5.3 Varians og standardavvik | Statistikk

Var(X) og SD(X) for stokastiske variablar, og kva dei seier om uvisse og variasjon.

45 min

7 oppgaver

VariansStandardavvik

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Varians og standardavvik

Sjå på desse to stokastiske variablane:

Variabelen $X$ :

$k$	9	11
$P(X = k)$	0,5	0,5

Variabelen $Y$ :

$k$	0	20
$P(Y = k)$	0,5	0,5

Begge har forventingsverdi 10. Likevel oppfører dei seg heilt ulikt: $X$ bommar på 10 med berre 1, kvar einaste gong. $Y$ bommar med 10.

Forventingsverdien åleine seier altså ikkje nok. Vi treng eit tal til — eit tal som måler kor spreidde verdiane ligg rundt $\mu$ . Det talet er variansen, og kvadratrota av han er standardavviket.

Kvifor kvadrerer vi?

Det naturlege første forsøket er å måle kor langt $X$ ligg frå $\mu$ , altså avviket $k - \mu$ , og så ta gjennomsnittet av avvika. Men det verkar ikkje. Prøv på $X$ over, der $\mu = 10$ :

$(9 - 10) \cdot 0{,}5 + (11 - 10) \cdot 0{,}5 = -0{,}5 + 0{,}5 = 0$

Summen vart 0 — og han blir alltid 0, for kvar einaste fordeling. Dei negative avvika et opp dei positive.

Løysinga er å kvadrere avvika først. Då blir alle bidraga positive, og store bom blir straffa hardare enn små. Gjennomsnittet av dei kvadrerte avvika kallar vi variansen.

Varians og standardavvik

X

Alternativ 1: vi utvidar tabellen

Variansen krev at vi kjenner $\mu$ først. Difor reknar vi alltid $\mu$ og $\text{Var}(X)$ i same tabell, og legg berre på éi rad:

…	…	…	Sum
$k$
$P(X = k)$	1
$k \cdot P(X = k)$	$\mu$
$(k - \mu)^2 \cdot P(X = k)$	$\text{Var}(X)$

Rad 4 kan ikkje fyllast før Sum-cella i rad 3 er ferdig —

\mu

må stå der før avvika kan reknast.
I kvar celle i rad 4 fører vi to linjer: først innsetjinga, så det utrekna kvadratet. Til dømes, når

\mu = 4

k = 1

(1 - 4)^2 \cdot \frac{1}{6} \;=\; (-3)^2 \cdot \frac{1}{6} \;=\; \frac{9}{6}

Vi lèt brøken stå uforkorta, akkurat som i forventingsverdien — han skal summerast.

✏️Døme 1: Terningkast

Lat $X$ vere talet på auge på ein vanleg terning. Finn $\text{Var}(X)$ og $SD(X)$ .

Løysing:

Kva veit vi? Verdiane 1 til 6, kvar med sannsyn $\displaystyle \frac{1}{6}$ , og frå døme 1 i kapittel 5.2: $\displaystyle \mu = \frac{7}{2} = 3{,}5$ .

Kva må vi finne? Først variansen, så standardavviket.

Vi fyller rad 4 i tabellen. Kvar celle blir ført på to linjer — innsetjing, så kvadrat:

$k$	1	2	3	4	5	6	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	1
$k \cdot P$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{2}{6}$	$\displaystyle \frac{3}{6}$	$\displaystyle \frac{4}{6}$	$\displaystyle \frac{5}{6}$	$\displaystyle \frac{6}{6}$	$\displaystyle \frac{21}{6} = 3{,}5$
$(k - \mu)^2 \cdot P$	$\displaystyle \frac{25}{24}$	$\displaystyle \frac{9}{24}$	$\displaystyle \frac{1}{24}$	$\displaystyle \frac{1}{24}$	$\displaystyle \frac{9}{24}$	$\displaystyle \frac{25}{24}$	$\displaystyle \frac{70}{24}$

Slik vart den første cella til:

(1 - 3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} = (-2{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} = 6{,}25 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{24}

og den andre:

(2 - 3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} = (-1{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} = 2{,}25 \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{24}

Dei tre siste cellene er spegelbilete av dei tre første, fordi fordelinga er symmetrisk om 3,5. (At $(4 - 3{,}5)^2 = (3 - 3{,}5)^2$ blir ikkje ført — vi ser det.)

