5.7 Gjennomsnitt og forventingsverdi, utvalsstandardavvik og standardavvik

Samanhengen mellom det vi reknar frå data og det modellen seier — og kvifor vi deler på n − 1.

45 min

7 oppgaver

UtvalsstandardavvikEstimering

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Gjennomsnitt og forventingsverdi, utvalsstandardavvik og standardavvik

Gjennom heile kapittel 5 har vi rekna på modellar: ei fordeling er gitt, og vi finn $\mu$ og $\sigma$ ut av henne. I kapittel 1 gjorde vi noko som ser nesten likt ut, men som er noko heilt anna: vi rekna gjennomsnitt og standardavvik ut av målte data.

Desse to verdene må haldast frå kvarandre — og samtidig forståast som to sider av same sak. Her er heile oppstillinga:

frå DATA (eit utval)	frå MODELLEN (fordelinga)
midtpunkt	gjennomsnitt $\bar{x}$	forventingsverdi $\mu$
spreiing	utvalsstandardavvik $s$	standardavvik $\sigma$
kvar kjem talet frå?	vi har målt det	vi har gått ut frå eller utleidd det
endrar det seg?	ja — nytt utval gir ny $\bar{x}$	nei — $\mu$ er ein fast eigenskap ved modellen

\bar{x}

s

er altså tilfeldige — dei hoppar litt kvar gong vi trekkjer eit nytt utval.

\mu

\sigma

står stille.
Samanhengen mellom dei er heile poenget med statistikk: vi brukar det vi har målt til å seie noko om det vi ikkje kan måle.

Dei fire formlane

n

Kvifor deler vi på $n - 1$ ?

Dette er eitt av dei spørsmåla som verkar som ein tilfeldig regel, men som har ein heilt konkret grunn.

Når vi skal måle kor spreidde dataa er, må vi måle avvika frå ein stad. I modellen måler vi frå $\mu$ — eit tal som ikkje kjem frå dataa. Men når vi berre har eit utval, kjenner vi ikkje $\mu$ . Vi må bruke $\bar{x}$ i staden — og $\bar{x}$ er rekna ut av dei same dataa.

Då skjer det noko: $\bar{x}$ ligg alltid så gunstig plassert som det i det heile er mogleg i høve til akkurat desse tala. Summen $\sum (x_i - \bar{x})^2$ blir den minste han kan bli for kva tal som helst vi kunne målt frå. Hadde vi målt frå den sanne $\mu$ i staden, ville summen blitt større.

Deler vi på $n$ , får vi difor systematisk eit for lite tal. Å dele på $n - 1$ i staden er akkurat den oppjusteringa som rettar opp skeivskapen — og det ho rettar opp eksakt, er skeivskapen i variansen: $E(s^2) = \sigma^2$ .

Viktig presisering: Legg merke til at det er $s^2$ , ikkje $s$ , som blir treffsikker på denne måten. Kvadratrota er ikkje ei rett linje, så $s$ ligg framleis litt under $\sigma$ i gjennomsnitt (ved $n = 5$ og normalfordelte data omtrent 6 % under, ved $n = 30$ under 1 %). Den vesle skeivskapen korrigerer vi ikkje — $n - 1$ er korreksjonen vi gjer, og han gjeld variansen.

Eit anna bilete på det same: avvika frå gjennomsnittet summerer alltid til null:

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = 0$

Kjenner du difor $n - 1$ av avvika, er det siste bestemt — du kan rekne det ut. Berre $n - 1$ av avvika ber ny informasjon. Vi seier at vi har $n - 1$ fridomsgradar, og det er dei vi deler på.

NB: Skilnaden tyder mest når $n$ er liten. Ved $n = 5$ er det skilnad på å dele på 4 og på 5: $s$ blir $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{4}} \approx 1{,}118$ gonger $n$ -versjonen, altså omtrent 12 % større. Ved $n = 1000$ er faktoren $\displaystyle \sqrt{\frac{1000}{999}} \approx 1{,}0005$ — utan praktisk betydning.

✏️Døme 1: Fem målingar

Fem elevar brukte desse tidene (i minutt) på ei oppgåve:

$4, \quad 7, \quad 8, \quad 10, \quad 11$

a) Finn gjennomsnittet $\bar{x}$ .
b) Finn utvalsstandardavviket $s$ .
c) Finn populasjonsstandardavviket (der vi deler på $n$ ), og samanlikn.

