5.2 Forventingsverdi | Statistikk

E(X) som langsiktig gjennomsnitt — utrekning og tolking.

45 min

7 oppgaver

Forventingsverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Forventingsverdi

I kapittel 5.1 sette vi opp heile sannsynsfordelinga til ein stokastisk variabel. Ofte treng vi eitt tal som seier kvar fordelinga ligg. Det talet er forventingsverdien.

Tenk deg at du kastar ein terning tusen gonger og reknar ut gjennomsnittet av alle auga. Du får ikkje nøyaktig same tal kvar gong du gjentek forsøket, men du får kvar gong noko som ligg svært nær 3,5. Forventingsverdien er nettopp dette talet: gjennomsnittet i det lange løpet.

Vi skriv forventingsverdien som $E(X)$ (E for expectation), og vi brukar den greske bokstaven $\mu$ (my) som namn på han:

$\mu = E(X)$

Symbolet $\mu$ er forventingsverdien. Du kjem til å møte begge skrivemåtane, og dei tyder nøyaktig det same.

Forventingsverdi

X

Vi teiknar tabellen før vi fyller han

Utrekninga av $E(X)$ er alltid den same jobben, og ho blir ryddig dersom vi brukar same oppsett kvar gong: éin tabell i breidda, med ein Sum-kolonne til slutt.

$k$	…	…	…	Sum
$P(X = k)$	…	…	…	1
$k \cdot P(X = k)$	…	…	…	$\mu$

Rad 2 er ein gratis kontroll: sannsyna skal summere til 1. Går han ikkje opp, er det ingen vits i å rekne vidare.
Rad 3 er sjølve utrekninga, og Sum-cella i rad 3 er svaret:

\mu

er forventingsverdien.

✏️Døme 1: Terningkast

Lat $X$ vere talet på auge på ein vanleg terning. Finn $E(X)$ .

Løysing:

Kva veit vi? Terningen har seks sider, og kvar av dei har sannsyn $\displaystyle \frac{1}{6}$ .

Kva må vi finne? Forventingsverdien $\mu = E(X)$ .

Vi teiknar opp tabellen og fyller han:

$k$	1	2	3	4	5	6	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{6}{6} = 1$
$k \cdot P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{6}$	$\displaystyle \frac{2}{6}$	$\displaystyle \frac{3}{6}$	$\displaystyle \frac{4}{6}$	$\displaystyle \frac{5}{6}$	$\displaystyle \frac{6}{6}$	$\displaystyle \frac{21}{6}$

Legg merke til at vi ikkje forkortar brøkane i produktrada. Dei skal leggjast saman, og då vil vi ha felles nemnar. Forkortar vi

\displaystyle \frac{2}{6}

til

\displaystyle \frac{1}{3}

undervegs, må vi berre finne fellesnemnaren igjen etterpå.
Vi skriv heile formelen først, og limer talrekkja på:

\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} + \frac{6}{6}

$= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3{,}5$

Svar: $\displaystyle E(X) = \frac{7}{2} = 3{,}5$

NB: Ingen terning kan vise 3,5 auge. Forventingsverdien er ikkje eit utfall vi ventar oss i eitt kast — han er gjennomsnittet vi nærmar oss når vi kastar mange gonger. Det er nettopp difor namnet «forventingsverdi» kan lure.

📝Oppgave 1

Gjer den same utrekninga som i døme 1, med tabell og Sum-kolonne.

Ein åttesida terning har sidene 1 til 8, alle like sannsynlege. Finn $E(X)$ .

Forklar med éi setning kvifor svaret i a) ikkje er eit mogleg utfall.

Ein spesiell terning har sidene 1, 1, 2, 3, 3, 3. Set opp fordelingstabellen til $X$ = talet på auge.

Finn $E(X)$ for terningen i c). Svar på eksakt form og som desimaltal med to desimalar.

Kva for ein av dei to terningane i a) og c) har størst forventingsverdi?

Løs oppgaven

✏️Døme 2: Vekta av ein sekk

På ein pall ligg det sekker med tre ulike vekter. Ein firedel av sekkene veg 4 kg, halvparten veg 5 kg og ein firedel veg 10 kg. Lat $X$ vere vekta av ein tilfeldig valt sekk.

Vis at $E(X) = 6$ kg.

Løysing:

Kva veit vi? Verdiane 4, 5 og 10 med sannsyna $\displaystyle \frac{1}{4}$ , $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \frac{1}{4}$ .

