6.3 Normalfordeling med digitale verktøy

Rekneark og GeoGebra for sannsyn og kvantilar i normalfordelinga.

45 min

7 oppgaver

Digitale verktøyKvantilar

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Normalfordeling med digitale verktøy

Tabellen i kapittel 6.2 verkar, men han har tre veikskapar:

1. Han gjeld berre for $Z$ , så vi må standardisere først.
2. Han er avrunda — vi fekk 86,84 der det rette svaret er 86,845.
3. Han har berre nokre få verdiar, så vi må velje den næraste og leve med avviket.

Med eit digitalt verktøy forsvinn alle tre. Vi skriv inn $\mu$ og $\sigma$ direkte, og får svaret med så mange desimalar vi vil.

Men tabellen er ikkje bortkasta. Standardiseringa er framleis måten du forstår kva verktøyet gjer, og $z$ -verdien er eit nyttig tal i seg sjølv. Dessutan: på ei Del 1-oppgåve utan hjelpemiddel er tabellen og 68–95–99,7-regelen alt du har.

Rekneark

Rekneark har ferdige funksjonar for normalfordelinga. Desse fire dekkjer alt vi treng:

Formel	Gir
`=NORM.FORDELING.N(x; μ; σ; SANN)`	$P(X \le x)$ — arealet frå venstre
`=NORM.INVERS.N(p; μ; σ)`	grensa $x$ med $P(X \le x) = p$
`=NORM.S.FORDELING.N(z; SANN)`	$P(Z \le z)$ — det tabellen gir
`=NORM.S.INVERS(p)`	$z$ -verdien med $P(Z \le z) = p$

Dei to øvste er dei vi brukar mest: dei går rett på

X

, utan at vi standardiserer i det heile. Dei to nedste er tabellen frå kapittel 6.2, berre utan avrunding.
Om den siste parameteren SANN: han bed om det kumulative — arealet fram til

x

. Skriv du USANN i staden, får du høgda på kurva, altså

f(x)

. Den treng du nesten aldri. Hugs: det er arealet som er sannsynet, ikkje høgda.
NB: Funksjonsnamna varierer litt mellom program og versjonar. Finn du ikkje NORM.FORDELING.N, prøv NORMFORDELING — eller skriv =NORM i ei celle og sjå kva programmet føreslår.

GeoGebra

GeoGebra har dei same to funksjonane, og dei blir skrivne inn i inntastingsfeltet:

FordelingNormal(83, 3, 86)
InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

Rekkjefølgja er $\mu$ , $\sigma$ , og deretter verdien:

- FordelingNormal(μ, σ, x) gir $P(X \le x)$
- InversNormalfordeling(μ, σ, p) gir grensa $x$ med $P(X \le x) = p$

Legg merke til at GeoGebra vil ha punktum som desimalteikn i kommandoane (0.9, ikkje 0,9), medan svaret kjem med komma.

Alternativt kan du rekne arealet som eit integral, slik vi gjorde i kapittel 5.6 — det er nøyaktig same sak:

f(x) = 1 / (3 sqrt(2 pi)) exp(-(x - 83)^2 / (2 * 3^2))
Integral(f, 80, 86)

Den vegen er lengre, men han viser kva Normalfordeling eigentleg gjer: han reknar arealet under tettleikskurva.

NB: Same kva verktøy du brukar — skriv alltid opp kva du bad om, ikkje berre svaret. Eit svar som berre inneheld talet 0,1587, utan kommandoen eller formelen som gav det, er ikkje ei løysing. Sensor skal kunne sjå kva sannsyn du har rekna.

✏️Døme 1: Dei tre spørsmålstypane med verktøy

Bremselengda $X$ i meter for ein bilmodell er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m.

Bruk digitale verktøy og finn
a) $P(X \le 86)$
b) $P(X > 86)$
c) $P(80 \le X \le 86)$

Løysing:

Kva veit vi? $\mu = 83$ og $\sigma = 3$ . Vi skriv dei inn direkte — inga standardisering.

a) «Mindre enn eller lik» er akkurat det funksjonen gir:

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(86; 83; 3; SANN)
GeoGebra:   FordelingNormal(83, 3, 86)

$P(X \le 86) = 0{,}8413$

b) «Større enn» finst det ingen eigen funksjon for. Vi brukar komplementet, som alltid:

$P(X > 86) = 1 - P(X \le 86)$

Rekneark:   =1 - NORM.FORDELING.N(86; 83; 3; SANN)
GeoGebra:   1 - FordelingNormal(83, 3, 86)

$P(X > 86) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$

c) Eit intervall er differansen mellom to areal frå venstre — øvre minus nedre:

$P(80 \le X \le 86) = P(X \le 86) - P(X \le 80)$

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(86; 83; 3; SANN) - NORM.FORDELING.N(80; 83; 3; SANN)
GeoGebra:   FordelingNormal(83, 3, 86) - FordelingNormal(83, 3, 80)

$P(80 \le X \le 86) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6827$

Dei tre spørsmålstypane i eitt bilete, for bremselengda med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m.

