5.6 Kontinuerlege variablar og tettleiksfunksjonar | Statistikk

Sannsyn som areal under tettleiksfunksjonen; uniform fordeling som første døme.

45 min

7 oppgaver

TettleiksfunksjonAreal som sannsyn

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kontinuerlege variablar og tettleiksfunksjonar

Alle variablane så langt har talt noko: talet på kron, talet på rette, talet på dei som består. Verdiane var 0, 1, 2, … — åtskilde tal vi kunne liste opp.

No skal vi sjå på variablar som måler:

- ventetida på bussen
- høgda til ein tilfeldig vald person
- vekta av ein pakke kaffi
- tida ein elev brukar på ei prøve

Ein slik variabel kan i prinsippet ta alle verdiar i eit intervall. Ventetida kan vere 3 minutt, eller 3,4 minutt, eller 3,4172 minutt. Vi kallar han kontinuerleg.

Det tvingar fram ein heilt ny måte å rekne sannsyn på — og det første vi må gi slepp på, er tabellen.

Sannsynet for éin einskild verdi er 0

Tenk deg at bussen kjem på eit tilfeldig tidspunkt i løpet av dei neste 10 minutta, og at ingen tidspunkt er meir sannsynlege enn andre. Kva er sannsynet for at du ventar nøyaktig 4 minutt?

Prøv å rekne det ut. Dersom ventetida var like sannsynleg blant 10 heile minutt, ville svaret vore $\displaystyle \frac{1}{10}$ . Men ventetida er ikkje eitt av 10 tal — ho er eitt av uendeleg mange. Deler vi 1 på uendeleg mange like store bitar, blir kvar bit 0.

$P(X = 4) = 0$

Det tyder ikkje at ventetida 4 minutt er umogleg. Ho kan godt inntreffe. Men sannsynet for å treffe akkurat det eine talet — 4,000000… — er null.

To viktige konsekvensar:

1. Vi spør aldri om einskildverdiar for kontinuerlege variablar. Vi spør om intervall: $P(3 < X < 5)$ , $P(X > 7)$ , $P(X \le 2)$ .
2. Det spelar inga rolle om ulikskapane er strenge eller ikkje:

$P(X \le 2) = P(X < 2) \qquad \text{og} \qquad P(3 \le X \le 5) = P(3 < X < 5)$

fordi endepunkta bidreg med 0 kvar. (For diskrete variablar er dette heilt gale — der er $P(X \le 2)$ og $P(X < 2)$ som regel ulike.)

Tettleiksfunksjon

X

Uniform fordeling — den enklaste av alle

Er alle verdiar i eit intervall $[a, b]$ like sannsynlege, er tettleiksfunksjonen konstant. Kurva er då eit vassrett linjestykke, og arealet under henne er eit rektangel.

Høgda må veljast slik at arealet blir 1. Rektangelet har breidd $b - a$ , så

$\text{høgd} \cdot (b - a) = 1 \quad \Longrightarrow \quad f(x) = \frac{1}{b - a}$

Då blir all arealrekning rein rektangelrekning:

$P(c \le X \le d) = \frac{d - c}{b - a}$

I ord: lengda av det intervallet vi spør om, delt på lengda av heile intervallet. Inga integrasjon naudsynt.

For ei uniform fordeling på $[a, b]$ gjeld dessutan

$E(X) = \frac{a + b}{2} \qquad \text{og} \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$

Forventingsverdien er altså rett og slett midtpunktet — det er rimeleg når fordelinga er symmetrisk.

✏️Døme 1: Ventetid på bussen

Ein buss går kvart tiande minutt. Du kjem til haldeplassen på eit tilfeldig tidspunkt, utan å vite ruta. Lat $X$ vere ventetida i minutt.

a) Finn tettleiksfunksjonen til $X$ .
b) Finn sannsynet for at du ventar mindre enn 3 minutt.
c) Finn $P(4 \le X \le 7)$ .
d) Finn $E(X)$ og $SD(X)$ .

Løysing:

a) Kva veit vi? Ventetida ligg ein stad mellom 0 og 10 minutt, og ingen tidspunkt er meir sannsynlege enn andre. Fordelinga er altså uniform på intervallet $[0, 10]$ .

