6.2 Standardisering og normalfordelingstabellen | Statistikk

z-verdiar, standardnormalfordelinga og å lese tabellen.

45 min

7 oppgaver

Standardnormalfordelingz-verdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Standardisering og normalfordelingstabellen

68–95–99,7-regelen er nyttig, men han har ei openberr avgrensing: han svarer berre når grensa ligg nøyaktig eitt, to eller tre standardavvik frå $\mu$ .

Kva om vi spør om ein mann er høgare enn 185 cm? Eller om ein pakke veg mindre enn 247,5 gram? Då hjelper ikkje regelen.

Løysinga er eit grep som gjer alle normalfordelingar om til éi einaste: vi måler avstanden frå $\mu$ i talet på standardavvik. Det blir kalla å standardisere.

Éi kurve i staden for uendeleg mange

Det finst uendeleg mange normalfordelingar — éi for kvar kombinasjon av $\mu$ og $\sigma$ . Ingen kan trykkje opp ein tabell for kvar av dei.

Men det trengst heller ikkje. Sjå på kva vi gjorde i kapittel 6.1: vi omsette alltid grensa til talet på standardavvik frå midten, og deretter var alle oppgåvene like. Høgder i centimeter, levetider i timar og vekter i gram gav nøyaktig same rekning.

Det er heile ideen. Når vi måler i standardavvik, blir alle normalfordelingar til den same fordelinga — den med $\mu = 0$ og $\sigma = 1$ . Henne kallar vi standardnormalfordelinga, og variabelen kallar vi $Z$ .

Og for den eine fordelinga finst det ein tabell.

Standardisering og z-verdi

X

Standardiseringskjeda

Overgangen frå $X$ til $Z$ er ikkje ein regel du skal hugse — det er den same operasjonen på begge sider av ulikskapsteiknet, akkurat som når du løyser ei likning.

Sjå på $P(X \le 1{,}48)$ når $\mu = 1{,}50$ og $\sigma = 0{,}01$ :

$P(X \le 1{,}48) = P(X - \mu \le 1{,}48 - \mu)$

Vi trekte frå $\mu$ på begge sider av ulikskapsteiknet. Det endrar ikkje sannsynet — hendinga er nøyaktig den same.

$P(X - \mu \le 1{,}48 - \mu) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{1{,}48 - \mu}{\sigma}\right)$

Vi delte på $\sigma$ på begge sider. Sidan $\sigma$ er eit positivt tal, blir ikkje ulikskapsteiknet snudd.

Og no står $Z$ på venstre side:

$P\left(Z \le \frac{1{,}48 - 1{,}50}{0{,}01}\right) = P\left(Z \le \frac{-0{,}02}{0{,}01}\right) = P(Z \le -2)$

Det som skjedde: spørsmålet «kor sannsynleg er det at flaska inneheld høgst 1,48 liter?» vart til «kor sannsynleg er det at $Z$ er høgst $-2$ ?» — og det siste spørsmålet står det svar på i tabellen.

Skriv heile kjeda når du fører. Det er ho som viser at du veit kvifor du deler på $\sigma$ , ikkje berre at du gjer det.

Tabellen

Tabellen under gir $P(Z \le z)$ — arealet frå venstre og fram til $z$ . Nøyaktig som dei kumulative binomiske tabellane i kapittel 5.5 gir han alltid «mindre enn eller lik», og alt anna må skrivast om til det.

$z$	$P(Z \le z)$	$z$	$P(Z \le z)$
0,0	0,5000	1,6	0,9452
0,1	0,5398	1,7	0,9554
0,2	0,5793	1,8	0,9641
0,3	0,6179	1,9	0,9713
0,4	0,6554	2,0	0,9772
0,5	0,6915	2,1	0,9821
0,6	0,7257	2,2	0,9861
0,7	0,7580	2,3	0,9893
0,8	0,7881	2,4	0,9918
0,9	0,8159	2,5	0,9938
1,0	0,8413	2,6	0,9953
1,1	0,8643	2,7	0,9965
1,2	0,8849	2,8	0,9974
1,3	0,9032	2,9	0,9981
1,4	0,9192	3,0	0,9987
1,5	0,9332

