5.5 Binomisk fordeling med tabellar og digitale verktøy

Sannsynstabellar, rekneark og GeoGebra for P(X = k), P(X ≤ k) og P(X ≥ k); forventing og varians.

45 min

7 oppgaver

Kumulativt sannsynDigitale verktøy

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Binomisk fordeling med tabellar og digitale verktøy

I kapittel 5.4 rekna vi $P(X = k)$ for hand, eitt ledd om gongen. Det går fint så lenge vi berre treng eitt ledd. Men kva om spørsmålet er «minst 8 av 12 består»? Då må vi summere fem ledd. Og «minst 100 av 145»? Då er det 46 ledd, og handrekning er utelukka.

Heldigvis treng vi ikkje rekne dei. Sannsynstabellar og digitale verktøy gir oss summen direkte. Det einaste vi må kunne, er å omsetje spørsmålet i oppgåveteksten til det oppslaget verktøyet faktisk tilbyr.

Alt er bygd på $P(X \le k)$

Både tabellar og verktøy er bygde rundt éin storleik: det kumulative sannsynet

$P(X \le k) = P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = k)$

Alle andre spørsmål blir skrivne om til denne. Det er verdt å lære omsetjinga godt — ho er den same same kva verktøy du brukar:

Spørsmålet	Blir skrive	Blir slått opp som
høgst $k$	$P(X \le k)$	$P(X \le k)$
færre enn $k$	$P(X < k)$	$P(X \le k - 1)$
minst $k$	$P(X \ge k)$	$1 - P(X \le k - 1)$
meir enn $k$	$P(X > k)$	$1 - P(X \le k)$
nøyaktig $k$	$P(X = k)$	$P(X \le k) - P(X \le k - 1)$
mellom $a$ og $b$	$P(a \le X \le b)$	$P(X \le b) - P(X \le a - 1)$

NB — den vanlegaste feilen: i «minst

k

» er det

k - 1

som skal inn i oppslaget, ikkje

k

. Grunnen er at

X = k

sjølv høyrer til «minst

k

», og difor ikkje skal trekkjast frå. Tenk alltid: kva er det motsette? Det motsette av «minst 8» er «høgst 7».

Sannsynstabellen

Ein binomisk sannsynstabell gir $P(X \le k)$ for eit fast tal på forsøk. Her er tabellen for $n = 10$ :

$k$	$p = 0{,}10$	$p = 0{,}25$	$p = 0{,}50$	$p = 0{,}75$
0	0,3487	0,0563	0,0010	0,0000
1	0,7361	0,2440	0,0107	0,0000
2	0,9298	0,5256	0,0547	0,0004
3	0,9872	0,7759	0,1719	0,0035
4	0,9984	0,9219	0,3770	0,0197
5	0,9999	0,9803	0,6230	0,0781
6	1,0000	0,9965	0,8281	0,2241
7	1,0000	0,9996	0,9453	0,4744
8	1,0000	1,0000	0,9893	0,7560
9	1,0000	1,0000	0,9990	0,9437
10	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

Slik les du han: gå inn i kolonnen for rett

p

, gå ned til rada for rett

k

, og les av

P(X \le k)

.
To ting å merke seg:
- Tala i ein kolonne veks nedover og endar på 1,0000. Det må dei — når

k

når

n

, har vi teke med alle utfalla.
- 1,0000 i tabellen tyder «1 når vi rundar av til fire desimalar», ikkje at sannsynet er nøyaktig 1. For

p = 0{,}10

k = 6

er den eigentlege verdien 0,99999.

✏️Døme 1: Oppslag i tabellen

Isak gjettar på 10 fleirvalsspørsmål med 4 alternativ kvar. Lat $X$ vere talet på rette.

Bruk tabellen over til å finne
a) $P(X \le 3)$
b) $P(X \ge 4)$
c) $P(X = 3)$
d) $P(2 \le X \le 4)$

Løysing:

Kva veit vi? Fordelinga er binomisk, med

$n = 10$

$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$

Vi skal altså bruke kolonnen $p = 0{,}25$ heile vegen.

a) «Høgst 3 rette» er oppslaget slik det står. Vi går til rada $k = 3$ :

$P(X \le 3) = 0{,}7759$

b) «Minst 4 rette». Det motsette er «høgst 3», altså det vi nettopp fann:

$P(X \ge 4) = 1 - P(X \le 3) = 1 - 0{,}7759 = 0{,}2241$

(Legg merke til at det er $k - 1 = 3$ vi slår opp, ikkje 4.)