Aksen er i meter, ikkje i $z$ : verktøyet går rett på $X$ og standardiserer for deg.

Det grøne området er differansen mellom det gule og det som ligg til venstre for 80.

Svar: a) $0{,}8413$ . b) $0{,}1587$ . c) $0{,}6827$ .

Kontroll mot kapittel 6.2: i døme 2 fekk vi 0,1587 for b) med tabellen — identisk.

Og c) er nettopp $\mu \pm \sigma$ , sidan $80 = 83 - 3$ og $86 = 83 + 3$ . Svaret 0,6827 er difor første linje i 68–95–99,7-regelen, no med full nøyaktigheit.

NB: Legg merke til at dei tre omsetjingane er dei same som med tabell. Verktøyet fjernar standardiseringa, men ikkje tenkinga: du må framleis vite kva veg ulikskapen går, og at «mellom» er ein differanse.

📝Oppgave 1

Del 2 — gjer den same. Ein tappemaskin fyller flasker. Fyllmengda

X

i milliliter er normalfordelt med

\mu = 500

ml og

\sigma = 6

ml. Skriv opp formelen eller kommandoen du brukar, og svar med fire desimalar.

Finn $P(X \le 508)$ .

Finn $P(X > 512)$ .

Finn $P(494 \le X \le 506)$ .

Finn $P(X < 490)$ .

Av 5000 flasker — kor mange ventar vi inneheld mindre enn 490 ml?

Løs oppgaven

Kvantil

p

✏️Døme 2: Kvantilen med verktøy

Bremselengda er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m, som i døme 1.

a) Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}90$ .
b) Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}99$ .
c) Bestem $k$ slik at $P(X > k) = 0{,}01$ .

Løysing:

a) Sannsynet er gitt, grensa er ukjend — altså ein kvantil:

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,90; 83; 3)
GeoGebra:   InversNormalfordeling(83, 3, 0.9)

$k = 86{,}8447 \approx 86{,}8$

b) Same kommando med 0,99:

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,99; 83; 3)

$k = 89{,}9790 \approx 90{,}0$

c) Her står ulikskapen motsett veg. Funksjonen vil alltid ha arealet frå venstre, så vi må skrive om først:

$P(X > k) = 0{,}01 \quad \Longrightarrow \quad P(X \le k) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$

Det er nøyaktig same spørsmål som i b):

$k = 89{,}9790 \approx 90{,}0$

Svar: a) $k \approx 86{,}8$ m. b) $k \approx 90{,}0$ m. c) $k \approx 90{,}0$ m.

Samanlikning med tabellen: i kapittel 6.2 fekk vi 86,84 for a), fordi vi måtte velje $z = 1{,}28$ der det rette er 1,2816. Skilnaden er 5 millimeter på ei bremselengd — utan praktisk betydning, men verdt å vite om: tabellsvar og verktøysvar kan ikkje ventast å vere like i siste desimal.

NB: Legg merke til at b) og c) har same svar. Det er ikkje ein tilfeldigheit, men heile poenget med omskrivinga: «1 % over» og «99 % under» er to måtar å skildre den same grensa på. Skriv alltid om til «under» før du tastar.

📝Oppgave 2

Del 2 — gjer den same. Høgda

X

i centimeter til 16 år gamle jenter er normalfordelt med

\mu = 167

cm og

\sigma = 6

cm. Svar med éin desimal.

Finn 25-prosentilen og 75-prosentilen, altså $Q_1$ og $Q_3$ .

Finn medianen, og forklar svaret utan å rekne.

Finn 90-prosentilen.

Finn grensa $k$ med $P(X > k) = 0{,}01$ .

Kor brei er kvartilbreidda $Q_3 - Q_1$ , og kor mange standardavvik er det?

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Garantitid

Levetida $X$ i timar for ei LED-pære er normalfordelt med $\mu = 1200$ timar og $\sigma = 100$ timar.

a) Finn delen pærer som sviktar før 1000 timar.
b) Produsenten vil gi ein garanti som høgst 5 % av pærene utløyser. Kor mange timars garanti kan han gi?
c) Bedrifta sel 50 000 pærer. Kor mange reklamasjonar må ho rekne med dersom garantien blir sett til 1000 timar?