Formelen først, så talrekkja:

$\text{Var}(X) = \sum_k (k - \mu)^2 \cdot P(X = k) = \frac{25}{24} + \frac{9}{24} + \frac{1}{24} + \frac{1}{24} + \frac{9}{24} + \frac{25}{24}$

$= \frac{25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25}{24} = \frac{70}{24} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$

Standardavviket er kvadratrota:

$\sigma = SD(X) = \sqrt{\text{Var}(X)} = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1{,}71$

Svar: $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$ og $SD(X) \approx 1{,}71$ .

Tolking: Eit terningkast bommar typisk på 3,5 med omtrent 1,7 auge.

📝Oppgave 1

Gjer den same utrekninga som i døme 1 for ein åttesida terning med sidene 1 til 8, alle like sannsynlege. Rund av til to desimalar der det trengst.

Finn $\mu = E(X)$ .

Rekn ut cella for $k = 1$ i rad 4, med begge linjene.

Finn $\text{Var}(X)$ .

Finn $SD(X)$ .

Samanlikn med den vanlege terningen ( $\sigma \approx 1{,}71$ ). Kva for ein av dei har mest spreiing, og kvifor er det rimeleg?

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Vekta av ein sekk

Vi held fram med sekkene frå kapittel 5.2: ein firedel veg 4 kg, halvparten veg 5 kg og ein firedel veg 10 kg. Vi veit at $E(X) = 6$ kg.

Finn $\text{Var}(X)$ og $SD(X)$ .

Løysing:

Kva veit vi? Verdiane 4, 5 og 10 med sannsyn $\displaystyle \frac{1}{4}$ , $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{1}{4}$ , og $\mu = 6$ kg.

Vi reknar kvar celle i rad 4 på to linjer:

$k = 4: \quad (4 - 6)^2 \cdot \frac{1}{4} = (-2)^2 \cdot \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

$k = 5: \quad (5 - 6)^2 \cdot \frac{1}{2} = (-1)^2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0{,}5$

$k = 10: \quad (10 - 6)^2 \cdot \frac{1}{4} = 4^2 \cdot \frac{1}{4} = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$

Formelen først, så tala:

$\text{Var}(X) = \sum_k (k - \mu)^2 \cdot P(X = k) = 1 + 0{,}5 + 4 = 5{,}5$

$\sigma = SD(X) = \sqrt{5{,}5} \approx 2{,}35$

Svar: $\text{Var}(X) = 5{,}5$ og $SD(X) \approx 2{,}35$ kg.

Tolking: Ein tilfeldig sekk veg 6 kg i gjennomsnitt, og bommar typisk på det med omtrent 2,4 kg. Legg merke til kven som bidreg mest til variansen: 10 kg-sekken er sjeldan ( $\displaystyle \frac{1}{4}$ ), men ligg så langt unna $\mu$ at han åleine står for 4 av dei 5,5. Det er kvadreringa som gjer det — store avvik veg tungt.

📝Oppgave 2

Vi held fram med pakkane frå kapittel 5.2: $P(X = 2) = 0{,}50$ , $P(X = 5) = 0{,}30$ og $P(X = 10) = 0{,}20$ , med $E(X) = 4{,}50$ kg. Rund av til to desimalar.

Rekn ut cella for $k = 2$ .

Rekn ut cella for $k = 5$ .

Rekn ut cella for $k = 10$ .

Finn $\text{Var}(X)$ .

Finn $SD(X)$ , og forklar kva talet tyder i denne samanhengen.