c) «Nøyaktig 3 rette» er differansen mellom to naboopslag:

$P(X = 3) = P(X \le 3) - P(X \le 2) = 0{,}7759 - 0{,}5256 = 0{,}2503$

Kontroll med formelen frå kapittel 5.4:

$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}25^3 \cdot 0{,}75^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}13348 \approx 0{,}2503$

Same svar — tabellen og formelen er to vegar til det same.

d) «Mellom 2 og 4, begge tekne med». Vi tek alt til og med 4, og trekkjer frå alt til og med 1:

$P(2 \le X \le 4) = P(X \le 4) - P(X \le 1) = 0{,}9219 - 0{,}2440 \approx 0{,}678$

Svar: a) $P(X \le 3) = 0{,}7759$ b) $P(X \ge 4) = 0{,}2241$ c) $P(X = 3) = 0{,}2503$ d) $P(2 \le X \le 4) \approx 0{,}678$

(Reknar vi utan avrunding, blir d) 0,67785. Når vi trekkjer to tabellverdiar frå kvarandre, mistar vi alltid litt presisjon — svar difor med tre desimalar her.)

Tolking av b): Gjettar du på ti fleirvalsspørsmål, er sannsynet for å få minst 4 rette omtrent 22 %. Gjetting er altså ikkje heilt håplaust — men det er heller ingen strategi.

📝Oppgave 1

Vi kastar ein mynt 10 gonger. Lat $X$ vere talet på kron, så $n = 10$ og $p = 0{,}50$ . Bruk tabellen i kapittelet og svar med fire desimalar.

Finn $P(X \le 4)$ .

Finn $P(X \ge 6)$ .

Kvifor er svara i a) og b) like?

Finn $P(X = 5)$ .

Finn $P(3 \le X \le 7)$ .

Løs oppgaven

Rekneark og GeoGebra

Ein tabell dekkjer berre nokre få verdiar av $n$ og $p$ . Digitale verktøy dekkjer alle.

I rekneark er det éin funksjon, og eit siste argument som avgjer kva du får:

Du vil ha	Formel
$P(X = k)$	`=BINOM.FORDELING.N(k; n; p; USANN)`
$P(X \le k)$	`=BINOM.FORDELING.N(k; n; p; SANN)`

Det siste argumentet er heile skilnaden: USANN gir det einskilde leddet, SANN gir summen til og med

k

. (I eldre rekneark heiter funksjonen BINOM.FORDELING, og i engelsk versjon BINOM.DIST.)
I GeoGebra skriv du kommandoen rett i inntastingsfeltet:

FordelingBinomial(10, 0.25, 3, false)    gir P(X = 3)
FordelingBinomial(10, 0.25, 3, true)     gir P(X <= 3)

Argumenta er i rekkjefølgja $n$ , $p$ , $k$ og så sann/usann for kumulativ.

På kalkulator heiter funksjonane som regel binompdf(n, p, k) for $P(X = k)$ og binomcdf(n, p, k) for $P(X \le k)$ — pdf for det einskilde leddet, cdf for summen.

NB: Same kva verktøy du brukar, må du sjølv omsetje «minst», «fleire enn» og «færre enn» til eit oppslag av typen $P(X \le k)$ . Ingen av dei har ein knapp for «minst 8».

✏️Døme 2: Minst 8 av 12 består

Ved ein trafikkstasjon består 74 % av kandidatane oppkøyringa. Ein trafikkskole melder opp 12 elevar, og vi går ut frå at føresetnadene for binomisk fordeling er oppfylte.

Finn sannsynet for at minst 8 av dei 12 består.

Løysing:

Kva veit vi? Fordelinga er binomisk, med

$n = 12$

$p = 0{,}74$

Kva må vi finne? $P(X \ge 8)$ — i klartekst: sannsynet for at talet på elevar som består, er minst 8.

Omset. Det motsette av «minst 8» er «høgst 7»:

$P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)$

Slå opp. Tabellen i kapittelet dekkjer ikkje $p = 0{,}74$ , så vi brukar verktøy:

rekneark:   =1 - BINOM.FORDELING.N(7; 12; 0,74; SANN)
GeoGebra:   1 - FordelingBinomial(12, 0.74, 7, true)

Oppslaget gir $P(X \le 7) = 0{,}1790$ , og dermed

$P(X \ge 8) = 1 - 0{,}1790 = 0{,}8210$

Svar: $P(X \ge 8) \approx 0{,}821$ , altså omtrent 82 %.

