Tida

X

ein kunde brukar i ein kundeservicetelefon er høgreskeiv, med

\mu = 4

minutt og

\sigma = 4

minutt. Ein dag blir 50 tilfeldige samtalar målte.

Grunngi at gjennomsnittet kan reknast som tilnærma normalfordelt, og finn $SD(\bar{X})$ .

Finn $P(\bar{X} > 4{,}5)$ .

Finn $P(\bar{X} < 3{,}5)$ .

Finn $P(3{,}5 < \bar{X} < 4{,}5)$ .

Finn forventa samla taletid for dei 50 samtalane, og sannsynet for at ho overstig 225 minutt.

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Kor mange målingar trengst?

Eit laboratorium måler konsentrasjonen i ei prøve. Éi måling har $\sigma = 12$ einingar.

Laboratoriet vil at gjennomsnittet av målingane skal ha eit standardavvik på høgst 1,5 einingar.

Kor mange målingar må dei gjere?

Løysing:

Kva veit vi? $\sigma = 12$ , og kravet er $SD(\bar{X}) \le 1{,}5$ .

Kva må vi finne? Talet $n$ .

Vi set opp kravet med formelen:

$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 1{,}5$

$\frac{12}{\sqrt{n}} \le 1{,}5$

Vi gongar med $\sqrt{n}$ på begge sider:

$12 \le 1{,}5\sqrt{n}$

Vi deler på 1,5 på begge sider:

$\frac{12}{1{,}5} \le \sqrt{n}$

$8 \le \sqrt{n}$

Og kvadrerer begge sider — begge er positive, så ulikskapsteiknet står:

$64 \le n$

Kontroll: $\displaystyle \frac{12}{\sqrt{64}} = \frac{12}{8} = 1{,}5$ . Stemmer.

Svar: Minst 64 målingar.

NB: Legg merke til kor dyrt det er å bli nøyaktig. Her er dei fire krava rekna ut:

Krav til $SD(\bar{X})$	Tal på målingar
3	16
2	36
1,5	64
1	144

For å halvere uvissa frå 3 til 1,5 må talet firedoblast frå 16 til 64. Det er

\sqrt{n}

i nemnaren som gjer det, og det er grunnen til at store undersøkingar kostar så mykje meir enn små utan å bli så mykje betre.

📝Oppgave 4

Gjer den same. Ei vekt har måleuvisse med

\sigma = 0{,}8

kg per måling.

Kor mange målingar trengst for at gjennomsnittet skal ha standardavvik høgst 0,4 kg?

Kor mange trengst for høgst 0,2 kg?

Kor mange trengst for høgst 0,1 kg?

Kva skjer med talet kvar gong kravet blir halvert?

Kvar måling kostar 250 kr. Kva kostar det å gå frå ei uvisse på 0,2 kg til 0,05 kg?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Kjenn att situasjonen. For kvar situasjon: avgjer om spørsmålet gjeld éi måling

X

, gjennomsnittet

\bar{X}

eller summen

S

, og skriv opp kva standardavvik du skal rekne med. Vekta til éin sekk har

\mu = 25

kg og

\sigma = 0{,}6

kg.

Sannsynet for at ein tilfeldig sekk veg over 26 kg.

Sannsynet for at 36 sekker til saman veg over 910 kg.

Sannsynet for at gjennomsnittsvekta av 36 sekker er over 25,3 kg.

Sannsynet for at ein lastebil med 100 sekker overskrid 2520 kg last.

Ein kvalitetskontrollør veg 9 sekker og vil vite om gjennomsnittet avvik mykje frå 25 kg.

Oppsummering

- Sentralgrensesetninga: gjennomsnittet $\bar{X}$ av mange uavhengige målingar er tilnærma normalfordelt — same kva fordeling målingane sjølve kjem frå.
- $E(\bar{X}) = \mu$ og $SD(\bar{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Midtpunktet står stille, spreiinga krympar.
- Summen $S$ er òg tilnærma normalfordelt, med $E(S) = n\mu$ og $SD(S) = \sigma\sqrt{n}$ . Gjennomsnittet deler på $\sqrt{n}$ , summen gongar med $\sqrt{n}$ .
- Rekninga er den same som i kapittel 6.2 og kapittel 6.3 — den einaste skilnaden er at $\sigma$ blir bytt ut med $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ eller $\sigma\sqrt{n}$ . Gløymer du bytet, får du eit svar som er for nær 0,5.
- Tommelfingerregelen er $n \ge 30$ . Er startfordelinga symmetrisk, held det med færre; er ho svært skeiv, trengst fleire. Er $X$ sjølv normalfordelt, er $\bar{X}$ eksakt normalfordelt for kva $n$ som helst.
- Setninga gjeld gjennomsnitt og summar — aldri einskildmålingar. At gjennomsnittsinntekta i eit utval er normalfordelt, gjer ikkje inntektsfordelinga normalfordelt.
- Å halvere uvissa i eit gjennomsnitt krev fire gonger så mange målingar.

Dette er grunnlaget for resten av faget. I kapittel 7 brukar vi det til å seie kor nøyaktig eit utval fortel om heilskapen — og til å avgjere om eit måleresultat er eit verkeleg funn eller berre tilfeldig variasjon.

📝Oppgave 6

Samleoppgåve, Del 2. Ein maskin fyller kaffiposar. Vekta

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 252

g og

\sigma = 2

g. Kvalitetskontrollen tek ut stikkprøver og reknar gjennomsnittsvekta.

Finn $SD(\bar{X})$ for stikkprøver på 9 og på 25 posar.

Finn $P(\bar{X} < 251)$ for kvar av dei to stikkprøvestorleikane, og for éin einskild pose.

Forklar kvifor dei tre svara i b) er så ulike, når $\mu$ er den same i alle tre.

Kor stor må stikkprøva vere for at $SD(\bar{X})$ skal bli høgst 0,25 g?

Kontrolløren bestemmer at maskinen skal stoppast dersom gjennomsnittet av 25 posar er under 250,5 g. Finn sannsynet for at maskinen blir stoppa sjølv om han er rett innstilt, og vurder om grensa er godt vald.

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting — kva sentralgrensesetninga ikkje seier. Vurder påstandane under.

«Sentralgrensesetninga seier at alt blir normalfordelt berre vi har nok data.» Drøft.

Ein elev reknar $P(X > 84)$ for éi måling med $\displaystyle SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ i staden for $\sigma$ . Blir svaret for høgt eller for lågt?

Setninga krev at målingane er uavhengige. Gi eit døme der kravet er brote, og forklar kva som går gale.

«Med $n = 30$ er tilnærminga god.» Når er det ikkje sant?

Kvifor er det nettopp $\sqrt{n}$ og ikkje $n$ som står i nemnaren? Kva ville konsekvensen vore om det var $n$ ?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.