Løs oppgaven

Det finst ei omskriving av variansformelen som ofte gir mindre rekning:

$\text{Var}(X) = E(X^2) - \mu^2$

Her er $E(X^2) = \sum_k k^2 \cdot P(X = k)$ — vi kvadrerer verdiane, ikkje avvika.

På sekkene frå døme 2:

$E(X^2) = 4^2 \cdot \frac{1}{4} + 5^2 \cdot \frac{1}{2} + 10^2 \cdot \frac{1}{4} = 4 + 12{,}5 + 25 = 41{,}5$

$\text{Var}(X) = E(X^2) - \mu^2 = 41{,}5 - 6^2 = 41{,}5 - 36 = 5{,}5$

Same svar, slik det skal vere.

Vurdering: Snarvegen er raskare når $\mu$ er eit stygt desimaltal, for då slepp vi å trekkje det frå i kvar einaste celle. Men han skjuler kva variansen er — at han måler avvik frå $\mu$ . Bruk definisjonen når du skal forstå eller forklare, og snarvegen når du berre skal kome fram til eit tal. Og hugs: det er $\mu^2$ som blir trekt frå, ikkje $\mu$ .

📝Oppgave 3

Ein stokastisk variabel $X$ har fordelinga

$k$	0	1	4	6
$P(X = k)$	0,30	0,40	0,10	0,20

Rekn ut variansen på begge måtar, og sjekk at du får same svar. Måte 2 er snarvegen frå merknaden «Alternativ 2» — ein alternativ veg, ikkje hovudmetoden.

Finn $\mu = E(X)$ .

Finn $\text{Var}(X)$ med definisjonen $\sum (k - \mu)^2 P(X=k)$ .

Finn $E(X^2)$ . (alternativ veg, sjå merknaden)

Kontroller svaret i b) med snarvegen $E(X^2) - \mu^2$ . (alternativ veg, sjå merknaden)

Finn $SD(X)$ .

Løs oppgaven

✏️Døme 3: Buss eller sykkel?

Iselin kan velje mellom buss og sykkel til skolen. Ho har målt reisetidene i minutt:

Buss ( $X$ ): 20 min med sannsyn 0,7 · 25 min med 0,2 · 40 min med 0,1

Sykkel ( $Y$ ): 22 min med sannsyn 0,5 · 24 min med 0,5

a) Finn $E(X)$ og $E(Y)$ .
b) Finn $SD(X)$ og $SD(Y)$ .
c) Kva alternativ bør ho velje dersom ho absolutt ikkje kan kome for seint?

Løysing:

a) Buss:

$E(X) = 20 \cdot 0{,}7 + 25 \cdot 0{,}2 + 40 \cdot 0{,}1 = 14 + 5 + 4 = 23$

Sykkel:

$E(Y) = 22 \cdot 0{,}5 + 24 \cdot 0{,}5 = 11 + 12 = 23$

Begge brukar altså 23 minutt i gjennomsnitt. Forventingsverdien skil dei ikkje.

b) Buss, celle for celle:

$(20 - 23)^2 \cdot 0{,}7 = (-3)^2 \cdot 0{,}7 = 9 \cdot 0{,}7 = 6{,}3$

$(25 - 23)^2 \cdot 0{,}2 = 2^2 \cdot 0{,}2 = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8$

$(40 - 23)^2 \cdot 0{,}1 = 17^2 \cdot 0{,}1 = 289 \cdot 0{,}1 = 28{,}9$

$\text{Var}(X) = 6{,}3 + 0{,}8 + 28{,}9 = 36 \quad \Rightarrow \quad SD(X) = \sqrt{36} = 6$

Sykkel:

$(22 - 23)^2 \cdot 0{,}5 = 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$

$(24 - 23)^2 \cdot 0{,}5 = 1 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$

$\text{Var}(Y) = 0{,}5 + 0{,}5 = 1 \quad \Rightarrow \quad SD(Y) = \sqrt{1} = 1$

c) Her ser vi kva standardavviket er godt for.