NB: Hadde vi slått opp $P(X \le 8)$ i staden for $P(X \le 7)$ , hadde vi fått $1 - 0{,}3824 = 0{,}6176$ — eit heilt anna og gale svar. Vi ville då ha rekna ut $P(X \ge 9)$ , altså utelate dei tilfella der nøyaktig 8 består. Det er denne eine indeksen som avgjer oppgåva.

📝Oppgave 2

Ein quiz har 20 spørsmål med fire svaralternativ kvar. Mari gjettar på alle. Lat $X$ vere talet på rette, så $n = 20$ og $p = 0{,}25$ . Bruk digitale verktøy og svar med fire desimalar. Skriv opp formelen du tastar inn.

Finn $P(X \le 5)$ .

Finn $P(X = 5)$ .

Finn $P(X \ge 8)$ .

For å bestå må Mari ha minst 12 rette. Finn sannsynet for at ho består ved rein gjetting.

Kommenter svaret i d) med éi setning.

Løs oppgaven

📜Forventingsverdi og varians i binomisk fordeling

Når

X

er binomisk fordelt med

n

forsøk og suksessannsyn

p

, gjeld

$\mu = E(X) = n \cdot p$

$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

$\sigma = SD(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$

Her treng vi altså ikkje fordelingstabellen i det heile — tre tal inn, svaret ut.

Kvar formlane kjem frå: $X$ er summen av $n$ uavhengige delforsøk som kvart gir 0 eller 1. Eitt slikt forsøk har $E = p$ og $\text{Var} = p(1-p)$ — det er to linjer med definisjonane frå kapittel 5.2 og 5.3. Forventingsverdiar og variansar til uavhengige ledd blir lagde saman, og $n$ like ledd gir difor $np$ og $np(1-p)$ .

Kvifor $np$ ? Gjer du 100 forsøk der kvart lukkast med sannsyn 0,3, er det rimeleg å vente omtrent 30 suksessar. Formelen seier nøyaktig det: forventa tal er talet på forsøk gonger sjansen per forsøk.

Når er variansen størst? Uttrykket $p(1-p)$ er størst når $p = 0{,}5$ , og går mot 0 når $p$ nærmar seg 0 eller 1. Det er rimeleg: eit forsøk som nesten alltid lukkast, er føreseieleg. Eit forsøk som er femti–femti, er så uføreseieleg som det går an å bli.

✏️Døme 3: Turistar i ein butikk

Ein suvenirbutikk i Bergen veit at 70 % av kundane er turistar. Ein dag kjem det 145 kundar. Lat $X$ vere talet på turistar blant dei.

a) Finn $E(X)$ og $SD(X)$ .
b) Finn $P(X \ge 100)$ .
c) Er svaret i b) rimeleg i høve til svaret i a)?

Løysing:

Kva veit vi? Fordelinga er binomisk, med

$n = 145$

$p = 0{,}70$

a) Vi skriv formelen tom først, og set så inn:

$\mu = E(X) = n \cdot p = 145 \cdot 0{,}70 = 101{,}5$

$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 145 \cdot 0{,}70 \cdot 0{,}30 = 30{,}45$

$\sigma = SD(X) = \sqrt{30{,}45} \approx 5{,}52$

Vi ventar altså omtrent 101–102 turistar, med eit typisk avvik på rundt 5,5.

b) «Minst 100». Det motsette er «høgst 99»:

$P(X \ge 100) = 1 - P(X \le 99)$

rekneark:   =1 - BINOM.FORDELING.N(99; 145; 0,7; SANN)
GeoGebra:   1 - FordelingBinomial(145, 0.7, 99, true)

$P(X \ge 100) = 1 - 0{,}3547 = 0{,}6453$

c) Ja. Grensa 100 ligg like under forventingsverdien 101,5 — berre omtrent

$\frac{101{,}5 - 100}{5{,}52} \approx 0{,}27$

standardavvik unna. At det er litt meir enn 50 % sannsynleg å hamne over ei grense som ligg litt under midten, er nøyaktig som venta. Svaret 0,645 består altså rimelegheitssjekken.