Slik les du han: finn

z

-verdien i ein

z

-kolonne, og les av talet ved sida av.
Kontroll du alltid kan gjere:

P(Z \le 0) = 0{,}5000

. Halvparten av arealet ligg til venstre for midten. Får du eit tabelloppslag som bryt med dette, har du lese feil rad.
Negative $z$ -verdiar står ikkje i tabellen — men dei trengst ikkje, for symmetrien gir dei:

P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)

Arealet til venstre for

-z

er spegelbiletet av arealet til høgre for

z

. Med

z = 2

P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228

Dei tre omsetjingane du treng, er dei same som i kapittel 5.6:

Spørsmålet	Blir rekna som
$P(X \le b)$	$P(Z \le z_b)$ — rett oppslag
$P(X > a)$	$1 - P(Z \le z_a)$
$P(a \le X \le b)$	$P(Z \le z_b) - P(Z \le z_a)$

✏️Døme 1: Vassmengda i ei flaske

Ein maskin fyller vassflasker. Vassmengda $X$ i liter er normalfordelt med $\mu = 1{,}50$ liter og $\sigma = 0{,}01$ liter.

Finn sannsynet for at ei tilfeldig flaske inneheld høgst 1,48 liter.

Løysing:

Kva veit vi? $\mu = 1{,}50$ og $\sigma = 0{,}01$ .

Kva må vi finne? $P(X \le 1{,}48)$ — sannsynet for at vassmengda er mindre enn eller lik 1,48 liter.

Standardiser. Vi reknar ut kor mange standardavvik 1,48 ligg frå midten:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

$z = \frac{1{,}48 - 1{,}50}{0{,}01} = \frac{-0{,}02}{0{,}01} = -2$

Flaska med 1,48 liter ligg altså to standardavvik under middelverdien.

Skriv om sannsynet. Heile kjeda, med same operasjon på begge sider:

$P(X \le 1{,}48) = P(X - \mu \le 1{,}48 - \mu) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{1{,}48 - \mu}{\sigma}\right) = P(Z \le -2)$

Slå opp. Tabellen har ikkje negative $z$ , så vi brukar symmetrien:

$P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2)$

Vi finn $z = 2{,}0$ i tabellen og les av $P(Z \le 2{,}0) = 0{,}9772$ :

$P(Z \le -2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$

Standardnormalfordelinga, altså fordelinga til $Z$ med $\mu = 0$ og $\sigma = 1$ .

Det gule feltet er $P(Z \le -2) = 0{,}0228$ — svaret i døme 1.

Tabellen gir alltid arealet frå venstre og fram til $z$ , slik som her.

Svar: $P(X \le 1{,}48) \approx 0{,}0228$

Tolking: Omtrent 2,3 % av flaskene inneheld 1,48 liter eller mindre. Av 1000 flasker er det rundt 23 stykke.

Rimelegheitssjekk: 1,48 ligg $2\sigma$ under $\mu$ , og 68–95–99,7-regelen gav oss 0,025 for nettopp den grensa i kapittel 6.1. Tabellen gir 0,0228 — den same storleiken, berre meir nøyaktig. Regelen var ei avrunding av dette talet.

📝Oppgave 1

Gjer den same. Ein pakkemaskin fyller posar med mjøl. Vekta

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 250

g og

\sigma = 4

g. Bruk tabellen i kapittelet.

Finn $z$ -verdien til $x = 256$ , og forklar kva talet tyder.

Finn $P(X \le 256)$ .

Finn $P(X > 256)$ .

Finn $P(X \le 244)$ .

Kvifor er svara i c) og d) like? Svar utan å rekne.

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Bremselengd

Bremselengda $X$ i meter for ein bilmodell ved 80 km/h er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m.

Finn sannsynet for at bremselengda er lengre enn 86 meter.

Løysing:

Kva må vi finne? $P(X > 86)$ — sannsynet for at bremselengda er større enn 86 meter.