Høgda finn vi av kravet om at arealet skal vere 1:

$f(x) = \frac{1}{b - a} = \frac{1}{10 - 0} = \frac{1}{10} = 0{,}10 \quad \text{for } 0 \le x \le 10$

Utanfor intervallet er $f(x) = 0$ — du kan ikkje vente meir enn 10 minutt.

(Kontroll: arealet er $10 \cdot 0{,}10 = 1$ . Stemmer.)

b) «Mindre enn 3 minutt» er arealet av rektangelet frå 0 til 3:

$P(X < 3) = \text{breidd} \cdot \text{høgd} = 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10} = 0{,}30$

Eller direkte med lengdetilhøvet: 3 av 10 minutt gir $\displaystyle \frac{3}{10}$ .

c) Intervallet frå 4 til 7 har lengd $7 - 4 = 3$ :

$P(4 \le X \le 7) = \frac{7 - 4}{10 - 0} = \frac{3}{10} = 0{,}30$

Same svar som i b). Det er nettopp det uniform tyder: berre lengda av intervallet tel, ikkje kvar det ligg.

d) Vi set inn i formlane:

$E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + 10}{2} = 5$

$\text{Var}(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{10^2}{12} = \frac{100}{12} \approx 8{,}33$

$SD(X) = \sqrt{\frac{100}{12}} \approx 2{,}89$

Den uniforme fordelinga på $[0, 10]$ .

Høgda må vere $\displaystyle \frac{1}{10-0} = 0{,}10$ , for berre då får heile rektangelet arealet 1.

Det grøne delrektangelet har arealet $3 \cdot 0{,}10 = 0{,}3$ . Sannsynet er eit areal, og her er arealet berre lengd gonger høgd.

Svar: a) $f(x) = 0{,}10$ for $0 \le x \le 10$ . b) $0{,}30$ . c) $0{,}30$ . d) $E(X) = 5$ minutt og $SD(X) \approx 2{,}89$ minutt.

Tolking: Du ventar 5 minutt i gjennomsnitt — halve ruteintervallet, som venta. Men einskilde dagar svingar med nesten 3 minutt rundt dette.

📝Oppgave 1

Ein app oppdaterer vêrvarselet kvart 20. minutt. Du opnar appen på eit tilfeldig tidspunkt. Lat $X$ vere tida i minutt sidan førre oppdatering, uniformt fordelt på $[0, 20]$ .

Finn tettleiksfunksjonen til $X$ .

Finn $P(X < 5)$ .

Finn $P(X > 15)$ .

Finn $P(5 \le X \le 15)$ , og kontroller at dei tre svara til saman blir 1.

Finn $E(X)$ , og finn $P(X = 7)$ .

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Ein tettleik som ikkje er konstant

Ein stokastisk variabel

X

har tettleiksfunksjonen

$f(x) = kx \quad \text{for } 0 \le x \le 4$

og $f(x) = 0$ elles.

a) Bestem $k$ .
b) Finn $P(X \le 2)$ .
c) Finn $P(X > 3)$ .

Løysing:

a) Kva veit vi? Kurva $y = kx$ er ei rett linje gjennom origo. Mellom $x = 0$ og $x = 4$ dannar ho, saman med $x$ -aksen, ein rettvinkla trekant med grunnlinje 4 og høgd $f(4) = 4k$ .

Kva må vi finne? Verdien av $k$ som gjer at arealet blir 1.

Vi brukar arealformelen for trekant:

$A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{4 \cdot 4k}{2} = \frac{16k}{2} = 8k$

Så set vi arealet lik 1:

$8k = 1$

og deler på 8 på begge sider:

$\frac{8k}{8} = \frac{1}{8}$

$k = \frac{1}{8}$

Tettleiksfunksjonen er altså $\displaystyle f(x) = \frac{x}{8}$ på $[0, 4]$ .