Løysing:

a) Vi skriv formelen tom først, og set så inn:

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{4 + 7 + 8 + 10 + 11}{5} = \frac{40}{5} = 8$

b) Vi reknar avvika og kvadrata i ein tabell:

$x_i$	4	7	8	10	11	Sum
$x_i - \bar{x}$	$-4$	$-1$	0	2	3	0
$(x_i - \bar{x})^2$	16	1	0	4	9	30

(Legg merke til Sum-cella i rad 2: avvika summerer til 0, slik dei alltid gjer. Det er ein gratis kontroll på at $\bar{x}$ er rett rekna.)

Eit koordinatsystem der den vassrette aksen er merkt måling nr. og viser 1 til 5, og den loddrette er merkt verdi og viser 2, 4, 6, 8, 10 og 12. Fem blå punkt ligg over kvart sitt målingsnummer, i høgdene 4, 7, 8, 10 og 11. Ein grå stipla vassrett strek ligg i 8 tvers over figuren og er merkt gjennomsnittet 8. Frå streken går ei raud pil ned til punktet i måling 1, merkt minus 4, og ei ned til måling 2, merkt minus 1. Måling 3 ligg på streken og er merkt 0. To raude piler går opp frå streken til måling 4, merkt pluss 2, og til måling 5, merkt pluss 3. Øvst står reknestykket minus 4 minus 1 pluss 0 pluss 2 pluss 3 er lik 0.

Dei fem avvika frå gjennomsnittet summerer alltid til null.

Kjenner du fire av dei, er det femte bestemt — det er berre $n - 1$ frie avvik i eit utval på $n$ .

Difor deler vi på $n - 1$ og ikkje på $n$ .

Så set vi inn i formelen. Her er $n = 5$ , så vi deler på $n - 1 = 4$ :

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2} = \sqrt{\frac{30}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{30}{4}} = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}74$

c) Deler vi i staden på $n = 5$ :

$\sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6} \approx 2{,}45$

Skilnaden er $2{,}74 - 2{,}45 = 0{,}29$ minutt.

Forholdet mellom dei er $\displaystyle \sqrt{\frac{5}{4}} \approx 1{,}118$ , så utvalsstandardavviket $s$ er omtrent 12 % større enn $n$ -versjonen.

Med berre fem målingar er det ein merkbar skilnad.

Svar: a) $\bar{x} = 8$ minutt. b) $s = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}74$ minutt. c) $\sqrt{6} \approx 2{,}45$ minutt — $s$ er omtrent 12 % større enn dette.

Kva for eit skal brukast? Er dei fem elevane eit utval, og vi vil seie noko om alle elevar, brukar vi $s \approx 2{,}74$ .

Er dei fem elevane heile gruppa vi er interesserte i, og vi berre skildrar dei, brukar vi $\approx 2{,}45$ . I praksis er den første situasjonen den vanlegaste, og det er difor $s$ med $n - 1$ er standardvalet.

📝Oppgave 1

Åtte pasientar venta så mange minutt på legevakta:

$12, \quad 15, \quad 11, \quad 18, \quad 14, \quad 13, \quad 17, \quad 12$

Gjer den same utrekninga som i døme 1. Rund av til to desimalar.

Finn $\bar{x}$ .

Set opp tabellen med avvik og kvadrerte avvik, og kontroller at avvika summerer til 0.

Finn summen av dei kvadrerte avvika.

Finn utvalsstandardavviket $s$ .

Finn populasjonsstandardavviket (del på $n$ ), og oppgi kor mange prosent STØRRE $s$ er enn dette.

Løs oppgaven

Lova om store tal

Vi har no to storleikar som svarer til kvarandre: $\bar{x}$ frå data, $\mu$ frå modellen. Korleis heng dei saman?

Tenk deg at du kastar ein terning $n$ gonger og reknar gjennomsnittet av auga. Med $n = 5$ kan gjennomsnittet lett bli 2,4 eller 4,8. Med $n = 100$ ligg det som regel mellom 3,2 og 3,8. Med $n = 10\,000$ ligg det nesten alltid mellom 3,47 og 3,53.

Dette er lova om store tal: gjennomsnittet av mange uavhengige målingar nærmar seg forventingsverdien.

$\bar{x} \longrightarrow \mu \quad \text{når } n \text{ veks}$

Det er dette som gjer statistikk mogleg i det heile. Vi kan ikkje måle $\mu$ direkte — men vi kan måle $\bar{x}$ , og vi veit at han nærmar seg $\mu$ .