Standardiser:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{86 - 83}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Skriv om. Tabellen gir berre «mindre enn eller lik», så vi må bruke komplementet:

$P(X > 86) = P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1)$

Slå opp. I tabellen står $P(Z \le 1{,}0) = 0{,}8413$ :

$P(X > 86) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$

Standardnormalkurva over ein akse merkt z frå minus 3 til 3. Kurva er symmetrisk om 0 og har toppunkt i omtrent 0,40. Ein grå stipla loddrett strek går frå aksen opp til kurva i z er lik 1. Heile området under kurva til høgre for denne streken er fylt med gult. Over det gule feltet står teksten P av Z større enn 1 er lik 1 minus 0,8413 er lik 0,1587.

Høgrehalen.

Tabellen gir alltid arealet frå venstre, altså $P(Z \le 1) = 0{,}8413$ — det kvite området.

Det som blir spurt om, er resten: $1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .

Teiknar du skissa først, blir det umogleg å ta feil veg på ulikskapen.

Svar: $P(X > 86) \approx 0{,}1587$

Tolking: I omtrent 16 % av bremsingane — altså i rundt éi av seks — blir bremselengda lengre enn 86 meter. Det er verdt å merke seg for den som reknar på tryggleiksavstand: «gjennomsnittleg bremselengd 83 meter» tyder ikkje at 83 meter er nok.

NB: Her er det lett å gløyme eit ledd i rekninga. Har du rekna $z = 1$ og slått opp 0,8413, er du ikkje ferdig — 0,8413 er svaret på det motsette spørsmålet. Skriv alltid ned kva veg ulikskapen går før du opnar tabellen.

📝Oppgave 2

Gjer den same. Levetida

X

i timar for ein type batteri er normalfordelt med

\mu = 500

timar og

\sigma = 40

timar.

Finn sannsynet for at eit batteri varer lenger enn 560 timar.

Finn sannsynet for at eit batteri varer kortare enn 440 timar.

Finn $P(X > 520)$ .

Finn $P(X > 600)$ .

Ein kunde kjøper 200 batteri. Kor mange ventar han varer lenger enn 560 timar?

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Eit intervall — to oppslag

Fødselsvekta $X$ i gram for fullborne born kan modellerast som normalfordelt med $\mu = 3600$ g og $\sigma = 500$ g.

Finn sannsynet for at eit tilfeldig born veg mellom 3000 g og 4100 g ved fødselen.

Løysing:

Kva må vi finne? $P(3000 \le X \le 4100)$ .

Standardiser begge grensene. Kvar grense får sin eigen $z$ -verdi:

$z_1 = \frac{3000 - 3600}{500} = \frac{-600}{500} = -1{,}20$

$z_2 = \frac{4100 - 3600}{500} = \frac{500}{500} = 1{,}00$

Skriv om. Arealet mellom to grenser er differansen mellom to areal frå venstre:

$P(3000 \le X \le 4100) = P(-1{,}20 \le Z \le 1{,}00) = P(Z \le 1{,}00) - P(Z \le -1{,}20)$

Slå opp. Det første står rett i tabellen:

$P(Z \le 1{,}0) = 0{,}8413$

Det andre er negativt, så vi speglar:

$P(Z \le -1{,}20) = 1 - P(Z \le 1{,}20) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$

Trekk frå:

$P(3000 \le X \le 4100) = 0{,}8413 - 0{,}1151 = 0{,}7262$

Eit intervall krev to oppslag.

Arealet fram til $z = 1{,}00$ er 0,8413, og arealet fram til $z = -1{,}20$ er 0,1151.

Trekkjer vi det minste frå det største, står midtområdet att: $0{,}8413 - 0{,}1151 = 0{,}7262$ .

Svar: $P(3000 \le X \le 4100) \approx 0{,}726$

Tolking: Omtrent 73 % av fullborne born veg mellom 3,0 og 4,1 kilo. Utanfor ligg dei resterande 27 % — omtrent 12 % under 3,0 kg og omtrent 16 % over 4,1 kg.

NB: Rekkjefølgja er alltid øvre minus nedre. Snur du dei, får du eit negativt tal, og eit negativt sannsyn finst ikkje. Det er den beste kontrollen du har på dette reknestykket.

📝Oppgave 3

Gjer den same. Høgda

X

i centimeter til 16 år gamle jenter kan modellerast som normalfordelt med

\mu = 167

cm og

\sigma = 6

cm.

Finn $P(158 \le X \le 176)$ .