Begge alternativa har $\mu = 23$ min.

Bussen har $\sigma = 6$ min mot $\sigma = 1$ min for sykkelen.

Bussen er som regel litt raskare enn sykkelen (20 min i 70 % av tilfella), men i 10 % av tilfella tek han 40 minutt — og det er den halen som gjer han upåliteleg.

Kan ho ikkje risikere å kome for seint, bør ho sykle: reisetida er så å seie alltid 22–24 minutt.

Begge har $\mu = 23$ minutt, men bussen har ein hale ut til 40. Det er den eine søyla langt til høgre som gjer variansen stor — og ho er heile svaret på kvifor sykkelen er den tryggaste av dei to, sjølv om dei brukar like lang tid i gjennomsnitt.

Svar: a) Begge har $E = 23$ min. b) $SD(X) = 6$ min, $SD(Y) = 1$ min. c) Sykkelen — same forventa tid, langt mindre uvisse.

📝Oppgave 4

To spel har same innsats. I spel A vinn du 0 kr eller 100 kr, med sannsyn 0,5 på kvar. I spel B vinn du 40 kr eller 60 kr, med sannsyn 0,5 på kvar.

Finn forventa gevinst i spel A.

Finn forventa gevinst i spel B.

Finn $SD$ for spel A.

Finn $SD$ for spel B.

Du får spele berre éin gong og treng minst 40 kr. Kva spel vel du? Grunngi med tala.

Løs oppgaven

📜Variansen av

aX + b

For alle tal

a

b

gjeld

$\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$

$SD(aX + b) = |a| \cdot SD(X)$

Legg merke til at $b$ forsvinn. Legg vi det same talet til alle utfalla, blir heile fordelinga flytta sidelengs — men avstandane mellom verdiane, og dermed spreiinga, er uendra.

Faktoren $a$ derimot strekkjer fordelinga. Standardavviket blir gonga med $|a|$ , og variansen med $a^2$ fordi variansen er ein kvadrert storleik.

✏️Døme 4: Frå bestillingar til kroner

Ein kafé har $X$ bestillingar i timen, med $E(X) = 12$ og $\text{Var}(X) = 5{,}2$ . Kvar bestilling gir 85 kr, og kaféen har faste kostnader på 450 kr i timen. Overskotet er $Z = 85X - 450$ .

Finn $E(Z)$ , $\text{Var}(Z)$ og $SD(Z)$ .

Løysing:

Kva veit vi? $E(X) = 12$ , $\text{Var}(X) = 5{,}2$ , og $Z = 85X - 450$ , altså $a = 85$ og $b = -450$ .

Forventingsverdien følgjer regelen frå kapittel 5.2:

$E(Z) = 85 \cdot E(X) - 450 = 85 \cdot 12 - 450 = 1020 - 450 = 570$

Variansen følgjer regelen over. Dei faste kostnadene fell ut:

$\text{Var}(Z) = 85^2 \cdot \text{Var}(X) = 7225 \cdot 5{,}2 = 37\,570$

Standardavviket:

$SD(Z) = |85| \cdot SD(X) = 85 \cdot \sqrt{5{,}2} \approx 85 \cdot 2{,}280 \approx 193{,}8$

(Vi kunne like godt teke $\sqrt{37\,570} \approx 193{,}8$ — same tal, slik det skal vere.)

Svar: $E(Z) = 570$ kr, $\text{Var}(Z) = 37\,570$ og $SD(Z) \approx 194$ kr.

Tolking: Kaféen tener 570 kr i ein gjennomsnittstime, men einskilde timar svingar med omtrent $\pm 190$ kr rundt dette. Legg merke til at dei faste kostnadene på 450 kr senkar forventa overskot, men ikkje gjer det meir uføreseieleg — dei er dei same kvar time.