Men kor raskt nærmar han seg? Det svaret er kanskje det mest nyttige resultatet i heile kapittelet.

📜Forventing og standardavvik til gjennomsnittet

Lat

X_1, X_2, \ldots, X_n

vere uavhengige målingar frå same fordeling, med forventingsverdi

\mu

og standardavvik

\sigma

. Lat

$\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}$

Då gjeld

$E(\bar{X}) = \mu$

$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \qquad \text{og} \qquad SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Den vanlegaste feilen i denne utleiinga

Det er lett å skrive

$E(\bar{X}) = \frac{1}{n} \cdot \mu = \frac{\mu}{n} \qquad \textbf{(GALT)}$

Feilen er at $E(S)$ blir sett lik $\mu$ i staden for $n\mu$ . Summen av $n$ målingar har jo $n$ gonger så stor forventingsverdi som éi måling — kastar du terningen 10 gonger, ventar du ein sum på omkring 35, ikkje 3,5.

Rimelegheitssjekken avslører han på eitt sekund: kast ein terning 100 gonger og rekn gjennomsnittet. Blir det omtrent 3,5, eller omtrent $\displaystyle \frac{3{,}5}{100} = 0{,}035$ ? Eit gjennomsnitt av terningkast kan umogleg vere 0,035 — det minste moglege gjennomsnittet er 1.

Hugs difor:

- Midtpunktet flyttar seg ikkje. $E(\bar{X}) = \mu$ , same kor mange målingar vi tek.
- Spreiinga krympar. $\displaystyle SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , og ho går mot 0 når $n$ veks.

Det er nettopp difor gjennomsnittet nærmar seg $\mu$ : det siktar rett heile vegen, og blir berre meir og meir treffsikkert.

✏️Døme 2: Kor mykje krympar spreiinga?

Innhaldet i ein type saftflaske har forventingsverdi $\mu = 500$ ml og standardavvik $\sigma = 12$ ml.

a) Finn $E(\bar{X})$ og $SD(\bar{X})$ når vi måler 36 flasker.
b) Finn dei same storleikane for 144 flasker.
c) Kor mange flasker må vi måle for at $SD(\bar{X})$ skal bli 1 ml?

Løysing:

a) Forventingsverdien flyttar seg ikkje:

$E(\bar{X}) = \mu = 500 \text{ ml}$

Standardavviket krympar med $\sqrt{n}$ :

$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12}{\sqrt{36}} = \frac{12}{6} = 2 \text{ ml}$

b) Med $n = 144$ :

$E(\bar{X}) = \mu = 500 \text{ ml}$

$SD(\bar{X}) = \frac{12}{\sqrt{144}} = \frac{12}{12} = 1 \text{ ml}$

Vi firedobla talet på flasker, og halverte spreiinga. Det er det $\sqrt{n}$ gjer.

c) Vi set opp likninga med $n$ som ukjend:

$\frac{12}{\sqrt{n}} = 1$

Gongar med $\sqrt{n}$ på begge sider:

$12 = \sqrt{n}$

og kvadrerer begge sider:

$12^2 = n$

$n = 144$

Som vi allereie såg i b).

Standardavviket til GJENNOMSNITTET, $\displaystyle SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , teikna for $\sigma = 12$ .

Kurva fell bratt i starten og flatar ut.

Å firedoble $n$ frå 36 til 144 halverer uvissa frå 2 til 1, medan dei neste 100 målingane knapt hjelper.

Svar: a) $E(\bar{X}) = 500$ ml og $SD(\bar{X}) = 2$ ml. b) $500$ ml og $1$ ml. c) 144 flasker.

NB — den viktigaste praktiske konsekvensen: For å halvere uvissa må du firedoble talet på målingar. Vil du ha eit ti gonger så nøyaktig svar, må du måle hundre gonger så mykje. Det er difor store undersøkingar er så dyre — og difor det sjeldan løner seg å auke utvalet frå 1000 til 1100.

📝Oppgave 2

Ein maskin fyller sekker med sand. Vekta har $\mu = 25{,}0$ kg og $\sigma = 0{,}8$ kg. Vi veg $n$ tilfeldige sekker og reknar gjennomsnittsvekta $\bar{X}$ . Rund av til tre desimalar der det trengst.

Finn $E(\bar{X})$ når $n = 50$ .

Finn $SD(\bar{X})$ når $n = 50$ .

Finn $SD(\bar{X})$ når $n = 200$ .

Kor mange sekker må vegast for at $SD(\bar{X})$ skal bli høgst 0,05 kg?