Finn $P(161 \le X \le 170)$ .

Finn $P(155 \le X \le 167)$ .

Finn sannsynet for at ei tilfeldig vald jente er høgare enn 176 cm.

I ein klasse med 30 jenter — kor mange ventar vi er lågare enn 155 cm?

Løs oppgaven

Den andre vegen: frå sannsyn til grense

Hittil har vi fått ei grense og funne eit sannsyn. Svært mange oppgåver går motsett veg:

«Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}90$ .»

Då leitar vi i tabellen etter innmaten i staden for kanten: vi finn den $z$ -verdien som gir 0,90, og reknar oss tilbake til $x$ .

Løyser vi $\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ for $x$ — gongar med $\sigma$ på begge sider og legg til $\mu$ — får vi tilbakevegen:

$x = \mu + z \cdot \sigma$

I ord: gå til midten, og flytt deg $z$ standardavvik derifrå.

Her er ein tabell med to desimalar for $z$ , slik han ser ut i formelsamlinga. Legg merke til at 0,90 ikkje står der presis:

$z$	$P(Z \le z)$
1,20	0,8849
1,21	0,8869
1,22	0,8888
1,23	0,8907
1,24	0,8925
1,25	0,8944
1,26	0,8962
1,27	0,8980
1,28	0,8997
1,29	0,9015

Sannsynet 0,9000 ligg mellom

z = 1{,}28

(som gir 0,8997) og

z = 1{,}29

(som gir 0,9015). Vi vel den næraste,

z = 1{,}28

— og har dermed rekna med ei lita avrunding, som alltid når vi brukar tabell.
Desse fem $z$ -verdiane er verdt å kjenne att. Dei kjem tilbake i kvart einaste kapittel om konfidensintervall og hypotesetesting:

$P(Z \le z)$	$z$
0,900	1,282
0,950	1,645
0,975	1,960
0,990	2,326
0,995	2,576

(Verdien 1,960 er grunnen til at «to standardavvik» og «95 %» heng så tett saman: det eksakte talet er 1,96, ikkje 2. Avrundinga til 2 er nettopp det som gjer 68–95–99,7-regelen til ein tommelfingerregel.)

✏️Døme 4: Å finne grensa

Bremselengda $X$ i meter er normalfordelt med $\mu = 83$ m og $\sigma = 3$ m, som i døme 2.

Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}90$ , og gi ei praktisk tolking av svaret.

Løysing:

Kva veit vi? $\mu = 83$ , $\sigma = 3$ , og at arealet frå venstre skal vere 0,90.

Kva må vi finne? Grensa $k$ .

Finn $z$ i tabellen. Vi leitar etter talet 0,9000 blant tabellverdiane, og finn at

$P(Z \le 1{,}28) = 0{,}8997 \qquad \text{og} \qquad P(Z \le 1{,}29) = 0{,}9015$

Vi vel den næraste: $z = 1{,}28$ .

Rekn tilbake til $x$ . Vi brukar $x = \mu + z \cdot \sigma$ :

$k = \mu + z \cdot \sigma$

$k = 83 + 1{,}28 \cdot 3$

$k = 83 + 3{,}84 = 86{,}84$

Kontroll: vi standardiserer svaret og ser om vi kjem tilbake:

$z = \frac{86{,}84 - 83}{3} = \frac{3{,}84}{3} = 1{,}28 \quad \checkmark$

Svar: $k \approx 86{,}8$ meter

Tolking: 90 % av bremsingane er kortare enn 86,8 meter — og 10 % er lengre. Skal ei vegstrekning dimensjonerast slik at ni av ti bremsingar går bra, er 86,8 meter talet å bruke. Er ni av ti ikkje godt nok, må vi opp i eit høgare krav, til dømes 99 %. Med $z = 2{,}33$ gir det

$83 + 2{,}33 \cdot 3 \approx 90{,}0 \text{ meter}$

NB: Legg merke til at $z$ her er positiv, fordi vi leitar etter ei grense over middelverdien. Er sannsynet mindre enn 0,5, ligg grensa under $\mu$ , og $z$ blir negativ. Sjekk alltid forteiknet mot ei skisse før du reknar vidare.