Fordjuping (for deg som har hatt integralrekning): Arealet kan òg reknast ut som integralet

$\int_0^4 kx\,dx = \left[\frac{kx^2}{2}\right]_0^4 = 8k$

Det gir same svar. Trekanten er raskare når kurva er ei rett linje, og integralrekning trengst ikkje i dette faget.

b) Arealet frå 0 til 2 er igjen ein trekant, no med grunnlinje 2 og høgd $\displaystyle f(2) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ :

$P(X \le 2) = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$

c) Her løner det seg med komplementet, for arealet frå 3 til 4 er eit trapes, medan arealet frå 0 til 3 er ein trekant:

$P(X \le 3) = \frac{3 \cdot f(3)}{2} = \frac{3 \cdot \frac{3}{8}}{2} = \frac{\frac{9}{8}}{2} = \frac{9}{16}$

$P(X > 3) = 1 - P(X \le 3) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} = 0{,}4375$

Sannsyn er areal under tettleikskurva. Det gule feltet er $P(X \le 2) = 0{,}25$ , altså ein firedel av det samla arealet, som er 1.

Svar: a) $\displaystyle k = \frac{1}{8}$ . b) $\displaystyle P(X \le 2) = \frac{1}{4} = 0{,}25$ . c) $\displaystyle P(X > 3) = \frac{7}{16} = 0{,}4375$ .

NB: Legg merke til at $P(X \le 2) = 0{,}25$ , ikkje 0,5 — sjølv om 2 er midt i intervallet $[0, 4]$ . Tettleiken er låg til venstre og høg til høgre, så mesteparten av sannsynet ligg i høgre halvdel. Midtpunktet i intervallet er ikkje midtpunktet i sannsynet.

📝Oppgave 2

Ein stokastisk variabel $X$ har tettleiksfunksjonen $f(x) = kx$ for $0 \le x \le 6$ , og $f(x) = 0$ elles. Oppgi eksakte svar som brøk.

Bestem $k$ .

Finn $P(X \le 3)$ .

Finn $P(X \ge 4)$ .

Finn $P(2 \le X \le 5)$ .

Er det meir eller mindre enn 50 % sannsynleg at $X$ ligg i venstre halvdel av intervallet? Grunngi utan å rekne på nytt.

Løs oppgaven

Når arealet ikkje er ein trekant

Rektangel og trekantar klarer vi sjølve. Men dei fleste tettleiksfunksjonar gir areal vi ikkje kan rekne med geometri — og då brukar vi verktøy.

I GeoGebra skriv du funksjonen og deretter integralet:

f(x) = 0.5 * exp(-0.5 x)
Integral(f, 0, 2)

Svaret kjem som eit tal, og GeoGebra skraverer samtidig området, så du ser kva areal du faktisk har rekna.

I rekneark finst ferdige funksjonar for dei vanlegaste fordelingane, til dømes =NORM.FORDELING.N(x; μ; σ; SANN) for normalfordelinga, som gir arealet frå venstre og heilt fram til $x$ . Den møter vi for alvor i kapittel 6.

I tabellar — for normalfordelinga finst ferdige arealtabellar, på same måte som dei binomiske tabellane i kapittel 5.5. Òg dei gir arealet frå venstre.

Fellesnemnaren: alle tre gir deg arealet frå venstre og fram til eit punkt, altså $P(X \le x)$ . Nøyaktig som for binomisk fordeling må du sjølv skrive om spørsmålet:

Spørsmålet	Blir rekna som
$P(X \le b)$	arealet fram til $b$
$P(X > a)$	$1 - P(X \le a)$
$P(a \le X \le b)$	$P(X \le b) - P(X \le a)$

✏️Døme 3: Ventetid på kundeservice

Ventetida

X

i minutt på ein kundeservicetelefon kan modellerast med tettleiksfunksjonen

$f(x) = 0{,}5 \cdot e^{-0{,}5x} \quad \text{for } x \ge 0$

a) Finn sannsynet for at du ventar høgst 2 minutt.
b) Finn sannsynet for at du ventar meir enn 5 minutt.
c) Finn sannsynet for at ventetida er mellom 1 og 3 minutt.

Løysing:

Her er kurva ei fallande eksponentialkurve — høg tettleik like etter 0, og stadig lågare di lenger ut vi kjem. Det passar med røynsla: dei fleste kjem fort fram, nokre få ventar lenge.