Forklar med éi setning kvifor $E(\bar{X})$ er den same i a) same kor mange sekker vi veg.

Løs oppgaven

$\bar{x}$ og $s$ som estimat

Vi er no klare til å seie kva det heile er godt for.

I røynda kjenner vi sjeldan $\mu$ og $\sigma$ . Vi har berre eit utval. Då brukar vi dei målte tala som estimat — beste gjetting — for dei ukjende:

$\bar{x} \ \text{ er eit estimat for } \ \mu \qquad \qquad s \ \text{ er eit estimat for } \ \sigma$

At $E(\bar{X}) = \mu$ er nettopp det som gjer $\bar{x}$ til eit forventingsrett estimat: det bommar ikkje systematisk i nokon retning. Nokre utval gir litt for høgt, nokre litt for lågt, men i gjennomsnitt treffer det.

Og det er den same eigenskapen vi kjøpte oss då vi delte på $n - 1$ i staden for $n$ — men der gjeld han variansen: korreksjonen gjer at $E(s^2) = \sigma^2$ , altså at $s^2$ er eit forventingsrett estimat for $\sigma^2$ . Utan han ville $s^2$ systematisk undervurdert $\sigma^2$ . Standardavviket $s$ er derimot ikkje heilt forventingsrett for $\sigma$ — det ligg i gjennomsnitt litt under — men med $n - 1$ treffer det mykje betre, og $s$ er talet vi brukar i praksis.

I rekneark må du difor velje rett funksjon:

Funksjon	Deler på	Bruk når
`=STDAV.S(...)`	$n - 1$	dataa er eit utval (nesten alltid)
`=STDAV.P(...)`	$n$	dataa er heile populasjonen

=GJENNOMSNITT(...) gir

\bar{x}

, og der finst inga slik felle.

✏️Døme 3: Ti flasker frå produksjonen

Ein kvalitetskontrollør måler innhaldet i ti tilfeldige flasker (i ml):

$498, \ 502, \ 495, \ 507, \ 500, \ 503, \ 496, \ 504, \ 499, \ 501$

a) Finn $\bar{x}$ og $s$ .
b) Kva er estimatet for $\mu$ og $\sigma$ i produksjonen?
c) Finn $SD(\bar{X})$ for eit utval på ti flasker, og forklar kva talet tyder.

Løysing:

a) Gjennomsnittet:

$\bar{x} = \frac{498 + 502 + 495 + 507 + 500 + 503 + 496 + 504 + 499 + 501}{10} = \frac{5005}{10} = 500{,}5$

Avvika frå 500,5 blir

$-2{,}5; \ 1{,}5; \ -5{,}5; \ 6{,}5; \ -0{,}5; \ 2{,}5; \ -4{,}5; \ 3{,}5; \ -1{,}5; \ 0{,}5$

(Kontroll: summen av avvika er 0.)

Dei kvadrerte avvika summerer til

$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 6{,}25 + 2{,}25 + 30{,}25 + 42{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 + 20{,}25 + 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 = 122{,}5$

og då er

$s = \sqrt{\frac{122{,}5}{10 - 1}} = \sqrt{\frac{122{,}5}{9}} \approx \sqrt{13{,}61} \approx 3{,}69$

rekneark:   =GJENNOMSNITT(A1:A10)   gir 500,5
            =STDAV.S(A1:A10)        gir 3,689

b) Dei ti flaskene er eit utval frå produksjonen. Vi brukar dei som estimat:

$\mu \approx \bar{x} = 500{,}5 \text{ ml} \qquad \sigma \approx s \approx 3{,}69 \text{ ml}$

c) Med $\sigma \approx 3{,}69$ og $n = 10$ :

$SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{3{,}69}{\sqrt{10}} \approx \frac{3{,}69}{3{,}162} \approx 1{,}17 \text{ ml}$

Dette talet seier kor mykje gjennomsnittet svingar frå utval til utval. Hadde kontrolløren målt ti nye flasker, ville ho fått eit litt anna gjennomsnitt — typisk om lag 1,2 ml unna dette.

Legg merke til skilnaden på dei to spreiingstala: einskildflasker varierer med omtrent 3,7 ml, medan gjennomsnittet av ti varierer med berre 1,2 ml.

Svar: a) $\bar{x} = 500{,}5$ ml og $s \approx 3{,}69$ ml. b) $\mu \approx 500{,}5$ ml, $\sigma \approx 3{,}69$ ml. c) $\approx 1{,}17$ ml — kor mykje gjennomsnittet av ti flasker svingar.