📝Oppgave 5

Lat $X$ vere talet på auge på ein vanleg terning, med $\mu = 3{,}5$ og $\displaystyle \text{Var}(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}9167$ . Rund av til to desimalar der det trengst.

Lat $Y = X + 5$ . Finn $E(Y)$ og $\text{Var}(Y)$ .

Forklar kvifor variansen i a) ikkje endra seg.

Lat $W = 10X$ . Finn $E(W)$ , $\text{Var}(W)$ og $SD(W)$ .

I eit spel får du $10X$ kroner utbetalt og betaler 40 kr i innsats. Finn forventa nettogevinst og standardavviket til nettogevinsten.

Kva innsats ville gjort spelet rettferdig? Endrar det standardavviket?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Variansen $\text{Var}(X) = \sum_k (k - \mu)^2 \cdot P(X = k)$ er det vekta gjennomsnittet av dei kvadrerte avvika frå $\mu$ . Vi kvadrerer fordi dei ukvadrerte avvika alltid summerer til 0.
- Standardavviket $\sigma = SD(X) = \sqrt{\text{Var}(X)}$ har same eining som $X$ , og er difor det talet vi tolkar: omtrent kor langt frå $\mu$ ein tilfeldig verdi pleier å liggje.
- Vi reknar $\mu$ og $\text{Var}(X)$ i same tabell. Rad 4 kan ikkje fyllast før $\mu$ står i Sum-cella i rad 3. Kvar celle blir ført på to linjer: innsetjing, så kvadrat.
- Snarvegen $\text{Var}(X) = E(X^2) - \mu^2$ gir same svar og sparer rekning — men skjuler kva variansen måler.
- $\text{Var}(aX + b) = a^2 \cdot \text{Var}(X)$ og $SD(aX + b) = |a| \cdot SD(X)$ . Konstantleddet $b$ fell ut.
- To fordelingar kan ha same $\mu$ og heilt ulik $\sigma$ . Då er det $\sigma$ som avgjer valet.

I kapittel 5.4 møter vi den viktigaste diskrete fordelinga av alle — den binomiske — og der finst det ferdige formlar for både $\mu$ og $\sigma$ .

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Lat

X

vere talet på personar i eit tilfeldig valt norsk hushald. Ei forenkla fordeling er:

$k$	1	2	3	4	5	6
$P(X = k)$	0,40	0,28	0,13	0,12	0,05	0,02

Set opp heile utrekninga i eit rekneark, med éin kolonne per rad i tabellen vår. Rund av til to desimalar.

Kontroller at sannsyna summerer til 1, og finn $E(X)$ med =SUMMERPRODUKT(A2:A7;B2:B7).

Lag ein kolonne med $(k - \mu)^2 \cdot P(X = k)$ — bruk absolutt referanse til $\mu$ -cella, til dømes =(A2-$E$1)^2*B2. Finn $\text{Var}(X)$ .

Finn $SD(X)$ .

Kontroller svaret i b) med snarvegen $E(X^2) - \mu^2$ i ein eigen kolonne. (alternativ veg, sjå merknaden)

Ein kommune har 12 000 hushald. Omtrent kor mange innbyggjarar bur i dei? Kvifor er dette anslaget mykje sikrare enn anslaget for eitt einskilt hushald?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane under, og finn feilen der det er ein.

«Variansen kan bli negativ dersom mange verdiar ligg under $\mu$ .»

Når er $\text{Var}(X) = 0$ ?

Ein elev reknar ut $\text{Var}(X) = E(X^2) - \mu$ og får eit negativt tal. Kva er feilen? (alternativ veg, sjå merknaden)

«To fordelingar med same standardavvik er like risikable.» Drøft, og bruk gjerne eit døme der den eine har $\mu = 10$ og den andre $\mu = 1000$ .

Kvifor oppgir vi som regel standardavviket og ikkje variansen når vi skal fortelje nokon kor spreidd ein variabel er?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.