Ei klokkeforma kurve over ein vassrett akse merkt tal, med verdiane 80 til 120. Toppen ligg litt til høgre for 100. Ein grå stipla strek går opp til toppen og er merkt μ er lik 101,5. Ein raud stipla strek står litt til venstre for han, ved 100, og er merkt grensa 100. Heile området under kurva frå 100 og oppover er fylt med gult, og det gule feltet dekkjer litt meir enn halve arealet.

$P(X \ge 100)$ ligg litt over 0,5: grensa 100 ligg under $\mu = 101{,}5$ , men berre med knapt eit kvart standardavvik ( $\sigma \approx 5{,}5$ ).

Det gule feltet er difor litt større enn halve klokka. Kurva er normaltilnærminga til den binomiske fordelinga, med streken i grensa 100.

Skal arealet stemme med svaret 0,645, må heiltalskorreksjonen frå kapittel 6.5 brukast: grensa $99{,}5$ gir arealet $0{,}641$ , medan grensa $100$ gir $0{,}607$ .

Svar: a) $E(X) = 101{,}5$ og $SD(X) \approx 5{,}52$ . b) $P(X \ge 100) \approx 0{,}645$ . c) Ja — grensa ligg like under $\mu$ .

NB: Dette er ein god vane. Rekn alltid ut $\mu = np$ først, òg når oppgåva ikkje spør om han. Då veit du omtrent kvar svaret skal liggje, og du oppdagar tastefeil med ein gong.

📝Oppgave 3

Ein kommune veit at 12 % av innbyggjarane har lånt ei bok på biblioteket den siste månaden. Det blir trekt ut 50 tilfeldige innbyggjarar. Lat $X$ vere talet på dei som har lånt ei bok.

Finn $E(X)$ .

Finn $\text{Var}(X)$ og $SD(X)$ .

Finn $P(X \le 4)$ .

Finn $P(X \ge 10)$ .

I det verkelege utvalet var det 13 som hadde lånt ei bok. Ligg det innanfor det vi kunne vente? Bruk $\mu$ og $\sigma$ i svaret.

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Overbooking i teatersalen

Eit teater har 200 sete. Røynsla er at 5 % av dei som har kjøpt billett, ikkje møter opp. Teateret vurderer difor å selje 210 billettar. Lat $X$ vere talet på dei som møter opp.

a) Finn $E(X)$ og $SD(X)$ når det blir selt 210 billettar.
b) Finn sannsynet for at fleire enn 200 møter opp, slik at nokon ikkje får plass.
c) Kor mange billettar bør teateret selje dersom dette sannsynet skal vere under 5 %?

Løysing:

a) Kvar billettkjøpar møter opp med sannsyn $1 - 0{,}05 = 0{,}95$ , uavhengig av dei andre. Fordelinga er binomisk, med

$n = 210$

$p = 0{,}95$

$\mu = E(X) = 210 \cdot 0{,}95 = 199{,}5$

$\text{Var}(X) = 210 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}05 = 9{,}975$

$\sigma = SD(X) = \sqrt{9{,}975} \approx 3{,}16$

b) «Fleire enn 200» er $P(X > 200)$ , som blir slått opp som $1 - P(X \le 200)$ :

rekneark:   =1 - BINOM.FORDELING.N(200; 210; 0,95; SANN)

$P(X > 200) = 1 - 0{,}6074 = 0{,}3926$

Nesten 40 %. Det er altfor høgt — omtrent to av fem framsyningar ville hatt gjester utan sete.

(Rimelegheitssjekk: $\mu = 199{,}5$ ligg berre eit halvt sete under grensa på 200, og $\sigma \approx 3{,}2$ . At sannsynet for å kome over grensa då er i nærleiken av 40 %, stemmer godt.)

c) Vi prøver oss fram med færre billettar. Med $n = 205$ blir $\mu = 205 \cdot 0{,}95 = 194{,}75$ , og

$P(X > 200) = 1 - P(X \le 200) = 1 - 0{,}9776 = 0{,}0224$

Det er under 5 %. Med $n = 206$ blir $\mu = 195{,}7$ , og

$P(X > 200) = 1 - 0{,}9478 = 0{,}0522$

Det er over 5 %. Teateret bør altså selje høgst 205 billettar, ikkje 210.

Svar: a) $E(X) = 199{,}5$ og $SD(X) \approx 3{,}16$ . b) $\approx 0{,}393$ . c) Høgst 205 billettar.

NB: Her ser vi kvifor $\sigma$ er uunnverleg. Forventingsverdien åleine sa 199,5 — trygt under 200. Men eit typisk avvik på drygt 3 sete tyder at «trygt under» ikkje er trygt i det heile.