Kva må vi finne? $\mu = E(X)$ , og vi skal vise at han blir 6.

Vi teiknar tabellen. Her vel vi å skrive alle brøkane med nemnar 4, for det er den fellesnemnaren vi treng i summen:

$k$	4	5	10	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{2}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{4}{4} = 1$
$k \cdot P(X = k)$	$\displaystyle \frac{4}{4}$	$\displaystyle \frac{10}{4}$	$\displaystyle \frac{10}{4}$	$\displaystyle \frac{24}{4}$

(At $\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ blir ikkje ført — vi skriv berre fellesnemnaren med ein gong.)
Formelen først, så tala:

\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \frac{1}{4}

$= \frac{4}{4} + \frac{10}{4} + \frac{10}{4} = \frac{4 + 10 + 10}{4} = \frac{24}{4} = 6$

Eit søylediagram med tre blå søyler over 4, 5 og 10 på ein vassrett akse merkt kg. Høgdene er 0,25, 0,5 og 0,25 og står skrivne over søylene. Under aksen står ein liten trekant med spissen opp i 6, merkt μ er lik 6. Ein grå stipla loddrett strek står litt til høgre for 6, ved 6,33, med teksten midt mellom tala 6,33.

Vippa står i $\mu = 6$ kg, ikkje i midtpunktet av tala 4, 5 og 10.

Gjennomsnittet av sjølve verdiane er $\displaystyle \frac{4+5+10}{3} \approx 6{,}33$ (grå strek).

Sekken på 5 kg er dobbelt så sannsynleg som dei to andre og trekkjer balansepunktet mot venstre. Forventingsverdien er eit vekta gjennomsnitt.

Svar: $E(X) = 6$ kg, slik oppgåva bad oss vise.

Tolking: Tek vi mange sekker frå pallen, veg dei i gjennomsnitt 6 kg. Skal du frakte 100 sekker, kan du rekne med omtrent $100 \cdot 6 \text{ kg} = 600$ kg. Legg merke til at 6 kg ligg mellom 5 og 10 — den tunge sekken dreg gjennomsnittet opp sjølv om han er sjeldan.

📝Oppgave 2

Eit pakkeri sender pakkar med tre ulike vekter. Halvparten av pakkane veg 2 kg, 30 % veg 5 kg og resten veg 10 kg. Lat $X$ vere vekta av ein tilfeldig pakke.

Set opp fordelingstabellen til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Kor mykje veg 200 tilfeldige pakkar til saman, omtrent?

Frakta kostar 38 kr per kilo. Kva er forventa fraktkostnad for éin pakke?

Forklar kvifor $E(X)$ ikkje er lik gjennomsnittet av tala 2, 5 og 10.

Løs oppgaven

Forventingsverdi i spel og lotteri

Forventingsverdi er det verktøyet som avgjer om eit spel løner seg. Framgangsmåten er alltid den same:

1. Lat $X$ vere utbetalinga i eitt spel, og set opp fordelinga til $X$ .
2. Rekn ut $E(X)$ — forventa utbetaling.
3. Samanlikn med innsatsen.

Eit spel blir kalla rettferdig når forventa utbetaling er nøyaktig lik innsatsen. Då er forventa netto 0 kr: i det lange løpet går du verken i pluss eller minus.

Når vi trekkjer innsatsen frå, brukar vi denne regelen:

📜Forventingsverdien av

aX + b

For alle tal

a

b

gjeld

$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$

Gongar vi alle utfalla med $a$ , blir forventingsverdien gonga med $a$ . Legg vi $b$ til alle utfalla, blir $b$ lagd til forventingsverdien.

To vanlege spesialtilfelle:

- Netto etter innsats: $E(X - 50) = E(X) - 50$
- Omrekning av eining: kostar kvar eining $150$ kr, er $E(150X) = 150 \cdot E(X)$

✏️Døme 3: Loddsal

Eit idrettslag sel 1000 lodd. Kvart lodd kostar 50 kr. Det blir trekt éin hovudpremie på 10 000 kr, fem premiar på 2000 kr og tjue premiar på 500 kr. Dei andre lodda gir ingen premie.

Lat $X$ vere premien på eitt tilfeldig lodd.

a) Set opp fordelinga til $X$ og finn $E(X)$ .
b) Kva er forventa nettogevinst for den som kjøper eitt lodd?
c) Kor mykje tener idrettslaget i gjennomsnitt på kvart selt lodd?