📝Oppgave 4

Gjer den same. Vekta

X

i kilogram til ei gruppe vaksne er normalfordelt med

\mu = 62

kg og

\sigma = 8

kg. Bruk tabellen med mykje brukte

z

-verdiar.

Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}95$ .

Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}99$ .

Bestem $k$ slik at $P(X \le k) = 0{,}10$ .

Bestem $k$ slik at $P(X > k) = 0{,}05$ .

Finn intervallet som inneheld dei midtarste 95 % av vektene.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Omsetjing. Lat

X

vere normalfordelt med

\mu = 40

\sigma = 5

. Skriv kvart sannsyn om til eit uttrykk med

Z

, og deretter til eit uttrykk som kan slåast opp rett i tabellen. Du skal ikkje rekne ut talsvara.

P(X \le 47{,}5)

P(X > 45)

P(X \le 32{,}5)

P(35 \le X \le 50)

P(X > 30)

Oppsummering

- Å standardisere er å måle avstanden frå $\mu$ i talet på standardavvik: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ . Resultatet er eit reint tal utan nemning.
- Den standardiserte variabelen $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ er normalfordelt med $\mu = 0$ og $\sigma = 1$ . Alle normalfordelingar blir til denne eine.
- Kjeda er den same operasjonen på begge sider: trekk frå $\mu$ , del på $\sigma$ , og $Z$ står att. Skriv ho ut når du fører.
- Tabellen gir $P(Z \le z)$ — arealet frå venstre. Alt anna blir skrive om: $P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)$ og $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$ .
- Negative $z$ finst ikkje i tabellen, men blir spegla: $P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$ .
- Den andre vegen — frå sannsyn til grense — brukar $x = \mu + z \cdot \sigma$ . Finn $z$ i tabellen først, og sjekk forteiknet mot ei skisse.
- Verdt å kunne: $P(Z \le 1{,}28) \approx 0{,}90$ , $P(Z \le 1{,}645) \approx 0{,}95$ , $P(Z \le 1{,}96) \approx 0{,}975$ og $P(Z \le 2{,}33) \approx 0{,}99$ .
- Teikn alltid ei skisse av klokka med det aktuelle området skravert, før du slår opp. Nesten alle feil i dette kapittelet er feil veg på ulikskapen, og dei blir synlege i ei skisse.

I kapittel 6.3 gjer vi det same med digitale verktøy — og då forsvinn både standardiseringa og tabellen. Men dei er verdt å kunne likevel: på Del 1 har du ingen verktøy, og $z$ -verdien er dessutan eit sjølvstendig nyttig tal, som vi skal sjå i oppgåve 7.

📝Oppgave 6

Samleoppgåve. Ein maskin fyller kaffiposar. Vekta

X

i gram er normalfordelt med

\mu = 252

g og

\sigma = 2

g. Posane blir merkte «250 g».

Finn sannsynet for at ein tilfeldig pose veg mindre enn det som står på merkinga.

Finn $P(250 \le X \le 254)$ .

Bestem grensa $k$ slik at berre 1 % av posane veg mindre enn $k$ .

Bedrifta vil at høgst 1 % av posane skal vege under 250 g. Kva $\mu$ må maskinen stillast inn på, dersom $\sigma$ er uendra?

Eit alternativ er å kjøpe ein meir nøyaktig maskin med same $\mu = 252$ g. Kor liten må $\sigma$ då vere for at høgst 1 % skal vege under 250 g? Kva for ei av dei to løysingane ville du valt?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting — $z$ som samanlikningsmål. Nora fekk 78 poeng på ei prøve der resultata var normalfordelte med

\mu = 65

\sigma = 10

. Jonas fekk 44 poeng på ei anna prøve, der resultata var normalfordelte med

\mu = 32

\sigma = 6

Finn $z$ -verdien til kvar av dei.

Kven gjorde det best i høve til dei andre som tok same prøva?

Kor stor del av elevane gjorde det dårlegare enn kvar av dei?

«Poengsummen seier kor flink du er, $z$ -verdien seier kor flink du er i høve til dei andre.» Drøft påstanden.

Kan $z$ -verdiar brukast til å samanlikne to heilt ulike ting, til dømes høgd og eksamensresultat?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.