6.1 Normalfordelinga

Kva veit vi? $\mu = 180$ og $\sigma = 6$. Kva må vi finne? Fire sannsyn, alle saman areal under den same klokkekurva.

Før vi reknar, omset vi grensene til talet på standardavvik frå midten. Det er nøkkelgrepet i heile kapittelet:

$$\mu - \sigma = 180 - 6 = 174 \qquad \mu + \sigma = 180 + 6 = 186$$

$$\mu - 2\sigma = 180 - 12 = 168 \qquad \mu + 2\sigma = 180 + 12 = 192$$

$$\mu - 3\sigma = 180 - 18 = 162 \qquad \mu + 3\sigma = 180 + 18 = 198$$

a) Talet 180 er $\mu$ sjølv, og kurva er symmetrisk om $\mu$:

$$P(X \le 180) = P(X \le \mu) = 0{,}5$$

Halvparten av mennene er lågare enn 180 cm. (Det blir ikkje ført meir enn dette — symmetrien er heile grunngivinga.)

b) Vi kjenner att 174 og 186 frå lista over: det er $\mu - \sigma$ og $\mu + \sigma$. Då er det første linje i 68–95–99,7-regelen:

$$P(174 \le X \le 186) = P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0{,}68$$

c) Talet 192 er $\mu + 2\sigma$. Regelen seier at 95 % ligg mellom $\mu - 2\sigma$ og $\mu + 2\sigma$. Då ligg

$$1 - 0{,}95 = 0{,}05$$

utanfor — men det er fordelt på to halar, éin på kvar side. Symmetrien seier at halane er like store, så vi deler på 2:

$$P(X > 192) = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025$$

d) Talet 198 er $\mu + 3\sigma$. Same resonnement, med 99,7 %:

$$P(X > 198) = \frac{1 - 0{,}997}{2} = \frac{0{,}003}{2} = 0{,}0015$$

Forventa tal av 500 menn er sannsynet gonger talet:

$$500 \cdot 0{,}0015 = 0{,}75$$

Svar: a) $0{,}5$. b) $\approx 0{,}68$. c) $\approx 0{,}025$. d) $0{,}75$ — altså mindre enn éin person.

Tolking: I d) fann vi ikkje «null menn». Vi fann at dersom du samlar 500 menn mange gonger, vil du i gjennomsnitt finne tre firedels person over 198 cm i kvar forsamling. I praksis: som regel ingen, av og til éin.

NB: Legg merke til at vi aldri brukte tettleiksformelen. Vi omsette grensene til talet på $\sigma$ frå $\mu$, og las av regelen. Det er slik heile kapittel 6.1 fungerer.

Kva veit vi? $\mu = 1200$ og $\sigma = 100$.

a) 68 %-intervallet er $\mu \pm \sigma$:

$$\mu - \sigma = 1200 - 100 = 1100$$

$$\mu + \sigma = 1200 + 100 = 1300$$

Intervallet er $[1100,\ 1300]$.

b) 95 %-intervallet er $\mu \pm 2\sigma$:

$$\mu - 2\sigma = 1200 - 2 \cdot 100 = 1000$$

$$\mu + 2\sigma = 1200 + 2 \cdot 100 = 1400$$

Intervallet er $[1000,\ 1400]$.

c) Frå b) veit vi at 1400 er $\mu + 2\sigma$. Utanfor 95 %-intervallet ligg 5 %, fordelt på to halar:

$$P(X > 1400) = \frac{1 - 0{,}95}{2} = 0{,}025$$

d) Her er dei to grensene ikkje like langt frå midten: 1100 er $\mu - \sigma$, medan 1400 er $\mu + 2\sigma$. Då kan vi ikkje bruke éi linje i regelen — vi må setje saman to halvdelar:

$$P(1100 < X < 1400) = \underbrace{P(1100 < X < 1200)}_{\text{halve 68 \%-intervallet}} + \underbrace{P(1200 < X < 1400)}_{\text{halve 95 \%-intervallet}}$$

$$P(1100 < X < 1400) = \frac{0{,}68}{2} + \frac{0{,}95}{2} = 0{,}34 + 0{,}475 = 0{,}815$$

Svar: a) $[1100,\ 1300]$ timar. b) $[1000,\ 1400]$ timar. c) $\approx 0{,}025$. d) $\approx 0{,}815$.