Løysing:

a) «Sviktar før 1000 timar» er $P(X < 1000)$ :

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(1000; 1200; 100; SANN)

$P(X < 1000) = 0{,}0228$

Altså 2,3 % av pærene.

b) Kva veit vi? At arealet til venstre for garantitida skal vere 0,05. Kva må vi finne? Sjølve grensa — altså ein kvantil:

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,05; 1200; 100)
GeoGebra:   InversNormalfordeling(1200, 100, 0.05)

$t = 1035{,}51$

Produsenten bør oppgi garantien i heile hundre timar, og må då runde nedover:

$t = 1000 \text{ timar}$

(Rundar han oppover til 1100 timar, blir delen som utløyser garantien $P(X < 1100) = 0{,}1587$ , altså nesten 16 % — tre gonger så mykje som han var viljug til å godta.)

c) Frå a) er delen 0,0228:

$50\,000 \cdot 0{,}0228 = 1140$

Svar: a) $2{,}3$ %. b) 1035 timar, i praksis 1000 timar. c) Omtrent 1140 pærer.

Tolking: Legg merke til kor følsam garantien er. Frå 1000 til 1100 timar — ein auke på under 10 % i lova levetid — sjudoblar talet på reklamasjonar, frå 1140 til nesten 8000. Det er brattleiken i halen som gjer det: nær $\mu$ ligg sannsyna tett, langt ute ligg dei tynt.

📝Oppgave 3

Del 2 — gjer den same. Levetida

X

i kilometer for eit sykkeldekk er normalfordelt med

\mu = 4200

km og

\sigma = 350

km.

Finn delen dekk som er utslitne før 3500 km.

Finn delen dekk som varer lenger enn 5000 km.

Produsenten godtek at 2 % av dekka utløyser garantien. Kva garantigrense gir det?

Finn $P(3800 \le X \le 4600)$ .

Garantien blir sett til 3400 km. Kor mange reklamasjonar må produsenten rekne med per 12 000 dekk?

Løs oppgaven

Dei midtarste $p$ prosenta

Ein oppgåvetype går igjen i kvalitetskontroll: kva intervall rommar dei midtarste 90 % av verdiane?

Her er det to grenser å finne, og nøkkelen er å fordele resten likt på begge sider. Skal 90 % liggje inne, må 10 % liggje utanfor — 5 % i kvar hale:

$\text{nedre grense: } P(X \le a) = 0{,}05 \qquad \text{øvre grense: } P(X \le b) = 0{,}95$

Merk at den øvre grensa har $0{,}95$ under seg, ikkje $0{,}05$ . Ein vanleg feil er å taste 0,05 begge gongene.

Regelen: skal dei midtarste $p$ liggje inne, er halane $\displaystyle \frac{1 - p}{2}$ kvar, og du tastar $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ og $\displaystyle \frac{1+p}{2}$ .

Midtarste	Nedre	Øvre
50 %	0,25	0,75
80 %	0,10	0,90
90 %	0,05	0,95
95 %	0,025	0,975
99 %	0,005	0,995

✏️Døme 4: Dei midtarste 90 prosenta

Ein dreiebenk lagar akslar med diameter $X$ i millimeter, normalfordelt med $\mu = 20{,}00$ mm og $\sigma = 0{,}05$ mm.

a) Finn intervallet som inneheld diameteren til dei midtarste 90 % av akslane.
b) Finn kvartilbreidda $Q_3 - Q_1$ .
c) Toleransekravet er $20{,}00 \pm 0{,}10$ mm. Kor stor del av akslane blir godkjend?

Løysing:

a) Kva veit vi? At 90 % skal liggje inne, altså 10 % utanfor — 5 % i kvar hale.

Nedre grense har 0,05 under seg:

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,05; 20; 0,05)

$a = 19{,}9178$

Øvre grense har 0,95 under seg:

Rekneark:   =NORM.INVERS.N(0,95; 20; 0,05)

$b = 20{,}0822$

Intervallet er $[19{,}918;\ 20{,}082]$ mm.

(Kontroll: grensene ligg like langt frå $\mu = 20{,}00$ — $0{,}0822$ mm kvar veg. Det må dei, sidan kurva er symmetrisk og halane er like store. Er dei ikkje det, har du tasta feil.)

b) Kvartilane er $0{,}25$ - og $0{,}75$ -kvantilane:

$Q_1 = 19{,}9663 \qquad Q_3 = 20{,}0337$

$Q_3 - Q_1 = 20{,}0337 - 19{,}9663 = 0{,}0674 \text{ mm}$

c) Toleransen $20{,}00 \pm 0{,}10$ tyder intervallet frå 19,90 til 20,10:

Rekneark:   =NORM.FORDELING.N(20,1; 20; 0,05; SANN) - NORM.FORDELING.N(19,9; 20; 0,05; SANN)

$P(19{,}90 \le X \le 20{,}10) = 0{,}9545$

Svar: a) $[19{,}918;\ 20{,}082]$ mm. b) $0{,}0674$ mm. c) $95{,}45$ %.