Løysing:

a) Kva veit vi? Til saman $1 + 5 + 20 = 26$ lodd gir premie, så $1000 - 26 = 974$ lodd gir 0 kr.

Vi teiknar tabellen. Alle sannsyna får nemnar 1000:

$k$ (kr)	0	500	2000	10 000	Sum
$P(X = k)$	$\displaystyle \frac{974}{1000}$	$\displaystyle \frac{20}{1000}$	$\displaystyle \frac{5}{1000}$	$\displaystyle \frac{1}{1000}$	$\displaystyle \frac{1000}{1000} = 1$
$k \cdot P(X = k)$	$\displaystyle \frac{0}{1000}$	$\displaystyle \frac{10\,000}{1000}$	$\displaystyle \frac{10\,000}{1000}$	$\displaystyle \frac{10\,000}{1000}$	$\displaystyle \frac{30\,000}{1000}$

Formelen først:

\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = 0 \cdot \frac{974}{1000} + 500 \cdot \frac{20}{1000} + 2000 \cdot \frac{5}{1000} + 10\,000 \cdot \frac{1}{1000}

= \frac{0}{1000} + \frac{10\,000}{1000} + \frac{10\,000}{1000} + \frac{10\,000}{1000} = \frac{30\,000}{1000} = 30

Forventa premie er $E(X) = 30$ kr.

(At dei tre premiegruppene tilfeldigvis gir like store bidrag, er ikkje noko vi kan rekne med — her er det berre slik tala fall.)

b) Nettogevinsten er premien minus innsatsen, altså $X - 50$ . Vi brukar regelen $E(X - 50) = E(X) - 50$ :

$E(X - 50) = 30 - 50 = -20$

Forventa nettogevinst er $-20$ kr, altså eit forventa tap på 20 kr per lodd.

c) Det kjøparen taper, tener laget. Laget sit att med $50 - 30 = 20$ kr per selt lodd.

Kontroll på heile lotteriet: inntekt $1000 \cdot 50 \text{ kr} = 50\,000$ kr, premiar $10\,000 + 5 \cdot 2000 + 20 \cdot 500 = 30\,000$ kr, overskot $20\,000$ kr — som er $1000 \cdot 20$ kr. Tala stemmer.

Svar: a) $E(X) = 30$ kr. b) $-20$ kr. c) 20 kr per lodd, til saman 20 000 kr.

📝Oppgave 3

På eit skolearrangement kan du betale 20 kr for å kaste éin terning. Får du seksar, vinn du 90 kr. Får du femmar, vinn du 30 kr. Elles vinn du ingenting. Lat $X$ vere gevinsten i eitt spel.

Set opp fordelingstabellen til $X$ .

Finn $E(X)$ .

Er spelet rettferdig? Grunngi svaret.

Arrangøren set gevinsten for seksar ned til 60 kr. Finn den nye forventa nettogevinsten for spelaren.

Kor mykje tener arrangøren i gjennomsnitt på 300 spel etter endringa i d)?

Løs oppgaven

✏️Døme 4: Når forventingsverdien er oppgitt

Ein stokastisk variabel $X$ har denne fordelinga:

$x$	0	1	4	$b$
$P(X = x)$	0,30	0,40	0,10	0,20

Det er oppgitt at

E(X) = 2

. Vis at

b = 6

Løysing:

Her snur vi oppgåva: forventingsverdien er kjend, og verdien er ukjend. Framgangsmåten er likevel den same — vi set opp formelen og lèt $b$ bli ståande som bokstav.

$\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k) = 0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}40 + 4 \cdot 0{,}10 + b \cdot 0{,}20$

Vi reknar ut dei tre første ledda:

$E(X) = 0 + 0{,}40 + 0{,}40 + 0{,}20b = 0{,}80 + 0{,}20b$

Så set vi dette lik den oppgitte forventingsverdien:

$0{,}80 + 0{,}20b = 2$

Vi gjer same operasjon på begge sider — trekkjer frå $0{,}80$ :

$0{,}80 + 0{,}20b - 0{,}80 = 2 - 0{,}80$

$0{,}20b = 1{,}20$

Og deler på $0{,}20$ på begge sider:

$\frac{0{,}20b}{0{,}20} = \frac{1{,}20}{0{,}20}$

$b = 6$

Kontroll: $0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}40 + 4 \cdot 0{,}10 + 6 \cdot 0{,}20 = 0 + 0{,}40 + 0{,}40 + 1{,}20 = 2$ . Stemmer.

