5.4 Binomisk fordeling

a) Vi går gjennom dei fire føresetnadene:

- Fast tal på forsøk: det er 5 spørsmål.
- To utfall per forsøk: rett eller gale.
- Same sannsyn kvar gong: Isak gjettar, og kvart spørsmål har 1 rett av 4 alternativ.
- Uavhengigheit: gjettinga på eitt spørsmål påverkar ikkje dei andre.

Alle fire er oppfylte, så $X$ er binomisk fordelt, med

$$n = 5$$

$$p = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

b) Kva må vi finne? $P(X = 2)$ — i klartekst: sannsynet for at talet på rette svar er nøyaktig 2.

Vi skriv formelen tom først:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$$

og set så inn $n = 5$, $k = 2$ og $\displaystyle p = \frac{1}{4}$ i kvar førekomst:

$$P(X = 2) = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right)^{5-2}$$

$$= \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3$$

No reknar vi ut kvar faktor for seg:

$$\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

$$\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$$

$$\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$$

og set saman:

$$P(X = 2) = 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{10 \cdot 27}{16 \cdot 64} = \frac{270}{1024} = \frac{135}{512} \approx 0{,}264$$

(Kontroll: eksponentane $2 + 3 = 5 = n$. Stemmer.)

Den binomiske fordelinga for $n = 5$ og $p = 0{,}25$. Den raude søyla er leddet dømet reknar ut.

Fordelinga er skeiv fordi $p \ne 0{,}5$; toppen ligg ved $k = 1$, ikkje i midten.

Søyla for $k = 5$ er 0,001 og for låg til å teiknast, så verdien står som tekst.

Svar: a) $n = 5$ og $p = 0{,}25$. b) $\displaystyle P(X = 2) = \frac{135}{512} \approx 0{,}264$, altså omtrent 26 %.

Slik ville du tasta det inn: på kalkulator 5 nCr 2 × 0,25^2 × 0,75^3, i rekneark =BINOM.FORDELING.N(2;5;0,25;USANN).

a) Vi må gå ut frå:

- Talet på forsøk er fast: 12 elevar blir melde opp, $n = 12$.
- Kvar oppkøyring har to utfall: bestått eller ikkje bestått.
- Alle dei 12 elevane har same sannsyn for å bestå, $p = 0{,}74$. (Dette er den føresetnaden som er mest tvilsam i praksis — nokre elevar er betre førebudde enn andre.)
- Elevane er uavhengige av kvarandre: at éin stryk, endrar ikkje sannsynet for dei andre.

b) Fordelinga er altså binomisk, med

$$n = 12$$

$$p = 0{,}74$$

Vi skriv formelen først:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$$

og set inn $n = 12$, $k = 10$ og $p = 0{,}74$ i kvar førekomst:

$$P(X = 10) = \binom{12}{10} \cdot 0{,}74^{10} \cdot (1 - 0{,}74)^{12 - 10} = \binom{12}{10} \cdot 0{,}74^{10} \cdot 0{,}26^{2}$$

Faktor for faktor:

$$\binom{12}{10} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 66$$

$$0{,}74^{10} \approx 0{,}04924$$

$$0{,}26^{2} = 0{,}0676$$

$$P(X = 10) \approx 66 \cdot 0{,}04924 \cdot 0{,}0676 \approx 0{,}220$$

Svar: a) Fast tal på forsøk, to utfall, same sannsyn 0,74 for alle, og uavhengigheit. b) $P(X = 10) \approx 0{,}220$, altså omtrent 22 %.

Slik ville du tasta det inn: =BINOM.FORDELING.N(10;12;0,74;USANN) i rekneark.

NB: $\binom{12}{10} = \binom{12}{2}$ — å velje ut kva 10 som består, er det same som å velje ut kva 2 som ikkje gjer det. Vel alltid den minste av dei to når du reknar for hand.

Fordelinga er binomisk — vi tel defekte blant eit fast tal på delar, med same sannsyn kvar gong. Her er

$$n = 20$$

$$p = 0{,}03$$

a) Vi set $k = 0$ i formelen:

$$P(X = 0) = \binom{20}{0} \cdot 0{,}03^0 \cdot (1 - 0{,}03)^{20 - 0}$$

Dei to første faktorane er begge 1 (det blir ikkje ført — vi skriv berre):

$$P(X = 0) = 0{,}97^{20} \approx 0{,}544$$

b) «Minst éin» er det motsette av «ingen»:

$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}97^{20} \approx 1 - 0{,}544 = 0{,}456$$

Svar: a) $\approx 0{,}544$. b) $\approx 0{,}456$, altså omtrent 46 %.

Tolking: Sjølv om berre 3 % av delane er defekte, er det nesten femti–femti om eit utval på 20 inneheld minst éin. Små sannsyn blir fort store når forsøket blir gjenteke mange nok gonger — det er ei av dei viktigaste innsiktene i heile kapittelet.

a) Kvart av dei åtte teikna kan veljast på 2 måtar, uavhengig av dei andre:

$$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^8 = 256$$

Det finst 256 ulike kodar.

b) Lat $X$ vere talet på A-ar. Fordelinga er binomisk, med

$$n = 8$$

$$p = \frac{1}{2}$$

«Minst seks A-ar» tyder $X = 6$, $X = 7$ eller $X = 8$. Vi reknar dei tre ledda.

Sidan $\displaystyle p = \frac{1}{2}$, blir $\displaystyle p^k (1-p)^{8-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1}{256}$ same kva $k$ er. Då er det berre binomialkoeffisienten som varierer, og kvart ledd blir «talet på gunstige over 256»:

$$P(X = 6) = \binom{8}{6} \cdot \frac{1}{256} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{256} = \frac{28}{256}$$

$$P(X = 7) = \binom{8}{7} \cdot \frac{1}{256} = \frac{8}{256}$$

$$P(X = 8) = \binom{8}{8} \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}$$

Vi lèt brøkane stå med nemnar 256 — dei skal summerast:

$$P(X \ge 6) = \frac{28}{256} + \frac{8}{256} + \frac{1}{256} = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256} \approx 0{,}145$$

Svar: a) 256 kodar. b) $\displaystyle P(X \ge 6) = \frac{37}{256} \approx 0{,}145$.

NB: Med $\displaystyle p = \frac{1}{2}$ er binomisk sannsyn det same som «gunstige delt på moglege» — dei 37 kodane med minst seks A-ar, delt på dei 256 moglege. Det er nettopp fordi alle dei 256 kodane er like sannsynlege. Er $\displaystyle p \ne \frac{1}{2}$, held ikkje den snarvegen.