Tolking: I c) er toleransegrensene $\mu \pm 2\sigma$ , og vi kjenner att 0,9545 frå 68–95–99,7-regelen. Om lag 4,5 % av akslane — 45 av kvart tusen — må kastast eller etterarbeidast.

📝Oppgave 4

Del 2 — gjer den same. Fødselsvekta

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 3600

g og

\sigma = 500

g. Svar i heile gram.

Finn intervallet som inneheld vekta til dei midtarste 50 % av borna.

Finn intervallet som inneheld dei midtarste 80 %.

Finn intervallet som inneheld dei midtarste 95 %.

Kor breitt er kvart av dei tre intervalla, og kva seier samanlikninga?

Born under 2500 g blir rekna å ha låg fødselsvekt. Kor stor del er det i denne modellen?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Vel rett formel. Lat

X

vere normalfordelt med

\mu = 70

\sigma = 12

. Skriv reknearkformelen som gir svaret. Du skal ikkje rekne ut tala.

Sannsynet for at $X$ er høgst 85.

Sannsynet for at $X$ er over 85.

Verdien med 95 % av fordelinga under seg.

Verdien med 5 % av fordelinga over seg.

Sannsynet for at $X$ ligg mellom 60 og 80.

Oppsummering

- =NORM.FORDELING.N(x; μ; σ; SANN) og FordelingNormal(μ, σ, x) gir $P(X \le x)$ — arealet frå venstre, direkte på $X$ , utan standardisering.
- =NORM.INVERS.N(p; μ; σ) og InversNormalfordeling(μ, σ, p) går motsett veg: frå areal til grense. Talet blir kalla ein kvantil.
- Dei tre omsetjingane er dei same som med tabell: «større enn» er $1 -$ verdien, «mellom» er øvre minus nedre, og alt blir skrive om til «frå venstre» før du tastar.
- Kvantilar: 0,5-kvantilen er medianen (lik $\mu$ for ei normalfordeling), 0,25 og 0,75 er kvartilane, og $p \cdot 100$ gir prosentilen.
- Dei midtarste $p$ : halane er $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ kvar. Tast $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ og $\displaystyle \frac{1+p}{2}$ — ikkje $\displaystyle \frac{1-p}{2}$ og $p$ .
- Kontroller alltid at dei to grensene ligg like langt frå $\mu$ .
- Skriv alltid opp formelen eller kommandoen, ikkje berre talet. Eit svar utan framgangsmåte er ikkje ei løysing.
- Tabellsvar og verktøysvar kan avvike i siste desimal. Det er tabellen som er avrunda, ikkje verktøyet som tek feil.

I kapittel 6.4 kjem det store spørsmålet: kvifor dukkar normalfordelinga opp i så mange ulike samanhengar?

📝Oppgave 6

Samleoppgåve, Del 2. Ein fabrikk støyper sjokoladeplater. Vekta

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 102

g og

\sigma = 1{,}8

g. Platene blir merkte «100 g». Sjokolade kostar fabrikken 0,085 kr per gram.

Finn delen plater som veg mindre enn merkevekta.

Finn $P(100 \le X \le 104)$ .

Finn vekta som berre 1 promille av platene ligg under.

Styresmaktene krev at høgst 0,5 % av platene har undervekt. Kva $\mu$ må maskinen stillast inn på, og kva kostar omlegginga per million plater?

Alternativet er ein ny støypemaskin som held $\mu = 102$ g. Kor liten må $\sigma$ då vere for å oppfylle kravet, og kva løysing ville du tilrådd?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting — verktøyet gir alltid eit svar. Vurder påstandane under.

Ein elev modellerer årsinntekta i Noreg som normalfordelt med $\mu = 620\,000$ kr og $\sigma = 400\,000$ kr, og reknar ut =NORM.FORDELING.N(0; 620000; 400000; SANN). Kva får han, og kva fortel det?

«Sidan verktøyet gir svar med ti desimalar, er svaret nøyaktig.» Drøft.

Når er tabellen frå kapittel 6.2 betre enn verktøyet?

Ein elev skal finne $P(X > 85)$ og tastar =NORM.FORDELING.N(85; 70; 12; SANN). Kva blir feilen, og korleis ville du oppdaga han?

Kvifor er det likevel eit krav at framgangsmåten står i svaret, når verktøyet gir svaret?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Normalfordeling med digitale verktøy

Rekneark

GeoGebra

Dei midtarste ppp prosenta

Oppsummering

Dei midtarste $p$ prosenta