Areala kan vi ikkje rekne med rektangel eller trekantar, så vi brukar verktøy.

a) «Høgst 2 minutt» er arealet frå 0 til 2:

$P(X \le 2) = \int_0^2 0{,}5 e^{-0{,}5x}\,dx$

GeoGebra:   f(x) = 0.5 * exp(-0.5 x)
            Integral(f, 0, 2)

$P(X \le 2) \approx 0{,}632$

b) «Meir enn 5 minutt». Arealet strekkjer seg i prinsippet uendeleg langt mot høgre, så vi brukar komplementet:

$P(X > 5) = 1 - P(X \le 5) = 1 - \int_0^5 0{,}5 e^{-0{,}5x}\,dx \approx 1 - 0{,}918 = 0{,}082$

c) Vi tek arealet fram til 3 og trekkjer frå arealet fram til 1:

$P(1 \le X \le 3) = P(X \le 3) - P(X \le 1) \approx 0{,}7769 - 0{,}3935 = 0{,}383$

GeoGebra:   Integral(f, 1, 3)

gir same tal direkte. NB: Rekn med dei eksakte verdiane og rund av til slutt. Trekkjer vi dei avrunda 0,777 og 0,393 frå kvarandre, får vi 0,384 — siste desimal blir feil.

Ei kurve som startar høgt oppe ved x er lik 0 og fell bratt til å byrje med, deretter stadig slakare, utan å nå ned til den vassrette aksen. Aksen er merkt minutt og går frå minus 1 til 11. Kurva er merkt f. Området under kurva frå 0 til 2 er fylt med gult, og ein grå stipla strek står i 2. Teksten P av X mindre enn eller lik 2 er lik 0,632 står til høgre for det gule feltet.

Ein tettleik som ikkje er konstant: høg like etter 0, stadig lågare di lenger ut.

Det gule arealet er Integral(f, 0, 2) $\approx 0{,}632$ .

Legg merke til den lange halen mot høgre — han dreg $\mu$ oppover, og det er grunnen til at medianen ofte seier meir om ei ventetid enn forventingsverdien gjer.

Svar: a) $\approx 0{,}632$ . b) $\approx 0{,}082$ . c) $\approx 0{,}383$ .

Tolking: Nesten to av tre kjem fram innan 2 minutt, men rundt 8 % må vente over 5 minutt. Denne skeivskapen er typisk for ventetider — og han er grunnen til at gjennomsnittleg ventetid åleine gir eit for pent bilete av korleis det opplevest å ringje.

📝Oppgave 3

Del 2 — digitale verktøy. Levetida

X

i år for ein type batteri kan modellerast med tettleiksfunksjonen

f(x) = 0{,}25 \cdot e^{-0{,}25x}

for

x \ge 0

. Bruk GeoGebra og svar med tre desimalar.

Skriv opp kommandoen som gir $P(X \le 4)$ , og finn talet.

Finn $P(X > 8)$ .

Finn $P(2 \le X \le 6)$ .

Produsenten gir tre års garanti. Kor stor del av batteria sviktar innan garantitida?

Kontroller at det samla arealet er 1 ved å rekne Integral(f, 0, 100). Kvifor blir svaret ikkje heilt eksakt 1?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Å finne grensa i staden for arealet

Ein variabel $X$ har tettleiksfunksjonen $\displaystyle f(x) = \frac{x}{8}$ for $0 \le x \le 4$ (den same som i døme 2).

Finn talet $m$ som deler sannsynet i to like store halvdelar, altså talet med $P(X \le m) = 0{,}5$ .

Løysing:

Her er oppgåva snudd: arealet er kjent, og grensa er ukjend. Framgangsmåten er likevel den same — vi set opp arealet med $m$ som bokstav, og løyser likninga.

Kva veit vi? Arealet frå 0 til $m$ er ein trekant med grunnlinje $m$ og høgd $\displaystyle f(m) = \frac{m}{8}$ .

$P(X \le m) = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{m \cdot \frac{m}{8}}{2} = \frac{\frac{m^2}{8}}{2} = \frac{m^2}{16}$

Vi set dette lik 0,5:

$\frac{m^2}{16} = 0{,}5$

Gongar med 16 på begge sider:

$\frac{m^2}{16} \cdot 16 = 0{,}5 \cdot 16$

$m^2 = 8$

Og tek kvadratrota på begge sider:

$m = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$

(Den negative løysinga $m = -2\sqrt{2}$ forkastar vi — $m$ må liggje i intervallet $[0, 4]$ .)