NB: Del intervallet i to bitar ved $\mu$ — éin bit frå kvart intervall i regelen — og legg saman. Teikn gjerne kurva og skraver dei to bitane før du summerer.

a) Her er oppgåva snudd: sannsynet er gitt, og parametrane er ukjende. Nøkkelen er å kjenne att kva grenser 4,2 og 5,8 er.

95 % høyrer til $\mu \pm 2\sigma$. Altså er

$$\mu - 2\sigma = 4{,}2 \qquad \text{og} \qquad \mu + 2\sigma = 5{,}8$$

Kva veit vi no? At $\mu$ ligg midt mellom dei to grensene, sidan kurva er symmetrisk:

$$\mu = \frac{4{,}2 + 5{,}8}{2} = \frac{10{,}0}{2} = 5{,}0$$

Og at avstanden frå 4,2 til 5,8 er heile $4\sigma$ — to standardavvik ned og to opp:

$$4\sigma = 5{,}8 - 4{,}2 = 1{,}6$$

Vi deler på 4 på begge sider:

$$\frac{4\sigma}{4} = \frac{1{,}6}{4}$$

$$\sigma = 0{,}4$$

(Kontroll: $\mu - 2\sigma = 5{,}0 - 0{,}8 = 4{,}2$ og $\mu + 2\sigma = 5{,}0 + 0{,}8 = 5{,}8$. Stemmer.)

b) Med $\mu = 5{,}0$ og $\sigma = 0{,}4$ ser vi at

$$4{,}6 = 5{,}0 - 0{,}4 = \mu - \sigma$$

Under $\mu - \sigma$ ligg halve resten av 68 %-intervallet:

$$P(X < 4{,}6) = \frac{1 - 0{,}68}{2} = \frac{0{,}32}{2} = 0{,}16$$

Svar: a) $\mu = 5{,}0$ kg og $\sigma = 0{,}4$ kg. b) $\approx 0{,}16$.

Tolking: Omtrent ein sjettedel av sekkene veg under 4,6 kg. Skulle sekkene merkjast «5 kg», er det verdt å merke seg at halvparten uansett veg mindre enn 5,0 kg — merkinga bør i så fall liggje lågare enn $\mu$.

Hugseregelen: breidda på eit symmetrisk intervall er alltid eit heilt tal på $\sigma$ — $2\sigma$ for 68 %, $4\sigma$ for 95 % og $6\sigma$ for 99,7 %. Del breidda på det talet, så har du $\sigma$.

Grepet: rekn ut kor mange standardavvik det er frå $\mu = 500$ ut til grensene 480 og 520. Det er 20 gram kvar veg.

a) Maskin A, der $\sigma = 10$:

$$\frac{20}{10} = 2 \quad \Longrightarrow \quad 480 = \mu - 2\sigma \ \text{ og } \ 520 = \mu + 2\sigma$$

$$P(480 \le X \le 520) \approx 0{,}95$$

Maskin B, der $\sigma = 20$:

$$\frac{20}{20} = 1 \quad \Longrightarrow \quad 480 = \mu - \sigma \ \text{ og } \ 520 = \mu + \sigma$$

$$P(480 \le X \le 520) \approx 0{,}68$$

Same forventingsverdi, ulik $\sigma$. Den smale kurva må vere høgare, for arealet under begge er 1. Toleransegrensene 480 og 520 gram ligg $2\sigma$ frå midten for maskin A, men berre $1\sigma$ for maskin B — og det er heile skilnaden i kassasjon.

b) Delen som blir kassert er det som ligg utanfor:

$$\text{Maskin A:} \quad 1 - 0{,}95 = 0{,}05 \quad \Longrightarrow \quad 10\,000 \cdot 0{,}05 = 500 \text{ pakkar}$$

$$\text{Maskin B:} \quad 1 - 0{,}68 = 0{,}32 \quad \Longrightarrow \quad 10\,000 \cdot 0{,}32 = 3200 \text{ pakkar}$$

c) Skilnaden er

$$3200 - 500 = 2700 \text{ pakkar i døgnet}$$

Svar: a) A: $\approx 95$ %, B: $\approx 68$ %. b) A: 500 pakkar, B: 3200 pakkar. c) 2700 færre kasserte pakkar per døgn med maskin A.

Tolking: Begge maskinane «treffer rett» — gjennomsnittsvekta er 500 gram for begge. Likevel kastar den eine bort seks gonger så mykje som den andre. Det er ikkje $\mu$ som avgjer kvaliteten, det er $\sigma$.

Dette er kjernen i industriell kvalitetskontroll: å presse $\sigma$ nedover, slik at toleransegrensene hamnar stadig fleire standardavvik frå midten.