Svar: $b = 6$

📝Oppgave 4

Ein stokastisk variabel $X$ har fordelinga under, der $c$ er ukjend. Det er oppgitt at $E(X) = 3{,}3$ .

$x$	0	2	4	$c$
$P(X = x)$	0,25	0,25	0,30	0,20

Kontroller at sannsyna summerer til 1.

Set opp uttrykket for $E(X)$ med $c$ som bokstav.

Bestem $c$ .

Finn $P(X \ge 4)$ .

Lat $Y = 25X + 100$ . Finn $E(Y)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Ein kafé har målt kor mange bestillingar dei får i timen. Lat $X$ vere talet på bestillingar i ein tilfeldig time:

$k$	8	10	12	14	16
$P(X = k)$	0,10	0,25	0,30	0,25	0,10

Finn $E(X)$ .

Fordelinga er symmetrisk om 12. Kva fortel det deg om $E(X)$ , utan at du reknar?

Kvar bestilling gir 85 kr i inntekt. Lat $Y = 85X$ . Finn $E(Y)$ .

Kaféen har faste kostnader på 450 kr per time. Overskotet er $Z = 85X - 450$ . Finn $E(Z)$ .

Kor mange bestillingar må kaféen ha i ein time for at overskotet skal bli positivt?

Løs oppgaven

Oppsummering

- Forventingsverdien $\mu = E(X) = \sum_k k \cdot P(X = k)$ er eit vekta gjennomsnitt av verdiane, med sannsyna som vekter.
- Vi reknar han i ein tabell med Sum-kolonne: rad for $k$ , rad for $P(X = k)$ (kontroll: summen er 1) og rad for $k \cdot P(X = k)$ (Sum-cella er $\mu$ ).
- Brøkane i produktrada blir ikkje forkorta undervegs — dei skal summerast, og då vil vi ha felles nemnar.
- $\mu$ er ikkje naudsynleg eit mogleg utfall. Han er gjennomsnittet i det lange løpet.
- $E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$ . Denne regelen sparer mykje arbeid når verdiane skal gongast opp eller ein innsats skal trekkjast frå.

Forventingsverdien seier kvar fordelinga ligg, men ingenting om kor spreidd ho er. To fordelingar kan ha same $\mu$ og likevel oppføre seg heilt ulikt. Det er det kapittel 5.3 handlar om.

📝Oppgave 6

Del 2 — rekneark. Eit forsikringsselskap tilbyr ei reiseforsikring til 2400 kr per år. Selskapet reknar med at 2,0 % av kundane får ein skade som kostar selskapet 40 000 kr, og at 0,5 % får ein skade som kostar 150 000 kr. Dei andre kundane kostar ingenting. Lat

X

vere utbetalinga frå selskapet til éin tilfeldig kunde i løpet av eit år.

Set opp fordelingstabellen til $X$ i eit rekneark, med verdiane i éin kolonne og sannsyna i neste.

Lag ein tredje kolonne med produkta $k \cdot P(X = k)$ , og summer han med =SUMMER(C2:C4). Kva er $E(X)$ ?

Overskotet til selskapet per kunde er $2400 - X$ . Finn forventa overskot per kunde.

Selskapet har 50 000 kundar. Kva er forventa samla overskot på denne forsikringa?

Bruk reknearket til å finne den lågaste årsprisen (heile kroner) som gir selskapet eit forventa overskot. Kvifor ville ingen selskap faktisk setje prisen der?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Drøfting. Vurder påstandane og forklaringane under.

« $E(X)$ er den verdien vi kan vente å få neste gong.» Er det rett?

Ein elev reknar ut forventingsverdien til fordelinga $P(X=1) = 0{,}80$ , $P(X=10) = 0{,}20$ som $\displaystyle \frac{1 + 10}{2} = 5{,}5$ . Kva er feilen, og kva er rett svar?

«Dersom eit spel har forventa nettogevinst 0 kr, kjem eg alltid ut i null.» Drøft.

To fordelingar har begge $E(X) = 10$ . Den eine kan berre gi 9 eller 11, den andre berre 0 eller 20. Kva er likt, og kva er ulikt?

Kvifor tener eit lotteri pengar sjølv om det er tilfeldig kven som vinn?

Løs oppgaven

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.