📝Oppgave 3

Fem målingar av innhaldet i ein pakke gav verdiane

$6, \quad 9, \quad 7, \quad 10, \quad 8$

Rund av til to desimalar.

Finn $\bar{x}$ .

Finn summen av dei kvadrerte avvika.

Finn $s$ .

Kva reknearkfunksjonar gir $\bar{x}$ og $s$ ?

Finn $SD(\bar{X})$ når vi brukar $s$ som estimat for $\sigma$ .

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Tre utval frå same maskin

Ein maskin lagar boltar. Vi veit frå produsenten at diameteren har $\mu = 20{,}0$ mm og $\sigma = 0{,}4$ mm. Tre kontrollørar måler kvar sine fem boltar (i mm):

Utval A	19,8	20,3	20,1	19,6	20,4
Utval B	20,2	19,9	20,5	20,0	19,7
Utval C	19,5	20,1	20,2	20,4	19,9

a) Finn

\bar{x}

s

for kvart utval.
b) Kva for nokre av tala i oppgåva er faste, og kva for nokre er tilfeldige?
c) Passar spreiinga mellom dei tre gjennomsnitta med teorien?

Løysing:

a) Vi reknar utval A i heilskap, og fører dei to andre på same måte.

$\bar{x}_A = \frac{19{,}8 + 20{,}3 + 20{,}1 + 19{,}6 + 20{,}4}{5} = \frac{100{,}2}{5} = 20{,}04$

Avvika frå 20,04 er $-0{,}24$ ; $0{,}26$ ; $0{,}06$ ; $-0{,}44$ ; $0{,}36$ — og dei summerer til 0, som dei skal. Dei kvadrerte avvika summerer til

$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 0{,}0576 + 0{,}0676 + 0{,}0036 + 0{,}1936 + 0{,}1296 = 0{,}452$

$s_A = \sqrt{\frac{0{,}452}{5 - 1}} = \sqrt{0{,}113} \approx 0{,}34$

Dei tre utvala gir:

$\bar{x}$	$s$
Utval A	20,04	0,34
Utval B	20,06	0,30
Utval C	20,02	0,34

\mu = 20{,}0

mm og

\sigma = 0{,}4

mm er faste. Dei er eigenskapar ved maskinen, og dei er dei same same kven som måler.
Dei seks tala i tabellen er tilfeldige. Ingen av dei tre kontrollørane fekk nøyaktig 20,0, og ingen fekk nøyaktig 0,4 — men alle trefte i nærleiken. Det er slik det skal vere:

\bar{x}

er eit estimat for

\mu

, ikkje

\mu

sjølv.
c) Teorien seier at gjennomsnitta skal svinge med

SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}4}{\sqrt{5}} \approx \frac{0{,}4}{2{,}236} \approx 0{,}18 \text{ mm}

Dei tre målte gjennomsnitta ligg $0{,}04$ ; $0{,}06$ og $0{,}02$ mm frå $\mu = 20{,}0$ — altså godt innanfor 0,18 mm. Det passar fint. (Med berre tre utval kan vi ikkje seie meir enn det; ingen av dei ligg urimeleg langt unna.)

Svar: a) Sjå tabellen. b) $\mu$ og $\sigma$ er faste, $\bar{x}$ og $s$ er tilfeldige. c) Ja — alle tre ligg innanfor eitt standardavvik $SD(\bar{X}) \approx 0{,}18$ mm frå $\mu$ .

NB: Legg merke til dei to spreiingstala igjen. Einskildboltane varierer med omtrent 0,34 mm ( $s$ ), medan gjennomsnittet av fem varierer med berre 0,18 mm ( $SD(\bar{X})$ ). Det er den same skilnaden som i døme 3 — og han er heile grunnen til at vi måler fleire gonger.

📝Oppgave 4

Avgjer for kvar utsegn om storleiken høyrer til DATA (eit utval) eller til MODELLEN, og kva symbol som er rett.

«Vi målte 40 elevar og fann ei snitthøgd på 172 cm.»

«Det forventa talet på auge for terningen er 3,5.»

«Spreiinga i utvalet var 6,2 cm, rekna med STDAV.S i reknearket.»

«Maskinen er spesifisert med eit standardavvik på 0,4 mm.»

«Måler vi 40 nye elevar, får vi neppe nøyaktig 172 cm igjen.» Kva for ein av dei fire storleikane i a)–d) har denne eigenskapen, og kva for nokre har han ikkje?