📝Oppgave 4

Eit flyselskap veit at 4 % av passasjerane ikkje møter til avgang. Flyet har 180 sete, og selskapet sel 185 billettar. Lat $X$ vere talet på dei som møter opp. Svar med fire desimalar der ikkje anna står.

Oppgi $n$ og $p$ .

Finn $E(X)$ .

Finn $SD(X)$ med to desimalar.

Finn sannsynet for at fleire enn 180 møter opp.

Selskapet vil at dette sannsynet skal vere under 2 %. Prøv med 183 billettar, og så med 182. Kor mange billettar bør seljast?

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Omset kvart spørsmål til eit oppslag i forma $P(X \le \ldots)$ . Du skal ikkje rekne ut noko tal — berre skrive om.

«Høgst 6 av 20.»

«Minst 9 av 20.»

«Færre enn 4 av 20.»

«Fleire enn 15 av 20.»

«Mellom 7 og 12 av 20, begge tekne med.»

Oppsummering

- Tabellar og verktøy gir kumulative sannsyn $P(X \le k)$ . Alt anna blir skrive om til dette.
- Omsetjinga er det du må kunne: «minst $k$ » blir $1 - P(X \le k - 1)$ , «fleire enn $k$ » blir $1 - P(X \le k)$ , «nøyaktig $k$ » blir $P(X \le k) - P(X \le k - 1)$ .
- Rekneark: =BINOM.FORDELING.N(k; n; p; SANN) for $P(X \le k)$ , USANN for $P(X = k)$ .
- GeoGebra: FordelingBinomial(n, p, k, true) for $P(X \le k)$ , false for $P(X = k)$ .
- Kalkulator: binomcdf(n, p, k) og binompdf(n, p, k).
- For binomisk fordeling slepp vi fordelingstabellen: $E(X) = np$ , $\text{Var}(X) = np(1-p)$ og $SD(X) = \sqrt{np(1-p)}$ — sjå teoremet i kapittelet for kvar dei kjem frå.
- Rekn alltid $\mu = np$ først som rimelegheitssjekk, òg når oppgåva ikkje bed om det.

Så langt har alle variablane vore diskrete — dei har talt noko. I kapittel 5.6 slepp vi teljinga og ser på variablar som måler.

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Byggj din eigen binomiske tabell. Lag eit rekneark der du skriv

n

i celle B1 og

p

i celle B2, og der kolonne A inneheld

k = 0, 1, 2, \ldots, n

Lag kolonne B med $P(X = k)$ ved formelen =BINOM.FORDELING.N(A5;$B$1;$B$2;USANN), kopiert nedover. Set $n = 10$ og $p = 0{,}25$ , og kontroller at kolonnen summerer til 1.

Lag kolonne C med $P(X \le k)$ (SANN i staden for USANN), og samanlikn med tabellen i kapittelet.

Lag eit søylediagram av kolonne B. Endre $p$ til 0,50 og så til 0,75. Kva skjer med forma på diagrammet?

Legg inn $\mu = np$ og $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ i to celler. Set $p = 0{,}50$ og lat $n$ vekse: 10, 40, 160. Kva skjer med $\sigma$ i høve til $n$ ?

Behald $n = 160$ og $p = 0{,}50$ . Finn $P(70 \le X \le 90)$ og kommenter resultatet i lys av svaret i d).

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder utsegnene under.

Ein elev skriv =1 - BINOM.FORDELING.N(8; 12; 0,74; SANN) for å finne $P(X \ge 8)$ . Kva blir gale, og kor stor blir feilen?

« $E(X) = np$ tyder at $np$ alltid er eit mogleg tal.» Vurder påstanden.

To binomiske fordelingar har $n = 100$ . Den eine har $p = 0{,}5$ , den andre $p = 0{,}95$ . Kva for ei har størst standardavvik, og kvifor er det rimeleg?

Eit oppslag gir $P(X \le 12) = 0{,}84$ og $P(X \le 11) = 0{,}91$ . Kva veit du straks?

Kvifor gir tabellen 1,0000 for $p = 0{,}10$ allereie ved $k = 6$ , sjølv om $X$ kan bli så stor som 10?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Binomisk fordeling med tabellar og digitale verktøy

Alt er bygd på P(X≤k)P(X \le k)P(X≤k)

Sannsynstabellen

Rekneark og GeoGebra

Oppsummering

Alt er bygd på $P(X \le k)$