Kontroll: $\displaystyle \frac{(2\sqrt{2})^2}{16} = \frac{8}{16} = 0{,}5$ . Stemmer.

Svar: $m = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$

NB: Dette talet blir kalla medianen til fordelinga. Legg merke til at han ligg til høgre for midtpunktet i intervallet, 2 — akkurat som vi føresåg i døme 2, sidan tettleiken veks mot høgre. For ei uniform fordeling ville medianen derimot lege nøyaktig på midten.

📝Oppgave 4

Ein variabel $X$ er uniformt fordelt på $[2, 10]$ .

Finn tettleiksfunksjonen.

Finn $P(X \le 4)$ .

Finn medianen $m$ , altså talet med $P(X \le m) = 0{,}5$ .

Finn talet $q$ med $P(X \le q) = 0{,}90$ .

Finn $E(X)$ og $SD(X)$ med to desimalar.

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Avgjer for kvar variabel om han er diskret eller kontinuerleg, og grunngi kort.

Talet på elevar som møter på skolen ein gitt dag.

Tida ein elev brukar på ei matematikkprøve.

Prisen på ei vare i kroner og øre.

Vekta av ein pakke kaffi frå ein pakkemaskin.

For kva for nokre av a)–d) gir det meining å spørje om $P(X = 250)$ ?

Oppsummering

- Ein kontinuerleg variabel måler i staden for å telje, og kan ta alle verdiar i eit intervall.
- $P(X = a) = 0$ for kvar einaste einskildverdi. Difor spør vi alltid om intervall, og difor spelar det inga rolle om ulikskapane er strenge: $P(X \le a) = P(X < a)$ .
- Ein tettleiksfunksjon $f$ oppfyller $f(x) \ge 0$ og har samla areal 1. Sannsyn er areal under kurva: $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$ .
- $f(x)$ er ikkje eit sannsyn og kan godt vere større enn 1. Berre arealet er eit sannsyn.
- Uniform fordeling på $[a, b]$ : $\displaystyle f(x) = \frac{1}{b-a}$ , og $\displaystyle P(c \le X \le d) = \frac{d-c}{b-a}$ — berre lengdetilhøve. Dessutan $\displaystyle E(X) = \frac{a+b}{2}$ og $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$ .
- Er arealet eit rektangel eller ein trekant, reknar vi det sjølve. Elles brukar vi verktøy: Integral(f, a, b) i GeoGebra, eller ferdige funksjonar og tabellar.
- Tabellar og verktøy gir arealet frå venstre, altså $P(X \le x)$ . Alt anna blir skrive om til dette — nøyaktig som i kapittel 5.5.

I kapittel 6 møter vi den viktigaste kontinuerlege fordelinga av alle: normalfordelinga. Då blir arealet under kurva det einaste vi reknar på.

📝Oppgave 6

Ein pakkemaskin fyller posar med kaffi. Vekta $X$ i gram er uniformt fordelt på $[248, 254]$ . Posane blir merkte «250 g».

Finn tettleiksfunksjonen og $E(X)$ .

Finn sannsynet for at ein tilfeldig pose inneheld mindre enn dei merkte 250 gramma.

Finn $SD(X)$ med to desimalar.

Maskinen blir justert slik at intervallet blir $[a, a + 6]$ i staden. Kva $a$ gjer at høgst 5 % av posane inneheld mindre enn 250 g?

Kaffien kostar produsenten 0,18 kr per gram. Kor mykje meir kostar den nye innstillinga per 100 000 posar, og kva er argumentet for likevel å gjere endringa?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane under.

« $P(X = 4) = 0$ tyder at ventetida 4 minutt er umogleg.» Drøft.

Ein elev seier at $f(x)$ ikkje kan vere 2,5, fordi sannsyn må liggje mellom 0 og 1. Kva er feilen?

For ein diskret variabel er $P(X \le 3)$ og $P(X < 3)$ som regel ulike, men for ein kontinuerleg er dei alltid like. Forklar skilnaden.

Kan eit histogram over målte verdiar seiast å vere ein tettleiksfunksjon?

Kvifor er medianen ofte eit meir nyttig tal enn forventingsverdien for ventetider som i døme 3?

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.