📝Oppgave 5

Ein terning har $\mu = 3{,}5$ og $\displaystyle \sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}708$ (frå kapittel 5.3). Vi kastar han $n$ gonger og reknar gjennomsnittet $\bar{X}$ av auga. Rund av til tre desimalar.

Finn $E(\bar{X})$ og $SD(\bar{X})$ når $n = 4$ .

Finn $SD(\bar{X})$ når $n = 100$ .

Finn $SD(\bar{X})$ når $n = 10\,000$ .

Samanlikn dei tre svara med innleiinga til avsnittet om lova om store tal. Stemmer tala med skildringa der?

Ein elev påstår at $\displaystyle E(\bar{X}) = \frac{3{,}5}{100} = 0{,}035$ når $n = 100$ . Vis at dette er umogleg.

Løs oppgaven

Oppsummering

- Hald dei to verdene frå kvarandre: $\bar{x}$ og $s$ kjem frå data og er tilfeldige; $\mu$ og $\sigma$ høyrer til modellen og står stille.
- $\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ og $\displaystyle s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2}$ .
- Vi deler på $n - 1$ fordi avvika blir målte frå $\bar{x}$ , som sjølv er rekna ut av dei same dataa. Summen $\sum(x_i - \bar{x})^2$ blir difor systematisk for liten, og $n - 1$ rettar opp skeivskapen slik at $E(s^2) = \sigma^2$ — det er variansen $s^2$ som blir forventingsrett, ikkje $s$ sjølv. Berre $n - 1$ av avvika ber ny informasjon — dei er fridomsgradane.
- Lova om store tal: $\bar{x} \to \mu$ når $n$ veks.
- Fordelinga til gjennomsnittet: $E(\bar{X}) = \mu$ og $SD(\bar{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Midtpunktet flyttar seg ikkje; spreiinga krympar.
- Aldri $\displaystyle E(\bar{X}) = \frac{\mu}{n}$ — det ville tydd at gjennomsnittet av mange terningkast går mot null.
- For å halvere uvissa i eit gjennomsnitt må talet på målingar firedoblast.
- I rekneark: STDAV.S for utval ( $n - 1$ ), STDAV.P for heile populasjonen ( $n$ ).

Dette er siste kapittel i seksjon 5. I kapittel 6 skal vi sjå kvifor gjennomsnittet ikkje berre siktar rett, men òg får ei heilt bestemt form når $n$ veks — den normalfordelte klokkekurva.

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Du skal undersøkje

n - 1

-korreksjonen sjølv. Lag eit rekneark der du simulerer terningkast med =TILFELDIGMELLOM(1;6), og hugs at terningen har

\mu = 3{,}5

\displaystyle \sigma^2 = \frac{35}{12} \approx 2{,}9167

Lag 200 rader med 5 terningkast kvar (kolonne A–E). Rekn gjennomsnittet av kvar rad i kolonne F.

Rekn gjennomsnittet av heile kolonne F. Kva tal bør det liggje nær, og kva seier det om $E(\bar{X})$ ?

Rekn =STDAV.P(F1:F200) for kolonne F. Kva tal seier teorien at dette skal liggje nær?

Lag to nye kolonnar: i kolonne G reknar du =VARIANS.P(A1:E1) (deler på 5) og i kolonne H =VARIANS.S(A1:E1) (deler på 4), for kvar rad. Rekn så gjennomsnittet av kvar av dei to kolonnane.

Kva viser samanlikninga i d)?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane under.

«Måler vi nok, blir $\bar{x}$ til slutt nøyaktig lik $\mu$ .» Drøft.

« $\displaystyle SD(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ tyder at einskildmålingane blir mindre spreidde når vi måler fleire.» Kva er feilen?

Ei avis skriv at ei meiningsmåling med 1000 spurde har «dobbelt så stor uvisse» som ei med 2000. Er det rett?

Ein elev har alle dei 27 karakterane i klassen og vil skildre spreiinga i klassen. Skal ho bruke STDAV.S eller STDAV.P?

Kvifor spelar skilnaden mellom $n$ og $n - 1$ nesten inga rolle i store datasett?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Gjennomsnitt og forventingsverdi, utvalsstandardavvik og standardavvik

Kvifor deler vi på n−1n - 1n−1?

Lova om store tal

xˉ\bar{x}xˉ og sss som estimat

Oppsummering

Kvifor deler vi på $n - 1$ ?

$\bar{x}$ og $s$ som estimat